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Gravitationskonstante – Messung

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Jakob Köbner
Gravitationskonstante – Messung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Gravitationskonstante – Messung

Inhalt

Die Messung der Gravitationskonstanten

Ende des 17. Jahrhunderts hatte Isaac Newton seine Überlegungen zur Wirkung der Gravitation angestellt und den Schluss gezogen, dass die Gravitationskraft proportional zu den sich anziehenden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes zwischen diesen Massen ist. Diese Erkenntnis wurde später als das newtonsche Gravitationsgesetz bekannt:

$F_G = G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^{2}}$

In dieser Formulierung sind $m_1$ und $m_2$ die Massen der Körper und $r$ der Abstand zwischen ihren Schwerpunkten. Die Proportionalitätskonstante $G$ heißt Gravitationskonstante – sie bestimmt die Stärke der Gravitation. Der erste annähernd genaue Wert für $G$ wurde Ende des 18. Jahrhunderts von Henry Cavendish mit einer Drehwaage bestimmt. Wie genau man mit einer Drehwaage die Gravitationskonstante messen kann, wollen wir uns im Folgenden anschauen.

Gravitationskonstante bestimmen – Drehwaage

Die Drehwaage zur Bestimmung der Gravitationskonstanten ist vereinfacht so aufgebaut, wie in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Gravitationskonstante Physik, Messung mit der Drehwaage

Zwei kleine Kugeln, die jeweils die Masse $m$ haben, sind an einer Hantel befestigt, die wiederum an einem dünnen Draht aufgehängt ist. An diesem Draht ist ein kleiner, sehr leichter Spiegel befestigt. Auf einem drehbaren Gestell befinden sich außerdem zwei Kugeln der Masse $M$.

Das Funktionsprinzip der Drehwaage können wir uns folgendermaßen vorstellen:

Die Kugeln $m$ und $M$, die sich jeweils am nächsten sind, ziehen sich aufgrund der Gravitationskraft gegenseitig an. Durch die Anziehung wirkt ein Drehmoment auf die Hantel und der Draht verdreht sich. Ähnlich wie eine Feder, die gespannt wird, übt auch der verdrehte Draht ein entgegengesetztes Drehmoment aus. (Die Größe des Drehmoments hängt vom Material des Drahtes ab. In Drehwaagen werden spezielle Materialien verwendet, deren rücktreibendes Drehmoment proportional zum Winkel der Verdrehung ist.) Nach einer kurzen Zeitspanne hat sich ein Gleichgewicht zwischen den beiden Drehmomenten eingestellt. Im Gleichgewichtszustand wird die Winkelposition der Hantel notiert. Dann werden die großen Kugeln der Masse $M$ umgeschwenkt. Jetzt wirkt das durch die Gravitationskraft hervorgerufene Drehmoment in die genau entgegengesetzte Richtung und es stellt sich ein neues Gleichgewicht ein, in dem der Draht in die entgegengesetzte Richtung verdreht wird. Indem man den Winkel zwischen diesen beiden Gleichgewichtslagen misst, kann man auf die wirkenden Drehmomente schließen. Der Spiegel am Draht ist dafür da, den Winkel genauer messen zu können, indem mithilfe eines Lasers ein Lichtreflex erzeugt wird, der bei Auslenkung wandert. Über die Winkelbeziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck kann der Drehwinkel so über die Verschiebung des Lichtreflexes bestimmt werden. Die eigentliche Auslenkung ist nämlich sehr klein, weil die Gravitationskraft sehr gering ist, wie wir weiter unten in einem Beispiel sehen werden.

Um eine Formel für die Berechnung der Gravitationskonstanten herleiten zu können, muss man zusätzlich das sogenannte Direktionsmoment des Drahtes kennen. Das ist für die Verdrehung das, was die Federkonstante bei einer normalen Spiralfeder ist. An dieser Stelle wollen wir auf die Formel und ihre Herleitung allerdings verzichten, da zusätzlich einige Korrekturterme eingeführt werden müssen.

Wie groß ist die Gravitationskonstante?

Die Gravitationskonstante genau zu bestimmen, ist extrem schwierig. Dies liegt vor allem daran, dass die Gravitationskraft sehr klein ist und so kleinste Störungen die Ergebnisse einer Messung stark verfälschen. Auch heutzutage wird die Gravitationskonstante mithilfe von Drehwaagen gemessen, wobei sich der experimentelle Aufbau stark verbessert hat. Mit solchen modernen Aufbauten konnte man die Konstante bis auf die dritte Nachkommastelle genau bestimmen:

$G \approx 6,674 \cdot 10^{-11}~ \pu{m^{3} // kg s^{2} }$

Die Einheit der Gravitationskonstanten ist $[G] = \pu{m^{3} // kg s^{2} }$.

Was dieser Wert von $G$ für ein Experiment bedeutet, wollen wir in einem Beispiel berechnen.

Gravitationskonstante – Beispielrechnung für die Gravitationskraft

Um die Größenordnung der Kraft abschätzen zu können, die in der Drehwaage wirkt, berechnen wir die Kraft zwischen zwei Kugeln der Massen $m$ und $M$ im Abstand $r$ zueinander. Dazu nehmen wir folgende Werte an:

$m = 0,04~\pu{kg}$

$M = 2~\pu{kg}$

$r = 0,03~\pu{m}$

Diese Werte setzen wir in das Gravitationsgesetz ein. Außerdem setzen wir für die Gravitationskonstante den auf zwei Nachkommastellen gerundeten Wert $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}~ \pu{m^{3} // kg s^{2} }$ ein:

$F_{G} = 6,67 \cdot 10^{-11}~ \pu{m^{3} // kg s^{2} } \cdot \frac{0,04~\pu{kg} \cdot 2~\pu{kg}}{(0,03~\pu{m})^{2}}$

Ausrechnen und Zusammenfassen der Einheiten ergibt:

$F_G = 5,93 \cdot 10^{-9}~\pu{N}$

Das sind knapp sechs Nanonewton. Zum Vergleich: $1~\pu{N}$ entspricht in etwa der Gewichtskraft einer Masse von $100~\pu{g}$, also ungefähr einer Tafel Schokolade. Ein Nanonewton ist nur ein Milliardstel davon – also die Gewichtskraft, die auf ein Milliardstel einer Tafel Schokolade wirkt. Darum ist es so schwer, die Gravitationskonstante zu bestimmen.

Zusammenfassung zum Thema Gravitationskonstante

Wir fassen die wichtigsten Punkte zur Messung der Gravitationskonstanten noch einmal stichpunktartig zusammen:

  • Die Gravitationskonstante $G$ ist der Proportionalitätsfaktor im Gravitationsgesetz.
  • Sie wurde das erste Mal Ende des 18. Jahrhunderts von Henry Cavendish mit einer Drehwaage gemessen.
  • Die Drehwaage funktioniert über ein Kräftegleichgewicht zwischen Gravitationskraft und rücktreibender Kraft eines Torsionsdrahtes.
  • Der Wert der Gravitationskonstanten beträgt $G \approx 6,674 \cdot 10^{-11}~ \pu{m^{3} // kg s^{2} }$.

Das Video Gravitationskonstante - Messung kurz zusammengefasst

In diesem Video lernst du das Funktionsprinzip einer Drehwaage kennen. Du erfährst außerdem, wie man mit ihr die Gravitationskonstante bestimmen kann. Video und Text werden durch Aufgaben und ein Arbeitsblatt ergänzt.

Transkript Gravitationskonstante – Messung

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus dem Gebiet Mechanik mit der Messung der Gravitationskonstanten beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über das Gravitationsgesetz gesehen haben.

Wir lernen heute, wer die Gravitationskonstante als Erstes gemessen hat und wie er das gemacht hat. Wie die Drehwaage, das Instrument, mit dem man diese Messung macht, genau funktioniert und zum Schluss machen wir eine kleine Beispielrechnung, die uns ein Gefühl dafür gibt, wie groß die Schwerkraft ist.

Wir fangen an mit ein wenig Geschichte. Die Messung der Gravitationskonstante wurde das erste Mal von Henry Cavendish 1798 durchgeführt. Es wurde damals schon vermutet, dass man die Anziehungskraft, die 2 Körper aufgrund ihrer Massen aufeinander ausüben, mit einer Drehwaage messen könnte. Er führte diesen Versuch als Erster erfolgreich aus. Hauptsächlich eigentlich, um die Dichte und damit das Gewicht der Erde zu bestimmen. Er war aber auch der Erste, der einigermaßen brauchbar die Gravitationskonstante ermittelte.

Wie diese Drehwaage nun genau funktioniert, das wollen wir uns im nächsten Kapitel ansehen.

Die Idee der Drehwaage ist folgende. 2 große Kugeln sind festmontiert, 2 kleine Kugeln sind an einer Art Hantel an einem Torsionsdraht in der Waage aufgehängt. Zuerst markiert man genau, an welcher Stelle die beiden kleinen Kugeln sind, wenn die Drehwaage ohne die großen Kugeln ausbalanciert ist.

Dann bringt man die großen Kugeln hinein und durch die Anziehungskraft zwischen der großen und der kleinen Kugel auf beiden Seiten, die der Formel FG= M×m/r²×G folgt, bewegt sich der Stab mit den beiden kleinen Kugeln. Nun muss ich nur markieren, um wie viel sich die kleinen Kugeln bewegt haben, die großen Kugeln wieder herausnehmen und mit einem sehr feinen Kraftmesser messen, welche Kraft ich brauche, um die beiden Kugeln, bis zu diesem Punkt zu verschieben. Dann sind FG, m, M und r bekannt. Ich kann also die Gravitationskraft berechnen. Ihr Wert beträgt ungefähr G=6,67×10^-11Nm²/Kg².

Die Kräfte, die in der Drehwaage wirken, sind übrigens wahnsinnig klein. Um zu verstehen wie klein genau, wollen wir im letzten Kapitel eine kleine Beispielaufgabe rechnen.

Gegeben ist, als die Masse der kleinen Kugel, m=40g, die Masse der großen Kugel M=2kg und der Abstand r zwischen den beiden ist 3cm. Gesucht wird die wirkende Gewichtskraft FG und die Masse mx, die man mit dieser Gewichtskraft anheben könnte.

Wir benutzen einfach unsere Formel. FG=mM/r²×G also 0,04kg×2kg/(0,03m²)×6,67×10^-11Nm²/Kg². Das Ergebnis ist: 5,93×10^-9 N oder 5,93 Nanonewton.

Das ist wahnsinnig wenig, wie wenig, seht ihr gleich, wenn wir die Masse ausrechnen. Wir setzen an, die Gewichtskraft unseres Objektes x FGx=mx×g=^!5,93nN. Ich löse das Ganze nach mx auf und muss nur noch meine 5,93nN durch die Fallbeschleunigung g teilen. Ich erhalte mx=6,04×10^-10 Kg oder anders ausgedrückt 604ng. Es ist schwer etwas zu finden, das ein Gewicht in dieser Größenordnung hat.

Als Beispiel nehmen wir mal 600 ng ist ungefähr das Gewicht von 50 Blütenpollen. Unser Antwortsatz lautet FG beträgt 5,93nN, damit könnte man eine Masse von 604 ng anheben. Und ihr seht schon, das ist unglaublich wenig.

Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Die Gravitationskonstante wurde 1798 von Henry Cavendish mit einer Drehwaage bestimmt. Die Torsionskraft, so nennt man die Kraft, die durch das Verdrehen des Drahtes entsteht, die 2 sich gegenseitig anziehende Kugeln verursachen, kann bestimmt werden. Damit ist die Gravitationskonstante errechenbar und ihr Wert beträgt G=6,67×10^-11Nm²/Kg².

So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Wo befinden sich die 2 großen festmontierten Kugeln auf der Skizze?

    Von Mytom88mytom, vor etwa 4 Jahren

Gravitationskonstante – Messung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gravitationskonstante – Messung kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Untersuchungsergebnisse von Cavendish.

    Tipps

    Cavendish ermittelte einen Wert zur Beschreibung der Beschaffenheit der Erde.

    Darüber hinaus ermittelte er den Wert einer Naturkonstante.

    Lösung

    Die Experimente mit der Drehwaage führte Cavendish aus, um die Dichte der Erde und damit auch das Gewicht der Erde zu ermitteln. Zum Berechnen dieser Werte bestimmte er außerdem die Gravitationskonstante G.

  • Zeige, wie die Gravitationskonstante G bestimmt werden kann.

    Tipps

    Wähle nur einzelne Formelzeichen aus.

    Lösung

    Bei der Bestimmung der Gravitationskonstante G werden die beiden Massen M und m sowie ihr Schwerpunktabstand r durch die gewählten Versuchsparameter in der Drehwaage vorgegeben. Experimentell gemessen wird dann die Gravitationskraft, die zwischen den beiden Massen m und M wirkt.

  • Erkläre den Ablauf des Experiments zur Bestimmung von G mit Hilfe der Abbildung.

    Tipps

    Der Blickwinkel auf den Versuchsaufbau ist anders als im Video.

    Hier schaust du von oben auf das Experiment. Der Draht, an dem die Hantel mit den kleinen Kugeln befestigt ist, ist daher nicht zu sehen.

    Lösung

    Anhand der Schritte kannst du erkennen, dass das Drehwaagen-Experiment tatsächlich alle Daten liefert, um die Gravitationskonstante G aus dem Gravitationsgesetz (siehe Abbildung) zu bestimmen:

    $m,~M,~r$ erhältst du aus den Versuchsparametern und $F_G$ wird im Experiment mit dem Kraftmesser gemessen.

  • Berechne die Gravitationskonstante G anhand der Daten des Versuchsprotokolls.

    Tipps

    Forme zunächst das Gravitationsgesetz nach G um.

    Überprüfe dann, ob die Größen richtig eingesetzt sind.

    Beachte: $1~nm=10^{-9}~m$.

    Lösung

    Umformen des Gravitationsgesetzes und Einsetzen der Größen ergibt für diesen (fiktiven) Satz an experimentellen Daten für die Gravitationskonstante:

    $G=F_G\cdot \frac {r^2} {m\cdot M}=8\cdot 10^{-9}~N\cdot \frac {(0,05~m)^2} {0,100~kg\cdot 3,000~kg}=6,67\cdot 10^{-11} \frac {Nm^2} {kg^2}$.

    Tatsächlich waren die Versuchsergebnisse zur Bestimmung von G zu Zeiten von Cavendish noch nicht so genau!

  • Benenne die Gravitationskonstante G.

    Tipps

    Zahlenwert, Größenordnung und Einheit müssen berücksichtigt werden.

    Lösung

    Die Experimente von Cavendish mit der Drehwaage lieferten noch recht ungenaue Werte für die Naturkonstante G. Heute wird die Gravitationskonstante $G=6,67\cdot 10^{-11}\frac {Nm^2} {kg^2}$ mit einer abgewandelten Methode des Drehwaagen-Experimentes von Cavendish bestimmt.

  • Erkläre, weshalb G mit dem Drehwaagenversuch von Cavendish nur bis zu einer gewissenen Genauigkeit bestimmt werden kann.

    Tipps

    Welche physikalische Größe ist bei diesem Experiment aufgrund ihres geringen Wertes am schwersten bestimmbar?

    Lösung

    Die Gravitationskonstante G hat einen sehr geringen Wert. Will man sie wie im Drehwaagen-Experiment mit Massen nachweisen, die höchsten ein paar Kilogramm wiegen, sind die wirkenden Kräfte sehr klein. Diese können daher nur bis zu einer gewissen Genauigkeit bestimmt werden. Modernere Versuchsaufbauten reduzieren dieses Problem. Generell sind die kleinen Kräfte nach wie vor der begrenzende Faktor.

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