Erste kosmische Geschwindigkeit

Name: Erste kosmische Geschwindigkeit
Uploaded: 2021-09-28T16:40:53.000+02:00
Description: Erste kosmische Geschwindigkeit – Erklärung & Übungen

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Erste kosmische Geschwindigkeit

Zweite kosmische Geschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen! Heute möchten wir über die erste kosmische Geschwindigkeit sprechen. Wir wollen 3 Fragen klären. 1. Was ist V1? 2. Wie lautet die Formel für V1 und 3. wollen wir V1 mithilfe der Formel berechnen. Um unser Unterfangen in vernünftige Bahnen zu lenken, legen wir zu erst einmal den Mittelpunkt fest, der den Mittelpunkt der Erde sein soll. Wir schlagen nun mit dem Zirkel darum einen Kreis, der die Erdoberfläche darstellt. Für unser weiteres Tun benötigen wir nun einige Daten. Als Erstes den Radius der Erde, also den Abstand vom Erdmittelpunkt bis zur Erdoberfläche. Diese Größe bezeichnen wir als rE. Die Masse der Erde bezeichnen wir mit dem Symbol mE. Und jetzt kommt es zum eigentlichen Begriff der 1. Kosmischen Geschwindigkeit. Wir haben nun einen Körper, der sich genau an der Erdoberfläche, tangential zum Erdmittelpunkt, immer an der Oberfläche um die Erde bewegen soll. Und dies geschieht mit der 1. Kosmischen Geschwindigkeit. Sie muss derartig groß sein und selbstverständlich auch gerichtet, sodass der Körper ständig diese Kreisbewegung vollführt. Wir wissen nun, dass 2 Kräfte wirken. Einmal wirkt die Zentrifugalkraft, vom Erdmittelpunkt weg, die durch die Kreisbewegung entsteht. Diese Kraft bezeichnen wir als Fz. Dieser Kraft entgegen wirkt die Gewichtskraft, die durch die Anziehungskraft zwischen Erde und dem Körper zustande kommt. Diese Kraft bezeichnen wir als FG. Wir notieren. Fz ist Zentrifugalkraft und FG ist Gewichtskraft. Damit der Körper diese Bewegung an der Erdoberfläche ständig vollführt, muss ein Gleichgewicht zwischen beiden Kräften vorliegen. Das heißt, sie müssen beiden vom Betrag her gleich sein. Das heißt, Fz=FG. Beachtet bitte, dass in der Zeichnung Fz und FG vektorielle Größen darstellen, während Fz=FG eine Beziehung der Beträge dieser Kräfte bedeuten soll. Wir wissen nun, dass sich die Zentrifugalkraft bei der Kreisbewegung zu m×v1²/r berechnet. Das ist die linke Seite unserer Gleichung. Auf der rechten Seite schreiben wir das Gravitationsgesetz auf. Denn nach dem Gravitationsgesetz können wir die Gewichtskraft FG berechnen. Also γ×(m×mE)/r². γ ist die Gravitationskonstante, m die Masse des Körpers, mE die Masse der Erde und die Radien sind entsprechend die Erdradien. Wir können nun die Gleichung vereinfachen, indem wir beide Seiten durch m dividieren, beziehungsweise mit rE multiplizieren. Man kann auch im Jargon dann von Kürzen sprechen. Wir erhalten somit v1²=γ×(mE/rE). Schließlich ziehen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel und erhalten v1=\sqrt(γ×(mE/rE)). Damit haben wir den 2. Teil unserer Aufgabenstellung erfüllt. Ich notiere somit die Formel für die erste kosmische Geschwindigkeit in die nebenstehende Skizze. Nun bleibt uns nur noch zu tun die 1. kosmische Geschwindigkeit auszurechnen. γ, mE und rE entnehme ich einer Schulformelsammlung. γ beträgt ungefähr, ich nehme bloß die 2 Stellen nach dem Komma für die Maßzahl, 6,67×10^-11m³×s². Die Erdmasse mE beträgt 5,976×10²⁴ kg. Für den Erdradius habe ich das arithmetische Mittel, aus dem großen Wert, das heißt den Abstand vom Erdmittelpunkt zu Äquator und den kleineren Wert vom Erdmittelpunkt zu den Polen genommen, und auf 2 Stellen nach dem Komma in der Maßzahl gerundet. rE=6,37×10⁶ m. Bei der Berechnung komplexer physikalischer Größen empfiehlt es sich die Maßzahlen anzuordnen, anschließend die Zehnerpotenzen und als letztes die Einheiten. So erspart man sich viel Durcheinander. Ich schreibe somit für die Maßzahlen (6,675×5,976)/6,37. Außerdem borge ich mir noch eine 10 von den Zehnerpotenzen. Warum das nachher essenziell ist, werdet ihr im Laufe der Rechnung sehen. So, die Maßzahlen einschließlich der 10, werden von mir in eine rote Klammer gesetzt, weil ich diese Größe separat ausrechne. Bei den Zehnerpotenzen ergibt sich (10^-11×10²³)/10⁶. Da habe ich mir von der 10²⁴ eine 10 geborgt. Da ich das wieder separat berechne, schreibe um diesen Ausdruck wieder eine rote Klammer. Die Einheiten schreiben wir auch wieder zusammen, also: (m³/kg)/(kg×s²×m). Darüber das Wurzelzeichen, wir können ja die Wurzel separat aufschreiben, außerhalb der anderen Wurzel. Erinnert euch an das Wurzelgesetz und können dann weiterarbeiten. Zunächst berechne ich den 1. Klammerausdruck, das heißt, unsere Maßzahlen, und ziehen gleich daraus unsere Wurzeln, darf ich ja. So, das mache ich mit dem Taschenrechner, vertue mich natürlich auch gleich am Anfang, komme dann aber auch letztendlich zu einem Ergebnis, das ich erwartet habe. Ich erhalte 7,91. Für das Zusammenfassen der Zehnerpotenzen benötige ich keinen Taschenrechner. Ihr, so hoffe ich, auch nicht. Wir haben dort 10^-11×10²³, die Basen sind gleich, wir müssen die Exponenten addieren. Also 10¹²/10⁶, was wir im Nenner haben, macht (10⁶) unterhalb der Wurzel. Bleiben noch die Einheiten. Wir können m³ gegen m kürzen, genauso wie kg und kg im Zähler und Nenner. Wir erhalten also unterhalb der Wurzel (10⁶)×(m²/s²). Der Rest geht, so hoffe ich, auch bei euch im Kopf. V1=7,91×\sqrt10⁶=10³. Und die Einheit aus m²/s² ergibt m/s. Also wären das 7910 m/s. Oder in km umgerechnet v1=7,91 km/s. Schauen wir einmal nach, was uns die Literatur dazu sagt. Ich nehme eine der vielen Formelsammlungen, in eurer müsste auch ein ähnlicher Wert dann zu finden sein, und erhalte v1=7,92 km/s. Ich denke mit so einer Übereinstimmung mit dem Literaturwert können wir zufrieden sein. Zum Abschluss möchte ich noch eine vernünftige Definition für die 1. komische Geschwindigkeit v1 angeben. Die 1. kosmische Geschwindigkeit v1 ist die Geschwindigkeit, die ein Körper benötigt, um sich ständig auf einer Kreisbahn an der Erdoberfläche um die Erde zu bewegen. Damit haben wir den 1. Teil unserer Aufgabenstellung gelöst. Der 2. Teil der Aufgabenstellung wurde auch gelöst. Er bestand darin eine Formel für v1 zu entwickeln. Das haben wir getan. Und letztendlich haben wir auch v1 ausgerechnet. Es beträgt 7,9 km/s. So und schon wieder sind wir am Ende, tschüs.

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Die Autor*innen

André Otto

Erste kosmische Geschwindigkeit

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Erste kosmische Geschwindigkeit Übung

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Gib den Wert der ersten kosmischen Geschwindigkeit an.

Tipps

Die erste kosmische Geschwindigkeit gibt an, wie schnell ein Körper sein muss, um sich ständig auf einer Kreisbahn an der Erdoberfläche um die Erde zu bewegen.

$ v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$

Lösung

Die erste kosmische Geschwindigkeit gibt an, wie schnell ein Körper sein muss, um sich ständig auf einer Kreisbahn an der Erdoberfläche um die Erde zu bewegen.
Diese Geschwindigkeit hängt von der Masse der Erde ab, sowie dem Erdradius und der Gravitationskonstante $\gamma$.
Da alle diese Größen als konstant angenommen werden können - der Erdradius ändert sich ebenso wie die Masse der Erde nicht und $\gamma$ ist eine Konstante -, ist auch die resultierende erste kosmische Geschwindigkeit konstant.
Um diese zu bestimmen, wählt man den Ansatz des Gleichgewichts von Anziehungskraft der Masse und Zentrifugalkraft der Bewegung.
Daraus resultiert der Zusammenhang $ v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.
Setzen wir die aus der Literatur bekannten Werte für die Variablen ein, so erhalten wir $v_1 = 7,92 \frac{km}{s}$, den Literaturwert für die erste kosmische Geschwindigkeit.
Vervollständige die Definition der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

Tipps

Der Ansatz ist das Gleichgewicht zwischen der Gravitationskraft und der Zentrifugalkraft.

Kräfte sind vektorielle Größen.

Lösung

Um zu bestimmen, was die erste kosmische Geschwindigkeit eigentlich genau ist, kann uns diese Definition Aufschluss geben: Die erste kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein Körper benötigt, um sich ständig auf einer Kreisbahn an der Erdoberfläche um die Erde zu bewegen.
Da es sich hier um eine Kreisbewegung handelt, muss diese Überlegung auch bei der Berechnung der ersten kosmischen Geschwindigkeit berücksichtigt werden. Zusätzlich zur Kreisbewegung ist das Newtons'sche Gravitationsgesetz von Bedeutung.
Der Ansatz ist hier das Gleichgewicht zwischen der Gravitationskraft und der Zentrifugalkraft. Sind diese beiden genau gleich groß, so heben sie sich gegenseitig auf, denn sie sind entgegengesetzt gerichtete, vektorielle Größen.
Berechne die erste kosmische Geschwindigkeit für den Mond.

Tipps

$\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11}$

$v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_M}{r_M}}$

Lösung

Analog zur Bestimmung der ersten kosmischen Geschwindigkeit für die Erde könnte man diese auch für den Mond bestimmen.
Wir haben bisher gelernt, dass die erste kosmische Geschwindigkeit nur abhängig ist von der Masse und dem Radius des betrachteten Planeten (oder Himmelskörper).
Wir nutzen hier demnach wieder die Formel $v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_M}{r_M}}$.
Darin ist jedoch $m_M$ nun die Masse des Mondes und $r_M$ der Mondradius.
Einsetzen liefert uns nun $v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{7,35 \cdot 10^{22} kg}{1.730 .000m}}$. Damit errechnet sich $v_1$ für den Mond zu $1.683,4 \frac{m}{s}$.
Damit ist diese etwa $5$-mal geringer als die auf der Erde.
Generell können wir festhalten, dass die erste kosmische Geschwindigkeit mit der Wurzel des Verhältnisses zwischen Masse und Radius steigt.
So ergeben sich dann große Werte für $v_1$ auf massereichen Planeten mit möglichst geringem Radius.
Erkläre den Ansatz zur Berechnung der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

Tipps

Zunächst einmal muss festgelegt werden, welches Modell betrachtet wird.

$F_G = F_{ZF}$

Die Werte für den Erdradius und die Erdmasse sind Literaturwerte.

Lösung

Um die erste kosmische Geschwindigkeit zu bestimmen, sind einige Schritte notwendig.
Zunächst einmal muss das betrachtete Modell definiert werden. Wir nehmen an, dass sich eine Masse auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt. Daraus folgt, dass neben der Massenanziehung auch die Zentrifugalkraft wirken muss.
Nun nehmen wir an, dass die beiden Kräfte gleich sind. So erhalten wir aus den einzelnen Formeln den zusammengesetzten Ausdruck $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = \gamma \cdot \frac{m \cdot m_E}{r_E}$.
Gesucht ist die Geschwindigkeit $v_1$, also stellen wir um und erhalten nach Vereinfachen $v_1 = \sqrt{ \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.
Die Werte für die Masse der Erde $m_E$ und den Erdradius $r_E$ sind bekannt und können der Literatur entnommen werden.
Setzen wir diese nun in die hergeleitete Formel ein, so ergibt sich $v_1 = 7,92 \frac{km}{s}$.
Dieser Wert entspricht der ersten kosmischen Geschwindigkeit. Unsere Betrachtung ist damit abgeschlossen.
Gib an, warum die erste kosmische Geschwindigkeit als konstant angenommen werden kann.

Tipps

Die Zentrifugalkraft und die Gravitationskraft stehen im Gleichgewicht.

Lösung

Für die erste kosmische Geschwindigkeit gilt die gezeigte Formel.
Auffällig ist, dass alle Größen, die zur Berechnung von $v_1$ notwendig sind, konstant sind.
Die Gravitationskonstante ist ebenso wie die Erdmasse und der Erdradius nicht veränderlich.
Bei der Herleitung aus dem Ansatz des Gleichgewichtes von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft kürzt sich die Masse des Probekörpers weg, sodass diese keine Rolle bei der Berechnung von $v_1$ spielt.
Die Ausmaße des bewegten Körpers werden von vornherein vernachlässigt, sodass auch dessen Radius keinen Einfluss auf $v_1$ hat.
Werten wir die gezeigte Formel mit den Literaturwerten für $\gamma$, $m_E$ und $r_E$ aus, so ergibt sich $v_1 = 7,92 \frac{km}{s}$.
Ein Körper, der sich mit $7,92 \frac{km}{s}$ über die Erdoberfläche bewegt, schwebt sozusagen über diese hinweg.
Erkläre die Bedeutung der Vektoreigenschaft von Zentrifugal- und Gravitationskraft.

Tipps

Kräfte sind vektorielle Größen.

Kräfte können sich gegenseitig neutralisieren.

Lösung

Die Zentrifugalkraft tritt bei einer Kreisbewegung auf und ist abhängig vom Radius der Bewegung und von der Geschwindigkeit.
Die Richtung der Zentrifugalkraft ist charakteristischerweise stets vom Zentrum der Kreisbewegung weggerichtet. Sie zeigt sozusagen nach Außen.
Die Massenanziehung bzw. die Gewichtskraft zieht eine Masse stets zum Schwerpunkt des anziehenden Objektes hin. Hier bedeutet das: zum Kreismittelpunkt.
Die Anziehungskraft aus der Massen wirkt also der Zentripetalkraft genau entgegen. Kräfte sind, wie wir ja schon gelernt haben, vektorielle Größen. Das heißt, neben einem Betrag kann man jeder Kraft auch eine fest definierte Richtung zuweisen.
Für den Fall, dass zwei Kräfte in entgegengesetzte Richtungen zeigen, werden sich diese zu null summieren, wenn sie genau gleich groß sind.
Stelle dir vor, du ziehst mit beiden Händen an einem Stift. Der Stift wird in Ruhe bleiben, obwohl Kräfte auf ihn wirken.
Nach diesem Prinzip heben sich auch die Zentrifugalkraft und die Anziehungskraft auf. Nehmen diese Kräfte gleiche Beträge an, so werden sie sich gegenseitig aufheben und die Masse wird über die Erdoberfläche hinweg schweben.