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Entropie

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Physik Siggi
Entropie
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Entropie

Dieses Video widmet sich der Entropie. Zunächst wird an Beispielen dargestellt, was reversible und irreversible Vorgänge sind. Anhand dieser Beispiele wirst du auch ein Maß für die Irreversibilität kennenlernen. Doch was hat das nun alles mit der Entropie zu tun? Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems. Du wirst lernen, dass es einen Zusammenhang zwischen Unordnung und Irreversibilität gibt. Wie dieser Zusammenhang aussieht und welche andere Möglichkeit es gibt die Entropie zu berechnen erfährst du im Video.

Transkript Entropie

Hallo, ich bin euer Physik Siggi. Heute werde ich euch erklären, was denn eigentlich die Entropie ist. Dafür werdet ihr zunächst lernen, reversible und irreversible Vorgänge zu unterscheiden. Danach werdet ihr ein Maß für die Irreversibilität kennenlernen und zum Schluss zeige ich euch 2 Formeln für die Entropie. Ihr solltet schon über das ideelle Gas und das Gasgesetz Bescheid wissen. Außerdem müsst ihr mit der Wärme und dem 1. Hauptsatz der Wärmelehre vertraut sein. Stellt euch vor, ihr spielt Basketball. Beim Dribbeln fällt der Ball von der Hand zum Boden und danach springt er wieder hoch zur Hand. Das Fallen nennen wir Vorgang 1, das Springen Vorgang 2. Vorgang 2 hat alles wieder zum Ausgangszustand zurückgebracht. Der Ball trifft wieder auf eure Hand. Dies hat der Ball von alleine geschafft. Den gesamten Vorgang 1 und 2 nennt man dann reversibel. Wenn ein Vorgang von alleine von einem Ausgangszustand zurück in den Ausgangszustand führt, so ist er reversibel. Zum Beispiel das Kind auf der Schaukel. Es schwingt links vom Balken los und kommt nach einer Schwingung wieder an der gleichen Stelle an. Die Schwingung ist reversibel. Ein irreversibler Vorgang führt nicht zum Ausgangszustand zurück. Zum Beispiel erwärmt die Herdplatte das Wasser. Schaltet man die Platte aus, so wird das warme Wasser, wenn es sich abkühlt, nicht wieder die Platte erwärmen. Die Wärme des Wassers geht an die Luft verloren. Natürlich geht ein kleines bisschen der Wärme auch an die Platte, doch die wird niemals wieder so heiß wie beim Ausgangszustand. Der Vorgang verläuft also in eine Richtung: Herd - Wasser - Luft. Ein anderes Beispiel. Wenn ihr auf dem Basketballplatz statt eines Balls einen Sandsack verwendet, dann wird der Sack zwar zum Boden fallen, aber sicher nicht wieder zurück zu eurer Hand springen. Der Vorgang ist irreversibel. Bei irreversiblen Vorgängen ist das Erreichen des Ausgangszustands sehr unwahrscheinlich. Nimmt man einen Medizinball, so hüpft er ein kleines bisschen nach oben. Er ist dem Ausgangszustand näher gekommen als der Sandsack. Er ist also etwas weniger irreversibel. Es gibt eine geringe Wahrscheinlichkeit, dass der Medizinball doch wieder bis zur Hand hüpft. Wie sehr irreversibel ein Vorgang ist, kann man beschreiben. W aus ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wieder der Ausgangszustand erreicht wird. W end ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmter anderer Endzustand eintritt. W end/W aus=W. W gibt an, wieviel Mal wahrscheinlicher der andere Endzustand als der Ausgangszustand eintreten wird. Wir lesen in der Formel Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit für den anderen Endzustand ist W×die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des gleichen Anfangszustands. Je größer also W ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass der Anfangszustand beziehungsweise Ausgangszustand wieder erreicht wird. Also: Um so unwahrscheinlicher ist ein reversibler Vorgang. W ist also ein Maß für die Irreversibilität. Je größer W ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass der Ausgangszustand nicht erreicht wird. Jetzt kommen wir zur Entropie. Sie gibt die Unordnung eines Systems an. Die Unordnung gibt an, auf wie viele mikroskopische Arten ich einen makroskopischen Zustand erreichen kann. Zum Beispiel: Wenn diese beiden getrennten Gase aus V1 und V2 nun vermischt werden, indem man die Wand herauszieht, so nehmen sie den ganzen Raum ein. Vorher war das System ordentlich, links rot, rechts blau. Der makroskopische Zustand kann nur auf eine Art erreicht werden. Danach ist es unordentlich. Alle Teilchen sind wild durcheinander. Dies kann man auf viel mehr mikroskopische Arten erreichen. Die Wahrscheinlichkeit, dass wieder der Ausgangszustand einkehrt und alle roten Teilchen nach links wandern, ist extrem gering, also ist W sehr groß. Wir haben also eine große Irreversibilität und eine große Unordnung. Die beiden Größen verhalten sich also proportional. Steigt die eine, so steigt auch die andere. Genauer gesagt ist die Änderung der Entropie ?S proportional zum natürlichen Logarithmus von W. Die Proportionalitätskonstante ist gleich der Boltzmann-Konstanten KB, und schon haben wir die 1. Definition der Entropieänderung. Die Proportionalität von Wahrscheinlichkeit und Unordnung zeigt uns, dass ein irreversibler Vorgang immer den Zustand größter Unordnung anstrebt. Bei Gasen ist dies die Gleichverteilung, bei anderen Systemen kann die wahrscheinlichste Verteilung auch die Boltzmannverteilung sein. Am Beispiel des Kochtopfs haben wir das 3. Merkmal für irreversible Vorgänge kennengelernt. Wärme wird an die Umgebung abgegeben. Dies führt uns zu einer weiteren Definition der Entropie. Mit dieser Formel können wir dann die Entropieänderung messen. Wir müssen dazu wieder ein Beispiel betrachten. Wir haben ein Gas in einem Zylinder mit einem beweglichen Kolben. Führen wir nun dem Gas die Wärmemenge Q zu, so dehnt sich das Gas aus, während dabei die Temperatur gleich bleibt. Die Änderung der inneren Energie U=0, da die Temperatur gleich bleibt. Stellen wir nun den 1. Hauptsatz der Wärmelehre um, so sehen wir, dass die gesamte Wärme in Volumenarbeit umgewandelt wurde. Die Teilchen haben also viel mehr Platz und alles ist noch unordentlicher geworden. Die Wärme ist also proportional zur Änderung der Unordnung. Da die Volumenänderung von der Temperatur der Teilchen abhängt, muss man die Wärme noch auf die Temperatur beziehen, und schon haben wir die 2. Definition der Entropieänderung. ?S=zugeführte Wärme Q/Temperatur T. Die Wärmemenge und die Temperatur kann man messen. Damit ist auch die Entropieänderung messbar. Die Einheit der Entropie erhalten wir, indem wir die Einheit der Wärme durch die Einheit der Temperatur teilen. Also ist sie Joule/Kelvin. Man kann den Kolben übrigens wieder hineindrücken, der Prozess ist also reversibel. Dabei muss aber wieder die ganze zugeführte Volumenarbeit in Wärme umgewandelt werden, die dann von einem Wärmebad abgeführt werden kann. Wir wissen nun, was reversible und irreversible Vorgänge sind. Reversible können in den Ausgangszustand zurückgebracht werden, irreversible nicht. Außerdem ist die Entropie ein Maß für die Unordnung eines Systems. Sie kann 1. über die Wahrscheinlichkeit für einen anderen Endzustand als den Ausgangszustand beschrieben werden und 2. über die zugeführte Wärme/Temperatur. Im nächsten Film werden wir verstehen, wie die Entropieänderung und der 2. Hauptsatz der Wärmelehre zusammenhängen. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

Entropie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Entropie kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Definitionen wichtiger Begriffe von reversiblen und irreversiblen Vorgängen.

    Tipps

    Das Prellen eines Balles kann annähernd als reversibel betrachtet werden. Kommt ein Ball von alleine wieder bei der Hand an, und wenn ja, was heißt das für einen reversiblen Vorgang?

    Wenn man einen Sandsack fallen lässt, ist der Vorgang irreversibel. Führt ein irreversibler Vorgang dann von alleine in den Anfangszustand zurück?

    Lösung

    Ein irreversibler Vorgang ist ein Vorgang, der nicht von alleine wieder in den Anfangszustand zurückführt.
    Hierbei können Vorgänge unterschiedlich stark irreversibel sein. Je wahrscheinlicher es ist, dass ein anderer Endzustand als der Anfangszustand erreicht wird, desto höher ist die Irreversibilität.
    $W$ gibt an, wie viel mal Wahrscheinlicher es ist, dass ein anderer Endzustand als der Anfangszustand erreicht wird.
    $W$ ist deswegen ein Maß für die Irreversibilität.

    Je größer $W$ ist, desto Wahrscheinlicher ist es, dass der Ausgangszustand nicht erreicht wird. Der Ausgangszustand ist hierbei in der Realität wirklich nur ein ganz bestimmter Zustand.

    Beim Beispiel des Balles ist $w_{aus}$ somit genau eine bestimmte Höhe über dem Boden.
    Alle anderen Höhen über dem Boden gehören zu den anderen Endzuständen.
    Um $w_{end}$ zu berechnen, müsste man also die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne erreichbare Höhe außer der Anfangshöhe zusammenrechnen.

  • Gib an, wie man die Änderung $\Delta S$ der Entropie berechnen kann.

    Tipps

    $W$ ist ein Maß für die Irreversibilität und damit proportional zur Entropie.

    Lösung

    Die Entropie gibt die Unordnung eines Systems an. Die Unordnung bedeutet hierbei, auf wie viele mikroskopische Arten ein makroskopischer Zustand erreicht werden kann.

    $W$ gibt an, wie viel höher die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein anderer Zustand als der Ausgangszustand erreicht wird.

    Je größer $W$ ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass der Ausgangszustand wieder erreicht wird.
    Dann ist auch die Unordnung und somit die Änderung der Entropie größer.

    Deswegen ist $W$ proportional zu der Änderung der Entropie $\Delta S$. In Wirklichkeit ist $\Delta S$ proportional zu dem natürlichen Logarithmus von $W$, nämlich $\ln{W}$.
    Der Proportionalitätsfaktor ist die Boltzmann-Konstante $k_B$.

    Hiermit ergibt sich die erste Formel zur Berechnung der Änderung der Entropie: $\Delta S = k_B \cdot \ln{W}$.

    Aus dem ersten Satz der Thermodynamik kann man die zweite Formel ableiten. Wenn sich ein Gas bei konstanter Temperatur ausdehnt, ist die Änderung der inneren Energie Null.
    Es folgt $0 = Q + p \cdot \Delta V $.
    Die zugeführte Wärmemenge $Q$ ist von der Änderung des Volumens $\Delta V$ abhängig.

    Je größer das Volumen ist, welches das Gas zur Verfügung hat, desto größer ist auch die Unordnung. Somit ist bei größerem Volumen auch die Entropie größer.

    Es folgt direkt, dass $\Delta S$ proportional zu der zugeführten Wärmemenge $Q$ ist. Die Proportionaliätskonstante ist hier die konstante Temperatur $T$.

    Für die zweite mögliche Formel ergibt sich:
    $\Delta S = \frac{Q}{T}$.

  • Berechne die Temperatur des Gases.

    Tipps

    In der Formel für die Entropie wird die Temperatur in Kelvin angegeben.

    Um eine Temperatur von Kelvin in Celsius umzurechnen, muss man 273,15 addieren.

    Lösung

    Es sind nur die zugeführte Wärmemenge $Q$ und die Änderung der Entropie $\Delta S$ gegeben.
    Darum muss eine Formel gefunden werden, die diese beiden Größen mit der Temperatur $T$ verknüpft.

    Dies ist mit
    $\Delta S = \frac{Q}{T}$ gegeben.

    Um die Temperatur zu erhalten, wird die Formel mathematisch nach $T$ umgestellt. Dazu wird die Gleichung mit $T$ multipliziert und anschließend durch $\Delta S$ geteilt.

    Es folgt
    $\begin{align} \Delta S & = \frac{Q}{T} &|& \cdot T \\ \Delta S \cdot T & = Q &|& :\Delta S \\ T & = \frac{Q}{\Delta S} \end{align}$.

    Mit den gegebenen Anfangswerten folgt
    $\begin{align} T &= \frac{Q}{\Delta S} \\ &=\frac{80~ J}{8~ \frac{J}{K}} \\ &=10 ~ K \end{align}$

    Da das Ergebnis nicht in Kelvin, sondern in Celsius gesucht wird, muss die Temperatur noch umgerechnet werden. Es sind $0^\circ C = -273,15 ~ K$. Zu dem Ergebnis in Kelvin muss man 273,15 addieren um das Ergebnis in Celsius zu erhalten.

    Es folgt
    $T = 10 ~ K = ( 10 + 273,15 )~ ^\circ C = 283,15^\circ C$.

  • Berechne die Änderung der Entropie beim Umordnen einer Reihe Bücher.

    Tipps

    Die Boltzmann-Konstante ist $k_B = 1,38 \cdot {10}^{-23} \frac {J}{K}$.

    W gibt an wie viel mal Wahrscheinlicher der Endzustand $w_{end}$ als der Anfangszustand $w_{aus}$ ist.

    Wenn es 44 von insgesamt 120 Möglichkeiten gibt, den Endzustand zu erreichen, wie groß ist dann $w_{end}$?

    Lösung

    Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems.

    Ein System strebt von Natur aus nach dem Zustand größter Unordnung.
    Das ist an der Buchreihe leicht ersichtlich. Es gibt bei 5 Büchern insgesamt 120 Möglichkeiten, diese anzuordnen.
    Bei 10 Büchern wären es schon 3628800 Möglichkeiten. Die Zahl der möglichen Zustände steigt also extrem schnell. Allerdings werden es nicht mehr ordentliche Zustände.
    Wenn man das Buch irgendwo hin stellt, ist es mit mehr Büchern sogar noch unwahrscheinlicher, dass es zufällig auf dem richtigen Platz landet.
    Wenn alle Bücher vertauscht sind steht keines mehr auf seinem ursprünglichen Platz. Dies ist der Zustand maximaler Unordnung oder auch maximaler Entropie.

    In einem abgeschlossenen System nimmt die Entropie deswegen immer zu.

    Teil man $w_{end}$ durch $w_{aus}$ erfährt man, wie viel mal wahrscheinlicher es ist, dass ein anderer Endzustand als der Ausgangszustand erreicht wird.

    Es gibt von insgesamt 120 Möglichkeiten genau eine in der die Bücher korrekt geordnet sind.
    Dafür gibt es 44 Möglichkeiten in denen sie maximal unordentlich sind. Das heißt, dass kein Buch auf seinem ursprünglichen Platz ist.
    Es ist auch ohne Rechnung leicht ersichtlich, dass es dann 44 mal wahrscheinlicher ist, dass die Bücher in maximaler Unordnung stehen.

  • Gib an, wie reversibel sind die genannten Vorgänge sind.

    Tipps

    Ein Vorgang ist reversibel, wenn er ohne Beihilfe zu seinem Ausgangszustand zurückkommt.

    Je höher der Gegenstand nach dem Aufprall auf dem Boden wiederkommt, desto reversibler ist der Vorgang.

    Einen Basketball prellt man normalerweise. Kommt er auch komplett zur Hand zurück, wenn du ihn einfach fallen lässt?

    Lösung

    Ein Vorgang ist reversibel, wenn er von alleine in den Ausgangszustand zurückführt.
    Ein Vorgang ist irreversibel, wenn er nicht von alleine in den Ausgangszustand zurückführt.

    Vorgänge können unterschiedlich reversibel sein. Je reversibler ein Vorgang ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich am Ende wieder der Anfangszustand vorfinden lässt.

    Wenn man einen Gegenstand fallen lässt, dann ist der Anfangszustand die Starthöhe.
    Je näher der Gegenstand nach dem auftreffen auf dem Boden wieder an die Starthöhe kommt, desto reversibler ist der Vorgang.

    In der Natur gibt es keine total reversiblen Vorgänge. Zum Beispiel durch Reibung oder Verformung geht Energie verloren.
    Wenn man einen Ball fallen lässt und nicht wieder auffängt, kommt er nach jedem Kontakt mit dem Boden nicht mehr ganz so hoch wie vorher.
    Nach einer Weile würde in der Natur jeder Ball liegen bleiben.

  • Erkläre den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und Entropie.

    Tipps

    Mikroskopisch könnte man als klein und makroskopisch als groß übersetzen. Beides bezieht sich auf die Betrachtungsweise.

    Von außen (makroskopisch) betrachtet macht es keinen Unterschied, welches der vier Teilchen auf welcher Seite ist.

    Lösung

    Wenn man eine makroskopische Betrachtungsweise wählt, betrachtet man alles im „Großen“. Die Teilchen wirken dann alle gleich und sind nicht unterscheidbar.
    Das kann man sich wie bei mehreren Bällen einer Farbe vorstellen: Sie sehen alle gleich aus.
    Betrachtet man den makroskopischen Zustand in dem drei Teilchen links und ein Teilchen rechts ist, so macht es keinen Unterschied, welches der vier Teilchen rechts ist.

    Bei der mikroskopischen Betrachtungsweise dagegen betrachtet man die Dinge im „Kleinen“. Die Bälle in einer Farbe sehen äußerlich vielleicht gleich aus. Aber genauso wie es keinen idealen Würfel gibt, gibt es auch keinen idealen Ball.
    Von ganz nah betrachtet sind die Bälle und auch Teilchen in der Realität immer unterscheidbar.
    Bei vier Teilchen gibt es deswegen vier Möglichkeiten, um den oben genannten Zustand zu erreichen.

    Es gibt also vier mikroskopische Arten, den einen makroskopischen Zustand (drei Links, eins rechts) zu erreichen. Diese Anzahl der Möglichkeiten wird durch die Unordnung beschrieben.

    Die Wahrscheinlichkeit dieses makroskopischen Zustands beträgt nun $\frac{4}{16}$, denn es gibt insgesamt 16 mikroskopische Zustände und vier davon ergeben diesen makroskopischen Zustand.

    Es folgt:
    Je größer die Unordnung, desto größer ist auch die Wahrscheinlichkeit für einen Zustand.

    Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems. Deswegen hängt die Entropie auch direkt mit der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes zusammen.

    Je wahrscheinlicher ein Zustand ist, desto größer ist die Unordnung und desto größer ist die Entropie.

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