Gravitationsgesetz – Massenbestimmung
Gravitationsgesetz – Massenbestimmung
Beschreibung Gravitationsgesetz – Massenbestimmung
In diesem Video lernst du ein einfaches Verfahren zur Massenbestimmung mit Hilfe des Gravitationsgesetzes kennen. Du erfährst, was man dazu alles braucht und wie es schlussendlich funktioniert. Das Ganze wird am Beispiel Erde-Sonne erklärt. Dabei kreist die Erde mit einem gewissen Radius um die Sonne. Die Kraft, welche die Erde auf der Kreisbahn hält, ist die Schwerkraft. Man kann sie jedoch auch als Zetripetalkraft interpretieren und so mit dem Gravitationsgesetz die Masse der Sonne bestimmen.
Transkript Gravitationsgesetz – Massenbestimmung
Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle! Wir wollen uns heute die Massenbestimmung mit dem Gravitationsgesetz ansehen. Für dieses Video kann es nicht schaden, wenn ihr bereits den Film über das Gravitationsgesetz gesehen habt. Wir lernen heute, wie der Titel schon sagt, eine Methode zur Massenbestimmung mit dem Gravitationsgesetz. Genauer gesagt, die beiden Punkte: Was brauche ich dazu und wie funktioniert das Ganze dann? Mit der Formulierung des Gravitationsgesetzes durch Newton gab es endlich eine Methode, um die Masse von Himmelskörpern zu bestimmen. Wie ihr wahrscheinlich wisst, war die Beobachtung und Erforschung unseres Sonnensystems schon lange Zeit ein großer Teilbereich der Physik. Im Bild unten seht ihr maßstabsgetreu die verschiedenen Planeten unseres Sonnensystems zum Vergleich vor der Sonne. Nun lassen sich durch genaue Beobachtung viele Dinge über einen Planeten herausfinden, wie Aussehen oder Umlaufdauer, mit dem Gewicht tut man sich da allerdings ein wenig schwerer. Wir wollen uns nun eine Methode ansehen, die auf sehr einfachem Wege die Massen von Himmelskörpern bestimmen kann. Als Beispiel wollen wir die Masse der Sonne ausrechnen. Im nächsten Kapitel wollen wir dazu erst einmal alle Sachen, die wir brauchen, oder anders gesagt, alle Größen, die wir schon kennen und einsetzen müssen, sammeln. Wir sammeln erst einmal, was wir für die Berechnung brauchen. Seit der Bestimmung der Gravitationskonstanten durch Cavendish war die Masse der Erde bekannt. Wir können das ja alles einfach auf Wikipedia nachschlagen und benutzen für die Masse der Erde 5,97×1024kg. So, wir malen gleich auch eine kleine Skizze. Wir haben also die Erde, die Masse der Erde kennen wir, und die Sonne. Für die Masse der Sonne benutzen wir den Buchstaben M. Was uns nun noch fehlt, ist der Abstand r zwischen den beiden. Der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne, den man auch eine astronomische Einheit nennt, beträgt 149,6 Mio.km oder 1,496×1011m. Innerhalb eines Jahres kreist unsere Erde einmal um die Sonne. Die Umlaufdauer ist also 1 Jahr. Und, da wir ganz genau sind und auch Schaltjahre mit einrechnen, nehmen wir für die Umlaufdauer ungefähr 365,25 Tage. Wir schreiben uns noch einmal kurz zur Erinnerung die Formel für die Gravitationskraft auf: FG=G×(mErde×M)/r². Dabei fällt uns auf, das haben wir auch alles, bis auf G. Deswegen schreiben wir es uns, der Vollständigkeit halber, noch einmal hin. Die Gravitationskonstante G ist 6,67×10(hoch)-11Nm²/kg². So, dann schnappt euch einmal, wenn ihr selber rechnen wollt, Papier und Stifte und schaut, wie ihr das Ganze hinbekommt. Drückt den Pauseknopf, dann könnt ihr gleich, wenn ihr fertig seid, überprüfen, ob ihr das Gleiche herausbekommt wie ich. Mein Ansatz ist: Da die Erde durch die Gravitationskraft der Sonne auf ihrer Kreisbahn gehalten wird, kann ich die Gravitationskraft FG als Zentripetalkraft ansetzen. Ich schreibe also: FG=FZ oder G×(m×M)/r²=mv²/r. Oder, da ?×r=v ist, m?²×r. ? ist in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit, mit der die Erde um die Sonne rotiert. Wie ihr gleich seht, kürzt sich da schon einmal die Masse der Erde heraus. Die spielt also gar keine Rolle. Umso praktischer. Übrig bleibt: (G×M)/r²=?²×r. Ich brauche also die Winkelgeschwindigkeit der Erde. Zum Glück weiß ich, ? ist einfach 2?/T (Umlaufdauer), und die kenne ich ja. Ich setze also ein, löse nach M auf und erhalte: Die Masse der Sonne M=(4?²×r³)/(T²×G). Ich setze ein und erhalte: M=(4?²×(1,496×10(hoch)11m)³)/((365,25×24×60×60s)²×G). Die Umlaufdauer rechne ich in Sekunden um. Das ergibt: M=1,989×10(hoch)30(m³×kg²)/(s²×Nm²). Und die Einheiten wollen wir uns kurz noch genauer ansehen. N (Newton) sind ja kgm/s². Wenn ich das einsetze, erhalte ich für die Einheiten: (m³×kg²×s²)/(s²×kgm×m²). Die Meter kürzen sich oben und unten heraus, die Sekunden genauso, und von den kg bleibt oben genau eines übrig. Wunderbar, die Einheiten stimmen also auch. Unser Ergebnis lautet also: 1,989×1030kg. Die Masse der Sonne beträgt also 1,989 Quintillionen kg. Das ist ungefähr 1/3 Mio. mal so schwer wie die Erde. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Ich kann mit dem Gravitationsgesetz die Masse von Himmelskörpern berechnen, indem ich die Gravitationskraft als Zentripetalkraft ansetze. Der Ansatz lautet also: G×(m×M)/r²=mv²/r=m?²×r. Wir haben berechnet: Die Masse der Sonne beträgt 1,989×1030kg. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle
Gravitationsgesetz – Massenbestimmung Übung
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Beschreibe, wie du mit Hilfe der gezeigten Formel die Masse der Sonne bestimmen kannst.
TippsWelcher der genannten Himmelskörper umkreist die Sonne?
Mit welchen Größen beschreibt man den Umlauf dieses Körpers um die Sonne?
LösungUm die Masse der Sonne zu bestimmen, benötigst du die Informationen von einem Himmelskörper, der die Sonne umkreist. In diesem Beispiel ist dies die Erde. Die beiden zentralen Größen, mit denen die Bewegung der Erde um die Sonne beschrieben werden, sind der mittlere Abstand der Erde von der Sonne r sowie die Umlaufdauer T der Erde um die Sonne.
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Gib die Herleitung der gezeigten Formel zur Massenbestimmung mit dem Gravitationsgesetz wieder.
TippsFertige eine Skizze an, in der die auftretenden Kräfte und die anderen physikalischen Größen verdeutlicht sind.
LösungFormeln herzuleiten ist immer etwas knifflig. So wie in diesem Fall die Herleitung der Formel zur Massenbestimmung eines Himmelskörpers. Verdeutliche dir am besten zu erst immer den gegebenen Sachverhalt und die bekannten und gesuchten Größen, meist hilft eine Skizze gut.
Dann brauchst du eine Lösungsidee, also einen Ansatz, mit dem du weiterarbeiten kannst. Bei dieser Formel ist das die zentrale Idee, die wirkende Gravitationskraft mit der Zentripetalkraft gleichzusetzen. Das funktioniert aber nur, weil sich ein Himmelskörper auf einer kreisähnlichen Bahn um den Zentralkörper bewegt.
Auf solche Lösungsideen kommt man am Anfang in der Regel nicht von alleine. Aber je mehr Lösungsideen für verschiedenen Problemstellungen du kennenlernst, desto leichter findest du dann auch deine eigenen Lösungswege.
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Arbeite heraus, mit welchen Informationen die Massen von Himmelskörpern berechnet werden können.
TippsVerdeutliche dir, welche Himmelskörper sich auf welchen Bahnen bewegen.
Die Formel kann nur angewendet werden, um die Masse des Zentralkörpers aus den Daten des ihn umkreisenden Körpers zu bestimmen.
LösungIn unserem Sonnensystem ist die Sonne der Körper, um den alle Planeten kreisen. Um die Masse der Sonne zu bestimmen, können die Daten jedes beliebigen Planeten des Sonnensystems verwendet werden, also sein mittlerer Abstand r zur Sonne sowie seine Umlaufdauer T um die Sonne.
Die Masse der Planeten kann mit der gegebenen Formel nur bestimmt werden, wenn sie mindestens einen Mond besitzen. Dann nämlich ist der Planet der Zentralkörper und die Daten eines ihn umkreisenden Mondes werden zur Berechnung der Planetenmasse verwendet.
Bei den anderen Beispielen liegen die Grundbedingungen zur Anwendung der Formel nicht vor, weil nicht die Masse des Zentralkörpers, sondern des ihn umkreisenden Körpers gesucht ist.
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Berechne die Masse des Planeten Mars.
TippsDer Rechenweg ist der gleiche wie bei der Bestimmung der Sonnenmasse. Bestimmt wird hier die Masse des Mars aus den Umlaufdaten seines Mondes Phobos.
Notiere dir zunächst die gegebenen und gesuchten Größen. Rechne sie ggf. in Grundeinheiten um.
Setze die Größen in die hergeleitete Formel zur Bestimmung der Masse von Himmelskörpern ein.
Als Zwischenergebnis für den mittleren Radius r kannst du $r=9,378\cdot 10^6~m$ und für die Umlaufdauer T du $T=2,7540\cdot 10^4~s$ einsetzen.
LösungGegeben sind folgenden Größen:
$\begin{align} r&=9~378~km=9~378~000~m\\ &=9,378\cdot 10^6~m\\ T&=7,65~h=7,65\cdot 60\cdot 60~s\\ &=27~540~s=2,7540\cdot 10^4~s\\ G&=6,67\cdot10^{-11}~\frac {Nm^2} {kg^2} \end{align}$
Gesucht ist die Masse M des Planeten Mars. Einsetzen in die Formel ergibt für die Masse rund $6,44\cdot 10^{23}~kg$. (siehe Rechnung)
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Zeige, dass du bei der Rechnung mit der gegebenen Formel die Einheit kg erhältst.
TippsBetrachtet man nur die Einheit einer Größe, wird diese in eckige Klammern gesetzt.
In einem Rechenschritt wird die Einheit Newton (N) durch Grundeinheiten ersetzt.
Da $4\pi^2$ eine Zahl und keine physikalische Größe ist, kann sie bei der Einheitenbetrachtung ignoriert werden.
LösungIn diesem Fall folgt die Einheitenrechnung folgendem Schema:
Setzte die Einheiten ein, vereinfache den Bruch soweit wie möglich, ersetze dann die abgeleitete Einheit Newton durch Grundeinheiten, vereinfache nochmals und kürze dann den Bruch. Die Schritte können natürlich variiert werden. In jedem Fall muss aber Newton (N) durch Grundeinheiten ersetzt werden.
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Vergleiche die Eigenschaften zweier fiktiver Sonnensysteme miteinander.
TippsArgumentiere mit der Formel zur Berechnung der Masse von Himmelskörpern.
Überlege dir, welche Größen für beide Systeme gleich und welche unterschiedlich sind.
Was bewirkt die Veränderung einer Größe in der Formel für die anderen Größen? Beachte die Potenzen!
LösungDie Masse M des Zentralkörpers, also hier des jeweiligen Sterns, hängt von zwei Größen des umkreisenden Planeten ab: dem mittleren Abstand r sowie der Umlaufdauer T. Die Masse der Planeten hingegen hat keinen Einfluss auf die beobachteten Bewegungen. Der mittlere Abstand ist in beiden Sonnensystemen gleich. Die Umlaufdauer T ist jedoch verschieden. Daher muss auch die Masse und somit die Dichte der Sterne in beiden Systemen unterschiedlich sein.
Die Umlaufdauer T ist umkehrt proportional zur Masse M, da sie in der Formel im Nenner steht. Das heißt, eine größere Masse des Zentralkörpers bewirkt eine geringere Umlaufdauer beim Planeten. Der Stern in Sonnensystem B ist daher schwerer als in Sonnensystem A, da Planet B die kleinere Umlaufdauer besitzt. Das kann man auch noch genauer ausdrücken: die Umlaufdauer von Planet A ist dreimal so groß wie von Planet B, daher beträgt die Dichte des Sterns A nur ein Neuntel der Sternendichte von B. Das liegt daran, dass die Umlaufdauer zur Berechnung der Masse quadriert wird.
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1 Kommentar
hallo :)) ich habe eine frage und zwar : wenn an wolkenlosen sommertagen die sonne zehn stunden lang scheint , dann ist insgesamt eine energie von 18MJ pro Quadrat meter eingestrahlt worden. um wie viel erhöht sich dadurch die temperatur im schwimmbecken ( Wassertiefe 2,5m) und im Planschbecken ( wassertiefe 0,8 m)?