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Zweite kosmische Geschwindigkeit 08:20 min

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Textversion des Videos

Transkript Zweite kosmische Geschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video geht es um die 2. kosmische Geschwindigkeit. Nehmen wir an, wir haben die Erde und auf der Erdoberfläche befindet sich ein Körper mit der Masse M. Dieser Körper soll einmalig mit der Geschwindigkeit V2 vom Erdmittelpunkt weg von der Erde bewegt werden. Und wir wollen berechnen, welche Geschwindigkeit V2 mindestens dafür notwendig ist, damit der Körper die Anziehungskraft der Erde überwinden kann. V2 bezeichnet man als die 2. kosmische Geschwindigkeit. Der Betrag von V2 muss ausreichend sein, um die Erdanziehung zu überwinden. Bei dieser Aufgabe ist es, so wie bei vielen physikalischen Problemen, es kommt auf den Ansatz an. Und wir gehen hier davon aus, dass der Körper durch diese Geschwindigkeit V2 eine gewisse kinetische Energie, Ekin, erfährt. Und diese kinetische Energie ist dann gleich der potenziellen Energie, die er besitzt, wenn er von der Erde ausreichend entfernt ist, um sich der Erdanziehung zu entziehen. Die Formel für die kinetische Energie ist wohlbekannt, sie lautet: 1. Ekin=Mv²/2. Für die potenzielle Energie können wir nicht einfach Epot=m×g×h schreiben, weil sich die Erdbeschleunigung g mit dem Abstand von der Erde verändert. Allgemein können wir jedoch formulieren: Epot=∫ von Fds in den Grenzen von s1 bis s2. Andererseits kennen wir das Gravitationsgesetz. F=γ×m×mE/r². γ ist die Gravitationskonstante, m die Masse des Körpers, mE die Masse der Erde und r der Abstand des Körpers und der Erde voneinander. Somit können wir formulieren: Epot=∫ in den Grenzen von rE bis ∞. rE entspricht dem s1 in der oberen Gleichung, denn dort startet der Körper und er soll ja die Anziehungskraft der Erde überwinden, also praktisch bis in die Unendlichkeit katapultiert werden - daher die obere Grenze ∞. Für F setzen wir die rechte Seite der linken Formel ein, also γ×m×mE/r²dr. dr steh in diesem Falle für ds aus der Gleichung darüber. Nun sieht der Ausdruck sehr schwer und dramatisch aus, doch er erweist sich als Papiergespenst, denn γ, m, mE sind Größen, die Konstanten bezüglich von r sind. Daher können wir sie vor das Integralzeichen schreiben. Somit erhalten wir unten mittig: Epot=γ×m×mE∫ in den Grenzen von rE bis ∞. 1/r²=r^-2×dr. Diese Funktion r^-2 zu integrieren, dürfte keine Schwierigkeit bereiten. Denkt an die Integration der Funktion xn. Wir erhalten somit rechts: Epot=-γ×m×mE×r^-1]rE∞. r^-1 schreibe ich um als 1/r und erhalte somit den Ausdruck unten in der Mitte. Epot=-γ×m×mE×1/r]rE∞. -γ×m×mE sind Konstanten und ich schreibe sie außerhalb der Klammer auf, also =-γ×m×mE. Ich darf nicht einfach die obere Integrationsgrenze einsetzen, sondern muss den Grenzwert bilden, also (limes von 1/r für r∞-1/rE). Der Grenzwert strebt für r∞ gegen 0. Innerhalb der Klammer haben wir ein negatives Vorzeichen und gleich nach dem Gleichheitszeichen ebenfalls 1, -×-=+. Somit erhalten wir für die potenzielle Energie =γ×m×mE/rE. Nun erinnern wir uns wieder, Ekin=Epot. Wir setzen also die Gleichungen (1) und (2) gleich. Somit ergibt sich mv²/2=γ×mE/rE×m. Wir können nun beide Seiten durch m dividieren, mit 2 multiplizieren und die Wurzel ziehen. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit V=\squrt2×γ×mE/rE. Somit haben wir eine Formel für die 2. kosmische Geschwindigkeit hergeleitet. Es ist gerade diese Geschwindigkeit, V2, die ausreichend ist, um einen Körper von der Erde wegzubewegen, sodass er die Erdanziehung überwinden kann. Also V2=\sqrt2γ×mE/rE. Nun hätte man natürlich gerne auch einen Wert für diese 2. kosmische Geschwindigkeit. Nun könnte ich mir natürlich die Mühe machen und wieder mit großem Aufwand γ, mE und rE zu notieren und dadurch den entsprechenden Wert auszurechnen, aber ich werde etwas ganz anderes tun. Denkt an das Video über die 1. kosmische Geschwindigkeit. Dort haben wir ebenfalls eine Formel für die 1. kosmische Geschwindigkeit, V1, hergeleitet. Erinnert ihr euch da dran? Die Formel lautete, die 1. kosmische Geschwindigkeit V1=\sqrtγ×mE/rE. Und nun schaut euch einmal die beiden Formeln an für V1 und V2. V2 unterscheidet sich von V1 genau um den Faktor \sqrt2. Also V2=\sqrt2×V1. Wir schreiben V2≈\sqrt2×7,9km/s. Das war der Wert, den wir für die 1. kosmische Geschwindigkeit im Video darüber ermittelt haben. Somit erhalten wir: V2≈11,1 km/s. Und V1, entsprechend aus dem Video vorher, ≈7,9 km/s. Ich danke für eure Aufmerksamkeit - auf Wiedersehen!

Zweite kosmische Geschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweite kosmische Geschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie sich die zweite kosmische Geschwindigkeit beschreiben lässt.

    Tipps

    Die potentielle Energie soll gleich der kinetischen Energie eine betrachteten Masse sein.

    Es gilt das Newton'sche Gravitationsgesetz.

    Lösung

    Die zweite kosmische Geschwindigkeit ist definiert als die Geschwindigkeit, die mindestens notwendig ist, um die Erdanziehung zu überwinden.

    Man wählt den Ansatz, dass die kinetische Energie einer Masse gleich ihrer potentiellen Energie im Schwerefeld der Erde ist.

    Mit $E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 $ erhalten wir die kinetische Energie. Die potentielle Energie ergibt sich aus dem Newton'schen Gravitationsgesetz.

    Nach dem Umstellen erhalten wir so $ v_2 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}} = 11,1 \frac{km}{s}$.
    Darin ist $\gamma$ die Gravitationskonstante, $r_E$ der Radius der Erdkugel und $m_E$ die Masse der Erde. Wie du siehst, benutzen wir die Kenngrößen der Erde. Damit ist die zweite kosmische Geschwindigkeit nach unserer Berechnung auch nur für die Erde gültig.

    Die zweite kosmische Geschwindigkeit beträgt etwa $ 11,1 \frac{km}{s}$ und ist damit fast $1,5$ mal höher als die erste kosmische Geschwindigkeit.

  • Bestimme, von welchen physikalischen Größen die zweite kosmische Geschwindigkeit abhängt.

    Tipps

    $v_2$ ist um das $\sqrt2$-fache größer als $v_1$.

    Die zweite kosmische Geschwindigkeit auf dem Mond entspricht nicht der auf der Erde.

    Lösung

    Für die zweite kosmische Geschwindigkeit $v_2$ gilt die gezeigte Formel.

    Darin enthalten sind neben der Gravitationskonstante $\gamma$ auch die Erdmasse $m_E$ und der Erdradius $r_E$.

    Wir können $v_2$ also als eine Konstante verstehen, denn diese gilt für alle Massen, die von der Erde wegbewegt werden sollen.

    Setzen wir nun die Werte für $r_E$ und $m_E$ ein. Diese erhalten wir aus der Literatur. $\gamma$ ist eine Konstante und ebenfalls gegeben.

    Mit $r_E = 6371 km$ und $m_E = 5,97 \cdot 10^{24} kg$, sowie $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$ erhalten wir nun $v_2 = \sqrt{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5,97 \cdot 10^{24}}{6.371.000 m}} $, die zweite kosmische Geschwindigkeit von etwa $v_2 = 11,1 \frac{km}{s}$.

  • Bestimme den Wert für die zweite kosmische Geschwindigkeit.

    Tipps

    Rechne in den Grundeinheiten.

    $\gamma = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$

    $ v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$

    Lösung

    Für die Berechnung der zweiten kosmischen Geschwindigkeit nutzen wir die Formel $ v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.

    Darin sind die Masse der Erde $m_E$ sowie deren Radius $r_E$ enthalten. Zudem ist die Gravitationskonstante notwendig, um $v_2$ zu berechnen.

    Setzen wir also nun die im Aufgabenkopf gegebenen Werte ein.

    Mit $m_E = 5,9722 \cdot 10^{24} kg$, $r_E = 6.371 km $ und $\gamma = 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2}$ erhalten wir nun:

    $ v_2 = \sqrt{2 \cdot 6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \cdot \frac{5,9722 \cdot 10^{24} kg}{6.371.000 m}} = 11.187 \frac{m}{s}$.

    Um eine praktischere Darstellung zu erhalten, geben wir den Wert besser in der Einheit $\frac{km}{s}$ an.

    So erhalten wir mit $v_2 = 11,187 \frac{km}{s}$ schlussendlich den Wert für die zweite kosmische Geschwindigkeit, den wir auch in der Literatur finden.

  • Leite die zweite kosmische Geschwindigkeit her.

    Tipps

    Ansatz : $E_{kin,v2} =E_{pot}$

    $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.

    Lösung

    Um die zweite kosmische Geschwindigkeit zu bestimmen, wählen wir zunächst den Ansatz $E_{kin,v2} =E_{pot}$.

    Aufgelöst ergibt sich also $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = E_{pot} $.

    Dabei ist zu beachten, dass die potentielle Energie nicht einfach aus $E_{pot} =m \cdot g \cdot h$ bestimmt werden kann.

    Wir müssen hier das Newton'sche Gravitationsgesetz beachten.

    Des Weiteren vergleichen wir das Potential zweier Punkte in einem Schwerefeld, sodass sich die gesamte potentielle Energie durch Integration der Gewichtskraft über die Strecke zwischen dem Startpunkt und unendlich ergeben muss. Innerhalb dieser Grenzen ergibt sich für $E_{pot} = \frac{\gamma \cdot m \cdot m_E}{r_E}$.

    Nun können wir die {kinetische} Energie und die potentielle Energie {gleichsetzen} und erhalten $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{\gamma \cdot m \cdot m_E}{r_E}$.

    Wir multiplizieren mit $2$ und kürzen durch $m$ und erhalten $v^2= 2 \cdot \gamma \frac{m_E}{r_E}$.

    Um nun $v_2$ zu erhalten, müssen wir lediglich noch die Wurzel ziehen, sodass für $v_2$ folgt:

    $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$ .

  • Gib an, welche Annahmen für die zweite kosmische Geschwindigkeit gültig sind.

    Tipps

    Die zweite kosmische Geschwindigkeit gilt für die Erde.

    Im Zuge der Berechnung von $v_2$ kann man die Massen $m$ kürzen.

    Es gilt $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$

    Lösung

    Bei der Berechnung der zweiten kosmischen Geschwindigkeit betrachten wir das Modell einer Masse $m$, welche sich auf der Erdoberfläche befindet und mit der Geschwindigkeit $v_2$ vom Erdmittelpunkt weg bewegt wird, sodass die kinetische Energie der Bewegung die potentielle Energie im Schwerefeld der Erde ausgleicht.

    Der Betrag der Masse$m$ ist dabei unerheblich, da diese im Zuge der Äquivalenzumformungen herausgekürzt werden kann. Für jede Masse ergibt sich somit die gleiche Geschwindigkeit $v_2$.

    Die Masse der Erde hingegen, also des anziehenden Körpers, nimmt sehr wohl Einfluss auf die zweite kosmische Geschwindigkeit. Mit anderen Worten auf einem anderen Planeten ergibt sich eine andere zweite Geschwindigkeit, wenn dieser eine geringere oder größere Dichte aufweisen würde.

    Die Probemasse $m$ befindet sich also im Schwerefeld der Erde, sodass man dieser eine potentielle Energie $E_{pot}$ nach dem Gravitationsgesetz zuordnen kann.

    Die Geschwindigkeit, die notwendig wäre, diese Energie zu überwinden, lässt sich mit der kinetischen Energie bestimmen.

    Man wählt also den Ansatz potentielle Energie gleich kinetische Energie.

  • Berechne die zweiten kosmischen Geschwindigkeiten für weitere Planeten.

    Tipps

    $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_P}{r_P}}$

    Beachte die Einheiten.

    Massereiche Planeten haben in der Regel hohe kosmische Geschwindigkeiten.

    Lösung

    Um die Geschwindigkeiten zu ermitteln, die notwendig sind, um die Anziehung der betrachteten Planeten zu überwinden, müssen die Werte für Masse und Radius eingesetzt werden.

    Dabei ist bereits auf den ersten Blick ersichtlich, dass $v_2$ mit der Wurzel des Verhältnisses der Masse des Planeten zu dessen Radius steigt. Für sehr massereiche Planeten ergibt sich so eine höhere zweite kosmische Geschwindigkeit. So ergibt sich für den Mars oder den Mond, die ja beide leichter und kleiner sind als die Erde, auch eine geringere $v_2$ als die auf der Erde.

    Für größere und schwerere Planeten ergibt sich eine höhere zweite kosmische Geschwindigkeit. Aus diesem Grund sind diese auf Jupiter oder Saturn auch höher als auf der Erde.

    Betrachten wir ein Beispiel: Um zu bestimmen, wie groß $v_2$ auf der Sonne sein müsste, setzen wir die gegebene Masse $m_S$ und $r_S$ ein.

    So erhalten wir mit $v_2 = \sqrt{2 \cdot \gamma \cdot \frac{m_P}{r_P}}$ und $r_S = 696.350 km$, sowie $m_S = 1,99 \cdot 10^{30} kg$ : $v_2 = \sqrt{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{11} \cdot \frac{1,99 \cdot 10^{30} kg}{696.350 km}} = 617,43 \frac{km}{s}$.

    Die zweite kosmische Geschwindigkeit auf der Sonne ist demnach etwa um das 60-fache größer als die auf der Erde.