Rechnen mit Kondensatoren

Hallo und herzlich willkommen bei einem Video von Dr. Psi. Wir wollen uns heute mit Kondensatoren beschäftigen, insbesondere mit dem Aufbau von Kondensatoren und der Kombination von Kondensatoren in elektrischen Schaltungen. Dazu wollen wir kurz den Aufbau eines Plattenkondensators wiederholen und dann auch die Formeln bereitstellen, die wir zur Berechnung der Gesamtkapazität von mehreren Kondensatoren in einer elektrischen Schaltung benötigen. Starten wir also kurz mit einer Wiederholung der wichtigsten Eigenschaften eines Kondensators. Schauen wir uns noch einmal kurz einen Plattenkondensator an. Wir sehen hier einen solchen Plattenkondensator. Der besteht aus zwei gegeneinander isolierten Metallplatten. Wird an die Platten eine Spannung angelegt, so laden sich die Platten des Kondensators einmal mit einer positiven und einmal mit einer negativen Ladung auf, vorausgesetzt wir legen natürlich eine Gleichspannung an. Zwischen den Platten baut sich ein elektrisches Feld auf. Wir sehen das hier angedeutet durch diese Pfeile, die vom Plus- zum Minuspol zeigen. Ich möchte nur noch kurz daran erinnern, dass eine solche Darstellung des elektrischen Feldes in einem Plattenkondensator natürlich eine Modellvorstellung ist. Aber diese Modellvorstellung hat sich bewährt bei den Betrachtungen, bei den theoretischen, experimentellen Betrachtungen eines Kondensators. Dieses Feldlinienmodell wird also vielfach eingesetzt. Sehen wir einmal von den Randeffekten ab, so sieht man hier bei den Plattenkondensatoren ein homogenes Feld. Man sieht, dass die Feldlinien parallel verlaufen und voneinander den gleichen Abstand haben. Und noch zu bemerken, sie stehen senkrecht auf den Platten des Kondensators. Außen ist übrigens das Feld, das wir hier nicht dargestellt haben inhomogen. Die Platten werden von Ladungen belegt und die Anzahl der Ladungen, die auf einen solchen Kondensator passen oder nicht die Anzahl, sondern überhaupt die Kapazität eines Kondensators und die Fähigkeit Ladungen zu speichern bezeichnen wir als Kapazität. Und diese Kapazität wird quantitativ ausgedrückt mit C = ε₀ * ε_r * A/d. Dabei ist ε₀ die elektrische Feldkonstante mit einem Tabellenwert können wir leicht anschauen und werden wir auch nachher benutzen. ε_r ist eine Dielektrizitätszahl, diese Dielektrizitätszahl spielt dann eine Rolle, wenn wir in den Plattenkondensator ein sogenanntes Dielektrikum einführen. Ist das Dielektrikum zum Beispiel Vakuum hat diese Konstante einen Wert von eins, bei Luft angenähert einen Wert von eins. Wir gucken uns gleich eine Tabelle einige Werte an. A ist die Plattenfläche des Kondensators und d ist der Abstand. Schauen wir uns einmal eine kleine Aufstellung für die Dielektrizitätszahl an, so sehen wir hier eine Tabelle. Wir sehen in der linken Spalte den Stoff: Vakuum, Luft, Wasser und Keramik. Und auf der rechten Seite die Dielektrizitätszahl ε_r und wir sehen, dass diese hier vom Wert eins für das Vakuum über Luft annähernd eins, Wasser 80 und Keramik bis um Wert 1000, das ist eine spezielle Keramik. Ich habe die Formel dazu eingetragen, aber müssen wir uns nicht merken. Das ist das eine, was ich noch einmal wiederholen wollte. Das andere ist die Schaltung von Kondensatoren in einem elektrischen Stromkreis. Und da gibt es eine sogenannte Parallelschaltung, Sie erkennen das sicherlich aus der Betrachtung von Widerständen einer Parallelschaltung von Kondensatoren. Die Kapazität, wir schreiben hier immer C als Gesamtkapazität von mehreren Kondensatoren, hat eine solche Gleichung, nach der man die Gesamtkapazität berechnet. Also die Gesamtkapazität ist gleich der Summe der einzelnen Kapazitäten. Dann haben wir eine Reihenschaltung oder auch Hintereinanderschaltung von Kondensatoren und da sieht das so aus, dass die Gesamtkapazität sich anders berechnet, eine relativ einfache Formel ist der Kehrwert der Gesamtkapazität, der ergibt sich aus der Summe der Kehrwerte der einzelnen Kapazitäten, als 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + undsoweiter 1/C_n. Wir werden gleich auf Schaltungen dieser Kondensatoren zurückkommen und uns das im Einzelnen genauer anschauen. Zu unserer ersten Aufgabe: Angenommen wir haben einen Kondensator, der habe eine Kapazität von 1000 Farad und sagen wir ein Dielektrikum Luft und unser ε_r ist damit eins, die Platten haben einen Abstand von einem Zentimeter und wir wollen eben einmal mit Hilfe unserer Formel, die wir hier notiert haben, ausrechnen welche Fläche dieser Kondensator haben sollte, damit er eben diese gegebene Kapazität von 1000 Farad hat. Ein Kondensator mit 1000 Farad, den können wir herstellen, der hat eine Größe, die in die Hand passt und ist ein Spezialkondensator, der ohne Probleme in der Industrie, in der Technik zu finden ist. Also gut, beginnen mit unserer Formel, die wir hier bei Lösung wie gewohnt immer zuerst hinschreiben. Wir wählen dann die Umstellung dieser Formel nach unserer Variablen A. A ist dann gleich, wir sehen, wir brauchen bloß durch A zu dividieren, den Kehrwert zu bilden und dann noch C auf die andere Seite zu bringen. C geht also hier in den Nenner und die beiden Konstanten ε₀ und ε_r wandern dann, wenn man diesen Bruch so umgestellt haben, dass A gleich steht in den Nenner, das andere geht dann in den Zähler. Wir haben also eine Kapazität von 1000 Farad, einen Abstand von einem Zentimeter und die Dielektrizitätskonstante, die elektrische Feldkonstante, hat einen Wert von 8,8510^-12 Farad und ε_r ist eins. Das ist dimensionslos, das ist eine Konstante. Wir müssen das jetzt noch ein bisschen umformen und schauen uns mal die einzelnen Einheiten an. Farad können wir kürzen und wir schreiben für ein Zentimeter 0,01 Meter. Dann fehlt hier noch die Größe, die ich hier vergesse habe hinzuschreiben. Wenn wir hier ε₀ uns notieren, dann hat ε₀ die Einheit Farad pro Meter. Das heißt hier kommt in den Zähler Meter hin, das müssen wir nachtragen. Und wenn wir das jetzt in Meter schreiben, mit Meter multiplizieren, dann haben wir die gewünschte Einheit für die Fläche, nämlich Quadratmeter. Also ich notiere das noch einmal, in der Form 1000 mal das gibt 0,01 und das hatten wir hier 8,8510^-12 und die Einheit ist bereits Quadratmeter. Das können wir im Taschenrechner eingeben und das überlasse ich dir, ich habe das schon mal durchgeführt. Wir erhalten hier 1,13*10¹² Quadratmeter. Das ist eine Textaufgabe. Normalerweise müsstest du jetzt einen vernünftigen Antwortsatz schreiben, aus dem hervorgeht wie die Antwort auf die Frage lautet. Wir ersparen uns das, das kostet uns hier zu viel Zeit. Wir unterstreichen das Ergebnis hier zwei Mal und müssen uns dann noch einmal die Zahl, die wir herausbekommen haben anschauen. Wir sehen das hat eine Größenordnung von 10¹². Diese Fläche ist riesengroß, denken wir uns einmal einen quadratischen Kondensator mit dieser Fläche, dann hat diese Fläche eine Seitenlänge von rund 1000 Kilometer. Kannst du dir einmal selber überlegen wie groß eine solche Kondensatorfläche sein müsste, mit einer Seitenlänge von 1000 Kilometer. Gottseidank liefert uns die Technik einen handlichen Kondensator mit dieser Kapazität, wir sind also nicht auf diese Größenordnungen angewiesen. Das wäre die erste Aufgabe. Die nächste beschäftigt sich dann tatsächlich mit der Kombination von Kondensatoren. Wir wollen uns nun in der folgenden Aufgabe mit der Kombination von Kondensatoren befassen. Wir sehen hier in der ersten Abbildung eine Schaltung oben, die hat drei in Reihe geschaltete Kondensatoren und dazu eine Parallelschaltung von zweien. Wenn wir diese Formeln hier anwenden, zum Beispiel auf die drei in Reihe geschalteten Kondensatoren, können wir dort die Gesamtkapazität berechnen. Und dann haben wir eine Schaltung, die wir hier unten sehen, mit der wir uns dann noch näher befassen. Dann sehen wir in der zweiten Abbildung eine Schaltung eines Kondensators, gefolgt von einer Parallelschaltung von vier Kondensatoren, wobei drei wieder in Reihe und parallel dazu ein weiterer. Auch hier können wir wieder durch geeignete Zusammenfassung von Kondensatoren die Schaltung, die wir hier unten sehen, herstellen. In einem dritten Bild sehen wir eine etwas kompliziertere Schaltung, erst eine Parallelschaltung von zwei Kondensatoren und dann eine von drei Kondensatoren. Wenn wir dieses Verfahren wieder anwenden, gewinnen wir wieder unsere Schaltung, die wir da unten sehen. Deswegen wollen wir einfach nur eine dieser Schaltung, nämlich die, die in allen drei Fällen auftaucht, berechnen. Wir sehen hier, wir haben hier die Kondensator mit C₁, C₂ und C₃ bezeichnet. Wir sehen hier C₁ ist ein Mykrofarad, C₂ ist auch ein Mykrofarad und C₃ zwei Mykrofarad. Gesucht ist die Gesamtkapazität dieser Schaltung. Wir wollen die Formeln anwenden, die wir hier haben und wollen zunächst einmal die Gesamtkapazität der parallel geschalteten berechnen. Wir sehen, die Formel ist hier oben sehr einfach. Wir haben hier C₂ plus C₃ und setzen unsere Werte ein: C₂ ist ein Mykrofarad und C₃ ist 2 Mikrofarad. Wir erhalten als Ergebnis drei Mykrofarad. Das können wir erst einmal so stehen lassen und gucken uns dann an, wie es aussieht, wenn diese beiden Kondensatoren zusammengefasst wurden und berechnen nun die Gesamtkapazität der beiden in Reihe geschalteten Kapazität. Also erhalten wir hier die reziproke Gesamtkapazität, die ist 1/C₁+1/C₂₃. Wir setzen 1/1 Mykrofarad + 1/3 Mykrofarad = 1 1/3 macht zusammen 4/3 Mykrofarad und wenn wir den Kehrwert davon bilden, können wir die Gesamtkapazität ausrechnen. Kehrwert von 4/3 ist 3/4, das sind 0,75 Mykrofarad. Das ist die Gesamtkapazität unserer Schaltung. Fassen wir den Inhalt kurz zusammen. Wir haben den Plattenkondensator mit seinem Aufbau wiederholt, haben dann die Formel für die Kapazität mit dem Dielektrikum uns angeschaut, dazu eine Aufgabe gerechnet und dann schließlich haben wir eine Kombination von Kondensatoren betrachtet, haben die geeignet zusammengefasst um eine einzige Schaltung grundlegend zu berechnen. Das haben wir an dieser Stelle getan. Noch ein Hinweis: das Gesamtergebnis, du solltest wieder einen Antwortsatz formulieren, haben wir hier zweimal unterstrichen. Ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch ein wenig Spaß daran. Vielleicht sehen wir uns bald wieder bei einem Video von Dr. Psi.