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Übungsaufgabe: Der geostationäre Satellit

Ein geostationärer Satellit scheint sich fest über einem bestimmten Punkt auf der Erdoberfläche zu befinden, dreht sich jedoch gemeinsam mit der Erde. Seine Drehgeschwindigkeit entspricht der des Äquators und seine Umlaufbahn verläuft über diesem. Der Abstand seines Umlaufradius beträgt etwa 42.163 km. Willst du mehr darüber erfahren? All das und vieles mehr kannst du im vollständigen Text finden!

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Lerntext zum Thema Übungsaufgabe: Der geostationäre Satellit

Übungsaufgabe – der geostationäre Satellit

Eine Standardaufgabe in der Schulphysik stellt der sogenannte geostationäre Satellit dar.

Dabei handelt es sich um einen Satelliten, der (scheinbar) fest über einem bestimmten Ort auf der Erdoberfläche steht. Da sich aber die Erde selbst um die eigene Achse dreht, darf der Satellit natürlich nicht stillstehen, sondern muss sich mit der Erde mitdrehen.

Die Aufgabenstellung lautet üblicherweise:

Auf welche Höhe über der Erdoberfläche muss ein Satellit gebracht werden, um geostationär zu sein?

Welche Einschränkungen für die Orte auf der Erde gibt es, über denen ein Satellit überhaupt geostationär sein kann?

Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit $v$ des geostationären Satelliten?

Grundlagen der Satellitenbewegung

Wir betrachten zunächst die theoretischen Grundlagen der Satellitenbewegung und stellen die wichtigsten Formeln zusammen.

Da ein Punkt auf der Erdoberfläche im Laufe eines Tages auf einer Kreisbahn um die Erdachse unterwegs ist, muss sich natürlich auch der geostationäre Satellit auf einer Kreisbahn bewegen.

Kräfte auf einer Kreisbahn um die Erde

Ein Satellit der Masse $m$ bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$ und der Bahngeschwindigkeit $v$ um die Erde, wenn die folgende Zentripetalkraft auf ihn wirkt:

(1) $\quad F_\text{Z}=m \cdot \dfrac{v^2}{r}$

Dabei ist $r$ der Abstand des Satelliten vom Erdmittelpunkt.

Hätte der Satellit die Geschwindigkeit $v$ und es würde keine Zentripetalkraft auf ihn wirken, würde er sich mit der Geschwindigkeit $v$ geradlinig und gleichförmig bewegen, ohne eine geschlossene Umlaufbahn zu haben.

Auf den Satelliten wirkt aber die Gravitationskraft der Erde.

(2) $\quad F_\text{Grav}=G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$

Dabei ist $M$ die Masse der Erde und $G$ die Gravitationskonstante.

Es gilt:

$M=5{,}972 \cdot 10^{24}~\pu{kg}$

$G=6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\pu{m3 //kg s2}$

Hätte er keine Geschwindigkeit $v$, sondern würde im Abstand $r$ vom Erdmittelpunkt zu Beginn unserer Überlegung ruhen, würde er, von der Erde angezogen, auf die Erdoberfläche herabstürzen.

Aufgrund seiner Bahngeschwindigkeit wirkt aber nun die Gravitationskraft als Zentripetalkraft und er bewegt sich auf einer geschlossenen Kreisbahn um die Erde herum, ohne dass ein (weiterer) Antrieb benötigt wird.

Wir können also beide Kräfte gleichsetzen:

(3) $\quad F_\text{Z}=F_\text{Grav}$

(4) $\quad m \cdot \dfrac{v^2}{r}=G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$

Bahngeschwindigkeit und Bahnradius

Dabei fällt auf, dass die Masse $m$ des Satelliten auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen steht, sich also herauskürzen lässt.

$m \cdot \dfrac{v^2}{r}=G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2} \quad \big\vert~:m$

(5) $\quad \dfrac{v^2}{r}=G \cdot \dfrac{M}{r^2}$

Wir können aus dieser Gleichung ein Verhältnis zwischen dem Radius der Kreisbahn $r$ und der (konstanten) Bahngeschwindigkeit $v$ ablesen, wenn wir sie ein wenig umformen.

Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit r.

$\dfrac{v^2}{r}=G \cdot \dfrac{M}{r^2} \quad \big\vert~\cdot r$

(6) $\quad v^2=G \cdot \dfrac{M}{r}$

Daraus ergeben sich zwei wichtige Gleichungen für die Kreisbahn.

Zum einen können wir Gleichung (6) nach $v$ auflösen, indem wir die Quadratwurzel ziehen. Nur die positive Lösung ist hier sinnvoll, da wir den Betrag der Geschwindigkeit suchen:

(7) $\quad v=\sqrt{G \cdot \dfrac{M}{r}}$

Zum anderen können wir sie nach r auflösen:

(8) $\quad r=G \cdot \dfrac{M}{v^2}$

Winkelgeschwindigkeit und Bahnradius

Mit Gleichung (7) können wir die Bahngeschwindigkeit ermitteln, wenn wir den Umlaufradius des geostationären Satelliten kennen. Diese können wir mithilfe der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ bestimmen. Da der Satellit sich mit der Erde mitdrehen soll, ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ der Drehbewegung der Erde und der Kreisbewegung des Satelliten gleich.

Wenn ein Körper für einen Umlauf auf einer Kreisbahn die Umlaufzeit $T$ benötigt, ist seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ definiert als:

(9)$\quad\omega=\dfrac{2\pi}{T}$

Andererseits ist die Bahngeschwindigkeit $v$ der Quotient aus zurückgelegter Strecke und dafür benötigter Zeit. Für einen Umlauf ist die Strecke $s$ der Kreisumfang $2\pi \cdot r$ und die benötigte Zeit die Umlaufdauer $T$. Es gilt also:

(10) $\quad v=\dfrac{2\pi \cdot r}{T}$

Beim Vergleich der Gleichungen (9) und (10) fällt auf, dass offenbar gilt:

(11) $\quad v=\omega \cdot r$

Die Zentripetalkraft $F_\text{Z}$ lässt sich also mithilfe der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ wie folgt ausdrücken:

(12) $\quad F_\text{Z} = m \cdot \dfrac{v^2}{r} =m \cdot \dfrac{(\omega \cdot r)^2}{r} = m \cdot \omega^2 \cdot r$

Wenn wir diese mit der Gravitationskraft wie oben gleichsetzen, ergibt sich:

(13) $\quad m \cdot \omega^2 \cdot r = G \cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$

Wie zu erwarten lässt sich die Satellitenmasse $m$ wieder herauskürzen. Den entstandenen Ausdruck formen wir nach r um:

(14) $\quad \omega^2 \cdot r = G \cdot \dfrac{M}{r^2} \quad \big\vert~\cdot\dfrac{r^2}{\omega^2}$

(15) $\quad r^3=G \cdot \dfrac{M}{\omega^2}$

Nun ziehen wir die dritte Wurzel. Da alle Größen unter der Wurzel positiv sind, ist auch das Ergebnis positiv.

(16) $\quad r=\sqrt[3]{G \cdot \dfrac{M}{\omega^2}}$

Umlaufzeit und Bahnradius

Oft ist nicht die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ eines Körpers bekannt, dafür aber seine Umlaufzeit.

Wir setzen die Definition der Winkelgeschwindigkeit $\omega=\frac{2\pi}{T}$ in Gleichung (16) ein.

(17) $\quad r=\sqrt[3]{G \cdot \dfrac{M}{\omega^2}}=\sqrt[3]{G \cdot \dfrac{M}{\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}}=\sqrt[3]{G \cdot \dfrac{MT^2}{4\pi^2}}$

Damit sind die theoretischen Grundlagen zur Lösung der Aufgabenstellung zusammengestellt.

Geostationärer Satellit – Lösung der Übungsaufgabe

Die Übungsaufgabe wird nun in mehreren Schritten mithilfe der bereitgestellten theoretischen Überlegungen gelöst.

Geostationärer Satellit – Lage der Bahn

Es ist einleuchtend, dass der Satellit sich auf einer Kreisbahn bewegen muss, damit er stets über demselben Ort der Erde stehen kann.

Es kommen aber nicht beliebig viele Kreisbahnen infrage, sondern nur eine, bei der er nicht nur die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde hat, sondern sich tatsächlich mit einem Ort mitbewegt. Dies ist nur der Fall, wenn er in einer Bahn über dem Äquator unterwegs ist.

Geostationärer Satellit Umlaufbahn

Geostationärer Satellit – Bahnradius

Nun berechnen wir den Radius der Umlaufbahn $r$.

Bekannt sind folgende Größen:

Erdmasse:$\quad M=5{,}972 \cdot 10^{24}~\pu{kg}$

Gravitationskonstante: $\quad G=6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\pu{m3 //kg s2}$

Rotationsdauer der Erde: $\quad T=23~\text{h}~ 56~\text{min}~ 4~\text{s}$

Damit wir mit den Einheiten keine Probleme bekommen, rechnen wir die Rotationsdauer der Erde noch in die Grundeinheit Sekunde um.

$T=23~\text{h}~ 56~\text{min}~ 4~\text{s}=23 \cdot 3\,600~\text{s} + 56 \cdot \pu{60 s} + \pu{4 s} = 86\,164~\text{s}$

Die Rotationsdauer der Erde wird oft auch mit $T=86\,400~\text{s}$ angegeben. Das entspricht dann den $\pu{24 h}$ eines Kalendertags.

Nun setzen wir alle bekannten Größen in Gleichung (17) ein.

$r=\sqrt[3]{G \cdot \dfrac{MT^2}{4\pi^2}}=\sqrt[3]{6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\pu{m3 //kg s2} \cdot \dfrac{5{,}972 \cdot 10^{24}~\pu{kg} \cdot (\pu{86164 s})^2}{4\pi^2}} \approx 42\,163\,000~\text{m}$

Der Bahnradius des geostationären Satelliten ist also $ r = 42\,163~\text{km}$.

Geostationärer Satellit – Höhe über dem Erdboden

Meistens ist gefragt, wie hoch über dem Äquator der Satellit positioniert werden muss.

Die Höhe $h$ über dem Äquator lässt sich berechnen, indem vom Bahnradius $r$ der Erdradius $R$ am Äquator subtrahiert wird.

Es gilt:

$R=6\,378~\text{km}$

Also ist

$h=r-R= 42\,163 \text{km}- 6\,378\text{km}=35\,785~\text{km}$

Geostationärer Satellit – Bahngeschwindigkeit

Die Bahngeschwindigkeit des geostationären Satelliten lässt sich mit Gleichung (7) berechnen.

$v=\sqrt{G \cdot \dfrac{M}{r}}=\sqrt{6{,}674 \cdot 10^{-11}~\pu{m3 //kg s2} \cdot \dfrac{5{,}972 \cdot 10^{24}~\pu{kg}}{42\,163\,000 \text{m}}} \approx 3\,075~\pu{m//s}$

Der geostationäre Satellit ist also mit etwa $\pu{3 km//s}$ unterwegs.

Geostationärer Satellit – Zusammenfassung

  • Ein geostationärer Satellit steht (scheinbar) fest über einem bestimmten Ort auf der Erdoberfläche. Da sich aber die Erde selbst um die eigene Achse dreht, darf der Satellit natürlich nicht stillstehen, sondern muss sich mit der Erde mitdrehen.
  • Seine Winkelgeschwindigkeit entspricht der Winkelgeschwindigkeit eines Orts auf dem Äquator. Seine kreisförmige Bahn verläuft über dem Äquator.
  • Sein Bahnradius beträgt rund $42\,163~\text{km}$.
  • Für den geostationären Satelliten wirkt, wie für alle Himmelskörper, die sich auf einer Kreisbahn um einen Zentralkörper bewegen, die Gravitationskraft als Zentripetalkraft, die den Körper auf seiner Kreisbahn hält.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geostationärer Satellit

Was versteht man unter geostationären Satelliten?
Wie schnell fliegt ein geostationärer Satellit?
Warum gibt es geostationäre Satelliten nur über dem Äquator?
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Übungsaufgabe: Der geostationäre Satellit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Übungsaufgabe: Der geostationäre Satellit kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition des geostationären Satelliten an.

    Tipps

    Ein geostationärer Satellit befindet sich über dem Äquator.

    Es ist nur eine Aussage richtig.

    Kein Objekt in Erdnähe kann im Weltall stillstehen. Es würde immer von der Erde oder einem anderen Himmelskörper angezogen werden und anfangen, sich zu bewegen.

    Lösung

    Ein geostationärer Satellit ist ein Satellit, der sich nicht bewegt, sondern an einem festen Punkt im Weltall stillsteht. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

    Begründung: Kein Objekt in Erdnähe kann im Weltall stillstehen. Es würde immer von der Erde oder einem anderen Himmelskörper angezogen werden und anfangen, sich zu bewegen.

    Ein geostationärer Satellit bewegt sich synchron mit einem Ort auf dem Äquator mit, sodass er scheinbar darüber stillsteht. $\Rightarrow$ Die Aussage ist richtig.

    Jeder Satellit, der die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde hat, ist ein geostationärer Satellit. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

    Begründung: Die gleiche Winkelgeschwindigkeit wie die Erde zu haben ist zwar eine Bedingung für den geostationären Satelliten, allein das reicht aber nicht aus. Er muss auch über dem Äquator sein, damit er über einem Punkt auf der Erde scheinbar stillstehen kann.

    Ein geostationärer Satellit ist ein Satellit, der eine Raumstation der Erde beherbergt. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

  • Stelle die Überlegungen dar, die zur Berechnung des geostationären Satelliten führen.

    Tipps

    Die Formel für die Gravitationskraft ist:

    $F_\text{G}=G\cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}$

    Die Masse des Zentralkörpers, also der Erde, wird mit $M$ bezeichnet.

    „Je größer ... desto kleiner“ bedeutet meist, dass sich eine Größe im Nenner befindet.

    Lösung

    Ein Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius $r$ und benötigt für einen Umlauf die Zeit $T$. $\leftrightarrow$ Für seine Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gilt: $\omega=\dfrac{2\pi \cdot r}{T}$.

    Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist bei einer Kreisbewegung der Quotient aus zurückgelegtem Drehwinkel und der dafür benötigen Zeit. Für eine Umdrehung, also den Vollwinkel $360^\circ~\widehat{=}~2\pi$, wird genau die Umlaufdauer $T$ benötigt.

    Die Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft. $\leftrightarrow$ $G\cdot \dfrac{m \cdot M}{r^2}=m \cdot \dfrac{v^2}{r}$.

    Bei der Bewegung eines Satelliten auf einer Kreisbahn um einen Zentralkörper wirkt die Gravitationskraft, die der im Allgemeinen sehr, sehr viel massenreichere Zentralkörper auf einen Satelliten ausübt, als Zentripetalkraft, also als diejenige Kraft, die den Satelliten auf seiner Kreisbahn hält. Würde sie nicht konstant wirken, würde der Satellit mit seiner Bahngeschwindigkeit $v$ geradeaus wegfliegen.

    Je kleiner der Bahnradius ist, desto größer ist die Bahngeschwindigkeit. $\leftrightarrow$ $v=\sqrt{G \cdot \dfrac{M}{r}}$

    Durch Umformen der Kräfteidentität von Gravitationskraft und Zentripetalkraft erhält man die Gleichung für $v$, die verdeutlicht, dass die Geschwindigkeiten auf einer Kreisbahn kleiner werden, je größer der Bahnradius wird. Formt man die Gleichung noch weiter um, erhält man das 3. Kepler'sche Gesetz in der Fassung für Kreisbahnen.

    Je größer der Bahnradius ist, desto größer wird bei konstanter Winkelgeschwindigkeit die Bahngeschwindigkeit. $\leftrightarrow$ $v=\omega \cdot r$

    Die Gleichung ergibt sich aus den Definitionen der Bahngeschwindigkeiten und der Winkelgeschwindigkeit $v=\frac{s}{t}$ und $\omega=\frac{\varphi}{t}$. Setzt man in beide Definitionen für die Zeit eine Umlaufzeit ein, also $T$, ist der zurückgelegte Weg der Kreisumfang $s=2\pi \cdot r$ und der überstrichene Drehwinkel der Vollwinkel $\varphi=2\pi$. Es gilt dann:

    $v=\dfrac{2\pi}{T} \cdot r$

    $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$

    Dann ist $v=\omega \cdot r$.

    Der Bahnradius des geostationären Satelliten kann berechnet werden, wenn die Erdmasse bekannt ist. $\leftrightarrow$ $r=\sqrt[3]{G \cdot \dfrac{MT^2}{4\pi^2}}$.

    In diese Formel wurde schließlich der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit bzw. Bahngeschwindigkeit, Bahnradius und Umlaufzeit eingesetzt. Nun kann damit die Bahn des geostationären Satelliten ausgerechnet werden.

  • Berechne die Winkelgeschwindigkeit der Erde und damit die Bahngeschwindigkeit des geostationären Satelliten.

    Tipps

    Der Bahnradius bezieht sich auf den Erdmittelpunkt.

    Es gilt:

    $\pu{1 h}=\pu{3600 s}$

    $\pu{1 min} = \pu{60 s}$

    Die Winkelgeschwindigkeit ist eine sehr kleine Zahl. Ihre Einheit ist $\pu{1 1//s}$.

    Lösung

    Gegeben:

    Dauer einer Erdotation: $T=23~\text{h}~56~\text{min}~4~\text{s}$

    Höhe des geostationären Satelliten über dem Erdboden: $h=35\,785~$ km

    Die Höhe des geostationären Satelliten über dem Erdboden beträgt ca. $36\,000~\text{km}$.

    Erdradius: $R=6\,378~\text{km}$

    Gesucht:

    Bahnradius $r$

    Winkelgeschwindigkeit $\omega$

    Bahngeschwindigkeit $v$

    Formeln:

    $r =~$ h $~+~R$

    Um den Bahnradius zu erhalten, muss zur Höhe über dem Erdboden der Erdradius addiert werden.

    $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$

    $v=\omega~ \cdot ~$ r

    Bei einer Kreisbewegung ist die Bahngeschwindigkeit proportional zum Bahnradius; die Proportionalitätskonstante ist die Winkelgeschwindigkeit $\omega$.

    Rechnung:

    Umrechnung von $T$ in Sekunden:

    $T=(23~\cdot ~$ $\boldsymbol{3\,600}$ $ + 56~ \cdot$ 60 $+4) ~\text{s}~=~$ 86$\,$164 $~\text{s}$

    Bahnradius:

    $r=35\,785~\text{km}+~$ 6$\,$378 $~\text{km}=$ 42$\,$163 $~\text{km}$

    Winkelgeschwindigkeit (auf 3 Nachkommastellen gerundet):

    $\omega=\dfrac{2\pi}{\pu{86164 s}}=~$ 7,292 $\cdot \pu{10^{-5} 1//s}$

    Bahngeschwindigkeit (auf eine Stelle gerundet):

    v$~=~\omega \cdot r \approx ~$ 3 $~\pu{km //s}$

  • Untersuche die folgenden Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt.

    Tipps

    Es sind drei Aussagen korrekt.

    Lösung

    Die Winkelgeschwindigkeit eines Ortes auf der Erdoberfläche ist abhängig vom Breitengrad. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

    Begründung: Die Punkte auf der Erdoberfläche drehen sich aufgrund der Erdrotation alle mit derselben Winkelgeschwindigkeit. Allerdings ist der Abstand von der Drehachse und damit die Bahngeschwindigkeit breitenabhängig.

    Die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten ist umso größer, je höher sein Bahnradius ist. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

    Begründung: Das Gegenteil ist korrekt, wie sich etwa an der Formel $v=\sqrt{G \cdot \dfrac{M}{r}}$ ablesen lässt.

    Bei einer Kreisbewegung ist die Bahngeschwindigkeit proportional zum Radius und zur Winkelgeschwindigkeit. $\rightarrow$ Diese Aussage ist richtig.

    Begründung: Für eine Kreisbewegung gilt der Zusammenhang $v=\omega \cdot r$.

    Zu jedem Bahnradius eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Erdsatelliten gibt es genau eine passende Bahngeschwindigkeit.

    $\rightarrow$ Die Aussage ist richtig.

    Begründung: Da die Kreisbewegung eines Satelliten durch die als Zentripetalkraft wirkende Gravitationskraft aufrecht erhalten wird, gilt $v=\sqrt{G \cdot \dfrac{M}{r}}$.

    Die Bahngeschwindigkeit eines Erdsatelliten hängt von seiner Motorleistung ab. $\rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

    Begründung: Aufgrund der Gravitationskraft bewegt sich ein Erdsatellit ohne künstlichen Antrieb auf seiner Kreisbahn. Er benötigt lediglich zur Korrektur der Bahn bei äußeren Störungen und am Anfang, wenn er auf seine Bahn gebracht wird, Steuerdüsen.

    Hätte die Erde eine achtmal so große Masse, wäre der Bahnradius des geostationären Satelliten bei gleicher Dauer der Erdrotation doppelt so groß wie der reale. $\rightarrow$ Diese Aussage ist richtig.

    Begründung: Dies ergibt sich aus der folgenden Gleichung $r=\sqrt[3]{G \cdot \dfrac{MT^2}{4\pi^2}}$ und der Tatsache, dass $\sqrt[3]{8}=2$ gilt.

  • Beschreibe den geostationären Satelliten.

    Tipps

    Ein geostationärer Satellit soll sich immer genau über einem bestimmten Ort auf der Erde befinden.

    Die Rotation der Erde um ihre Achse dauert ziemlich genau einen Tag.

    Lösung

    Für viele Zwecke ist es sinnvoll einen Satelliten zu haben, der speziell für einen Ort auf der Erde immer zugänglich ist: den geostationären Satelliten.

    Das Besondere an einem geostationären Satelliten ist, dass er scheinbar über einem Ort auf der Erde stillsteht. Da die Erde sich aber selbst um ihre eigene Achse dreht, muss sich der Satellit mit dem Ort auf der Oberfläche mitbewegen.

    Da ein Ort auf der Erde bei der täglichen Bewegung um die Erdachse eine Kreisbahn beschreibt, muss auch der geostationäre Satellit auf einer Kreisbahn unterwegs sein.

    Die ist aber nur möglich, wenn er sich über einem Ort auf dem Äquator befindet. Seine Bahn ist dann sozusagen eine Projektion des Äquators ins Weltall.

  • Berechne die kinetische, die potentielle und die Gesamtenergie eines geostationären Satelliten.

    Tipps

    Eine negative Gesamtenergie liegt vor, wenn es sich um einen gebundenen Zustand handelt, wie es bei einem Satelliten auf einer Kreisbahn der Fall ist.

    Lösung

    Wir berechnen zunächst die kinetische Energie des geostationären Satelliten.

    Dazu müssen wir zunächst die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde umrechnen:

    $v=\pu{3 km//s}=\boldsymbol{3\,000\,~ \pu{m//s}}$

    Jetzt können wir die kinetische Energie in der richtigen Einheit berechnen:

    $E_\text{kin} =\boldsymbol{\frac{1}{2}mv^2}=\frac{1}{2} \cdot \boldsymbol{\pu{500 kg} \cdot (3\,000~ \pu{m//s})^2 = 2\,250\,000\,000~\text{J}}= 2,25~\textbf{GJ}$

    Damit können wir die potentielle Energie berechnen:

    $E_\text{pot}=\boldsymbol{-2} \cdot E_\text{kin}=\boldsymbol{-4,5}~\textbf{GJ}$

    Für die Gesamtenergie ergibt sich:

    $E_\text{Ges}=\boldsymbol{-E_\text{kin}= -2,25}~\textbf{GJ}$

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