3. newtonsches Axiom – Wechselwirkungsprinzip
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Grundlagen zum Thema 3. newtonsches Axiom – Wechselwirkungsprinzip
Das 3. newtonsche Gesetz
In unserem Einführungsvideo zu den newtonschen Gesetzen hast du bereits gelernt, dass diese drei Gesetze die Grundlage der Mechanik bilden. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit dem 3. newtonschen Prinzip beschäftigen, das auch als Wechselwirkungsprinzip in der Physik bekannt ist.
Wechselwirkungsprinzip – Definition
Das Wechselwirkungsprinzip nach Newton können wir folgendermaßen formulieren:
Wirkt eine Kraft von einem Körper $A$ auf einen Körper $B$, so wirkt eine ebenso große entgegengerichtete Kraft von Körper $B$ auf Körper $A$.
Wenn wir die wirkenden Kräfte mit $\vec{F}_{A\rightarrow B}$ und $\vec{F}_{B\rightarrow A}$ bezeichnen, können wir das Wechselwirkungsprinzip mithilfe der folgenden Gleichung ausdrücken:
$F_{A \rightarrow B} = - F_{B \rightarrow A}$
Das Wechselwirkungsprinzip wird manchmal auch als Impulssatz bezeichnet, weil es der Impulserhaltung äquivalent ist beziehungsweise aus dieser abgeleitet werden kann. Dies wollen wir anhand eines Beispiels anschaulich machen.
Wechselwirkungsprinzip – Beispiele
Beispiel: Skateboardfahrer
Wir betrachten zwei Skateboardfahrer, Nr. 1 und Nr. 2, die sich gegenüberstehen und sich nicht bewegen. Der Impuls des Systems aus den beiden Skateboardfahrern ist also null. Wir können das folgendermaßen aufschreiben:
$p = p_1 + p_2 = 0$
Dabei ist $p$ der Gesamtimpuls und $p_1 = 0$ und $p_2 = 0$ sind die Impulse der Skateboardfahrer. Jetzt stellen wir uns vor, dass Skateboardfahrer Nr. 1 den anderen anstößt. Was passiert?
Impulserhaltung
Da Skateboardfahrer Nr. 1 Skateboardfahrer Nr. 2 angestoßen hat, beginnt Nr. 2, zu rollen. Sein Impuls ist jetzt nicht mehr null:
$p_2 \neq 0$
Da aber der Gesamtimpuls des Systems erhalten bleiben muss, muss jetzt auch $p_1$ einen anderen Wert als null haben. Insgesamt muss nämlich immer noch $p=0$ gelten. Das bedeutet:
$p \overset{!}{=} 0 = p_1 + p_2 \Rightarrow p_1 = - p_2$
Auch Skateboardfahrer Nr. 1 muss beginnen, sich zu bewegen – allerdings in die entgegengesetzte Richtung. Er muss den genau entgegengesetzten Impuls zu $p_2$ haben, damit die Impulserhaltung nicht verletzt wird. Für den Spezialfall, dass beide Skateboardfahrer die gleiche Masse $m$ haben, bewegen sie sich also mit gleicher Geschwindigkeit voneinander weg.
Wechselwirkungsprinzip
Wir können das gleiche Prinzip auch mithilfe des Wechselwirkungsprinzips betrachten. Indem Skateboardfahrer Nr. 1 Nr. 2 anstößt, übt er eine Kraft $F_{1 \rightarrow 2}$ auf Nr. 2 aus. Nach dem Wechselwirkungsprinzip muss nun eine Kraft $F_{2 \rightarrow 1}$ auf Nr. 1 wirken, die dem Betrag nach gleich ist, aber in entgegengesetzte Richtung zeigt, also:
$F_{2 \rightarrow 1} = -F_{1 \rightarrow 2}$
Wir wissen, dass die Kraft mit der Beschleunigung $a$ zusammenhängt:
$m \cdot a_1 = -m \cdot a_2 \Rightarrow a_1 = -a_2$
Wenn über denselben Zeitraum dieselbe Beschleunigung auf gleich große Massen wirkt, ist auch ihre Geschwindigkeit gleich groß. Auch mit dem Wechselwirkungsprinzip kommen wir also auf das Ergebnis, dass sich die Skateboardfahrer mit gleicher Geschwindigkeit voneinander wegbewegen.
Von der Impulserhaltung zum Wechselwirkungsprinzip – Erklärung
Wir haben gesehen, dass sowohl Impulserhaltung als auch Wechselwirkungsprinzip zum gleichen Ergebnis führen. Aber wie genau hängen sie zusammen?
Schauen wir uns noch einmal die Gleichung für die Impulserhaltung des Systems aus zwei Skateboardfahrern an.
$p = p_1 + p_2 = 0$
Zu Beginn sind sowohl $p_1$ als auch $p_2$ gleich null. Nach dem Stoß müssen sie entgegengesetzte Werte haben, also $p_1 = - p_2$. Das bedeutet, dass sie sich um den gleichen Betrag ändern müssen. Also:
$\Delta p_1 = - \Delta p_2$
Jetzt können wir die Gleichung, die wir vom 2. newtonschen Gesetz, dem Aktionsprinzip, kennen, nutzen:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} \Rightarrow \Delta p = F \cdot \Delta t$
Wenn wir $p_1$ und $p_2$ in dieser Form ersetzen, erhalten wir:
$F_{2 \rightarrow 1} \cdot \Delta t = - F_{1 \rightarrow 2} \cdot \Delta t$
Die Zeit $\Delta t$ können wir kürzen und damit bleibt:
$F_{2 \rightarrow 1} = - F_{1 \rightarrow 2}$
Das ist das Wechselwirkungsprinzip.
Beispiel: Gravitation
Wir wollen noch ein Beispiel betrachten, das überraschend ist. Das 3. newtonsche Prinzip ist unabhängig von der Art der Kraft gültig – also auch dann, wenn die Kraft durch Gravitation wirkt. Du wirst, jetzt gerade, von der Erde angezogen. Die Erde übt also eine Kraft $F_{1 \rightarrow 2}$ auf dich aus. Nach dem Wechselwirkungsprinzip übst auch du eine Kraft $F_{2 \rightarrow 1}$ auf die Erde aus – und zwar eine Kraft, die entgegengesetzt gerichtet, aber gleich groß ist!
Dass das stimmt, siehst du, wenn du die Gleichung zum Gravitationsgesetz betrachtest. Aber warum fällst du dann auf die Erde und warum beschleunigt die Erde nicht auf dich zu, wenn du vom Stuhl springst?
Der Grund dafür, dass du trotzdem quasi keinen Einfluss auf die Erde hast, sind die unterschiedlichen Massen. Stellen wir die Gleichung
$a = \frac{F}{m}$
Die Masse steht im Nenner. Die Kraft, die auf dich und die Erde wirkt, hat zwar jeweils den gleichen Betrag, aber die Masse der Erde ist etwa
$a_{Erde} = \frac{F}{m_{Erde}} << a_{Mensch} = \frac{F}{m_{Mensch}} $
Transkript 3. newtonsches Axiom – Wechselwirkungsprinzip
Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus dem Gebiet der Mechanik das 3. Newtonsche Axiom genauer ansehen. Wir lernen heute, was das 3. Newtonsche Axiom besagt, wie ich es herleiten kann, und wie das Ganze am Beispiel der Schwerkraft funktioniert. Das 3. Newtonsche Axiom besagt: Wird die Kraft F12 von einem Körper1 auf Körper2 ausgeübt, so wirkt auch die Gegenkraft F21 von Körper2 auf Körper1. F21 ist gleich groß wie F12, aber genau entgegengesetzt. Die Formel ist also denkbar einfach: F^->12=-F^->21 Dies ist das 3. Newtonsche Axiom. Man nennt es auch das Wechselwirkungsprinzip oder das Prinzip von actio, der Kraft, und reactio, der Gegenkraft. Wie man das Ganze herleiten kann, sehen wir uns nun im nächsten Kapitel an. Wir betrachten folgenden einfachen Versuch: 2 Skateboardfahrer stehen voreinander, fassen sich an den Händen und stoßen sich dann voneinander ab. Wir beobachten: Sie fahren in entgegengesetzte Richtungen davon. Außerdem können wir, wenn wir mit verschieden schweren Skateboardfahrern herumexperimentieren, herausfinden: Sind sie gleich schwer, so hat ihre Geschwindigkeit den gleichen Betrag. Da hier Masse und Geschwindigkeit im Spiel sind, denken wir gleich mal an den Impuls und setzen an - mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes: Der Gesamtimpuls P=p1+p2. Da die beiden Skateboardfahrer vorher ruhen, ist der Gesamtimpuls also 0 und wegen des Impulserhaltungssatzes bleibt der Gesamtimpuls auch gleich 0. Daraus kann ich ableiten: Ändert sich der Impuls P1 des 1. Skateboardfahrers, so muss sich auch der Impuls des 2. Skateboardfahrers ändern. Und zwar genau entgegengesetzt, damit der Gesamtimpuls konstant bleibt: ∆p1=-∆p2. Das 2. Newtonsche Axiom besagt: F=∆p/∆t. Aufgelöst nach ∆p ergibt das: ∆p=F×∆t. Und das setze ich nun einfach links ein. Ich erhalte F21×∆t=-F12×∆t. ∆t kürzt sich heraus und übrig bleibt das Wechselwirkungsprinzip: F12=-F21. Wie das Ganze nun an einem etwas komplizierteren Beispiel aussieht, wollen wir uns nun im letzten Kapitel ansehen. Wir betrachten den Mond und wie er um die Erde kreist. Wir wissen, Mond und Erde ziehen sich gegenseitig an. Besonders gut sieht man das, wenn man einfach die Formel für die Schwerkraft aufschreibt. Die Schwerkraft, die der Mond auf die Erde ausübt: F^->mme=G×(mm×me/r²)×evme^-> Die Schwerkraft, die die Erde auf den Mond ausübt: F^->mme=G×(mm×me/r²)×evem^-> Ihr seht: Bis auf den Einheitsvektor am Ende sind die Beiden genau gleich. Der Einheitsvektor zeigt in der oberen Gleichung vom Mond zur Erde und in der anderen Gleichung von der Erde zum Mond. Die beiden Richtungen sind also genau entgegengesetzt. Damit können wir also das Wechselwirkungsprinzip schon gleich in den beiden Formeln sehen. Was bedeutet dies aber nun? Es bedeutet, dass nicht nur einfach der Mond um die Erde oder nur die Erde um den Mond kreist, sondern die Beiden umeinander. Genauer gesagt: Beide kreisen um den gemeinsamen Schwerpunkt. Denn für jemanden, der das Ganze zum Beispiel von der Sonne aus betrachtet, sieht diese Bewegung so aus, wie in der Animation rechts. Die Erde übt also die gleiche Kraft auf den Mond aus, wie der Mond auf sie. Wegen des großen Massenunterschiedes, die Erde wiegt ungefähr 80mal mehr als der Mond, wird sie jedoch viel schwächer beschleunigt. Würde ich die Beiden beispielsweise nehmen und in eine Ecke des Weltalls bringen, wo ansonsten gar nichts los ist, die Schwerkraft anderer Himmelskörper also vernachlässigt weder kann, dann würden die Beiden wegen der Schwerkraft anfangen sich aufeinander zuzubewegen. Wobei der Mond, wegen seiner kleineren Masse, deutlich schneller beschleunigt würde als die Erde. Ich habe dazu eine kleine Animation gemacht, damit man den Effekt aber sehen kann, müssen wir annehmen, dass der Mond ein ganzes Fünftel der Erde wiegt. Dann würde diese Bewegung ungefähr so aussehen. Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Übt ein Körper auf einen anderen die Kraft F^->12 aus, so erfährt er von diesem immer auch die Gegenkraft F^->21. Das Wechselwirkungsprinzip besagt nun, das die Kraft F^->12 immer genau entgegengesetzt gleichgroß der Gegenkraft F^->21 ist. Diese Gesetz kann ich mit dem Impulserhaltungsgesetz herleiten. Ich schreibe: P=p1+p2=0=const. Dann muss die Impulsänderung ∆p1=-∆p2 sein. Setze ich das 2. Newtonsche Axiom aufgelöst nach der Impulsänderung ein, ergibt sich: F^->12=-F^->21. Am Beispiel von Mond und Erde haben wir gesehen: Die durch die Kräfte verursachten Beschleunigungen können unterschiedlich groß sein, da sie ja von den Massen der Körper über die Formel F=m×a abhängen. So das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.
3. newtonsches Axiom – Wechselwirkungsprinzip Übung
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Beschreibe die Bewegung des Systems Erde-Mond mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms.
TippsEs gilt das 3. Newtonsche Axiom.
Was besagt das Wechselwirkungsprinzip in Bezug auf Betrag und Richtung der Kräfte, die Erde und Mond aufeinander ausüben?
Die Beschleunigungswirkung der Kraft ist von der Masse des Körpers abhängig.
LösungErde und Mond ziehen sich aufgrund ihrer Massen gegenseitig an und kreisen um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist Betrag der Anziehungskraft, die der Mond auf die Erde ausübt, genauso groß wie der Betrag der Anziehungskraft, die die Erde auf den Mond ausübt. Die Kräfte zeigen aber in entgegengesetzte Richtungen. Dieses Wechselwirkungsprinzip kann für das System Erde-Mond auch als Formel geschrieben werden (siehe Abbildung).
Obwohl die Anziehungskräfte den gleichen Betrag haben, ist die zu beobachtende Wirkung auf die beiden Himmelskörper nicht gleich. Da der Mond eine deutlich geringere Masse als die Erde besitzt, wirkt die Anziehungskraft der Erde auf ihn stärker beschleunigend.
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Gib die Herleitung des 3. Newtonschen Axioms wider.
TippsNicht jede Farbe wird benötigt.
Das 1. Newtonsche Axiom beschreibt das Trägheitsprinzip, das 2. Newtonsche Axiom das Aktionsprinzip.
LösungDas 3. Newtonsche Axiom oder Wechselwirkungsprinzip leitet sich aus dem Impulserhaltungssatz ab.
Der Impuls ist darüber hinaus auch die Größe, über die das 2. Newtonsche Axiom oder Aktionsprinzip eine zentrale Aussage trifft. Daher wird dieses ebenfalls in der Herleitung des 3. Newtonschen Axioms verwendet.
Das 1. Newtonsche Axiom oder Trägheitsprinzip spielt bei dieser Herleitung keine Rolle, da es nur das Kräftegleichgewicht an einem Körper beschreibt, beim 3. Newtonsche Axiom aber von zwei miteinander agierenden Körpern ausgegangen wird.
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Erkläre die Anziehungskraft zwischen dir und der Erde mit graphischen Mitteln.
TippsDie Kraft, die die Erde auf dich ausübt, greift in deinem Körperzentrum an.
Die Kraft, die du auf die Erde ausübst, greift im Erdmittelpunkt an.
Was sagt das 3. Newtonsche Axiom über Betrag und Richtung der beiden Kräfte aus?
LösungDie Kräfte, die zwischen dir und der Erde wirken, sind nach dem 3. Newtonschen Axiom gleich groß. Darauf hat auch keinen Einfluss, dass deine Körpermasse deutlich geringer als die der Erde ist.
Die Kräfte sind außerdem entsprechend des Wechselwirkungsprinzips aufeinander zu gerichtet. Die Gewichtskraft der Erde hält dich am Erdboden fest, umgekehrt hält die Kraft, die du auf die Erde ausübst, die Erde an deinen Füßen fest.
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Ermittle, welcher Skateboardfahrer Charly jeweils gegenüber gestanden hat.
TippsFinde zunächst die Paare, bei denen der Freund jeweils dieselbe Masse hat wie Charly.
Wie verhalten sich die Geschwindigkeiten, wenn der Freund nur halb so schwer oder doppelt so schwer ist wie Charly?
Die Impulsänderung muss bei den Partnern gleich sein, also das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit.
LösungDer Gesamtimpuls von Charly und seinem Freund vor dem Abstoßen ist Null. Nach dem Impulserhaltungssatz muss also der Impuls von Charly $p_{Charly}$ nach dem Abstoßen genauso groß sein (bei entgegengesetzter Richtung) wie der seines jeweiligen Freundes $p_{Freund}$: $p_{Charly}=-p_{Freund}$.
Hat Charly die gleiche Masse wie sein Freund, haben beide nach dem Abstoßen mit $p=m \cdot v$ die gleiche Geschwindigkeit: $m_{Charly} \cdot v_{Charly}=m_{Freund} \cdot v_{Freund}=m_{Charly} \cdot v_{Charly}$.
Ist Charly doppelt so schwer wie sein Freund, so muss die Geschwindigkeit bei diesem nach dem Abstoßen doppelt so groß sein: $m_{Charly} \cdot v_{Charly}=m_{Freund} \cdot v_{Freund}=\frac {1} {2}\cdot m_{Charly} \cdot 2v_{Charly}$.
Ist Charly hingegen nur halb so schwer wie sein Freund, besitzt er nach dem Abstoßen die doppelte Geschwindigkeit: $m_{Charly} \cdot v_{Charly}=m_{Freund} \cdot v_{Freund}=2 m_{Charly} \cdot \frac {1} {2} v_{Charly}$.
In dieser Beispielaufgabe ist es kürzer, über den Impuls zu argumentieren. Du kannst aber auch das 3. Newtonsche Axiom verwenden und über die Kräfte argumentieren.
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Nenne das 3. Newtonsche Axiom.
TippsBeim Kraftindex wird der Körper zuerst genannt, von dem die Kraftwirkung ausgeht. An zweiter Stelle steht der Körper, auf den die Kraft wirkt.
LösungDas 3. Newtonsche Axiom beschreibt die Wechselwirkung zwischen zwei Körpern: Sobald ein Körper auf einen anderen Körper eine Kraft ausübt, übt auch immer der zweite Körper eine Kraft auf den ersten Körper aus. Diese Kräfte sind vom Betrag gleich groß, egal wie stark sich die beiden Körper zum Beispiel in ihrer Masse voneinander unterscheiden. Sie zeigen außerdem in entgegengesetzte Richtungen. Die Wirkung der Kräfte kann aber je nach Beschaffenheit des Körpers sehr unterschiedlich sein und ist nicht immer zu erkennen.
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Erkläre, wie sich das Mädchen auf die beschriebene Art mit dem Boot fortbewegen könnte.
TippsWelches Newtonsche Axiom ist hier gültig?
Wie müssen Kraft und Gegenkraft wirken, um das Boot vorwärts zu bewegen?
LösungDieser Lösungsvorschlag ist natürlich nicht ganz ernst gemeint. Zum einen würde das Mädchen seine ganzen Gegenstände verlieren. Zum anderen ist diese Fortbewegungsart nicht sehr effektiv. Die Kraft, die das Mädchen durch ihre Muskelkraft auf diese Art so aufbringen kann, ist gering und kann wahrscheinlich den Wasserwiderstand, den das Boot überwinden muss, nicht kompensieren.
Nach dem 3. Newtonschen Axiom wäre diese Art der Fortbewegung aber mit den richtigen Voraussetzungen durchaus denkbar: Dieses beschreibt ja die Wechselwirkung zwischen zwei Körpern. Sobald ein Körper auf einen anderen Körper eine Kraft ausübt, übt auch immer der zweite Körper eine Kraft auf den ersten Körper aus. Diese Kräfte sind vom Betrag gleich groß, egal, wie stark sich die beiden Körper zum Beispiel in ihrer Masse voneinander unterscheiden. Sie zeigen außerdem in entgegengesetzte Richtungen. Das trifft auch auf das Mädchen und das Boot zu.
Das 1. Newton'sche Axiom: Der Trägheitssatz
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Die newtonschen Gesetze: Einführung
1. Newtonsche Axiom – Trägheitsprinzip
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naja()=
ich fand es nicht so gut :-/
Wenn ich das PDF öffnen will sagt es "Access denied"
Sehr gut erklärt mach weiter so :)
@Saramaggi,
Das ist eine schwierige Frage, seit diesem Jahr gibt es eine größere Änderungen bei den abiturrelevanten Themen. Dabei rückt auch die Astrophysik immer mehr in den Fokus. Hierfür kann die Kenntnis der Gleichung bei einigen Aufgaben vielleicht nötig sein. Sie Zählt hierbei möglicherweise zu dem Wissen, welches man braucht um die eigentliche Aufgabe zu lösen. Das eigentliche Herleiten von Gleichungen ist aber eher für die Mathematik von zentraler Bedeutung. Würde mir daher die Gleichungen ansehen, um sie im nötigen Fall parat zu haben. Jedoch kann ich dir nicht sagen ob ihr Einsatz oder die Herleitung im Abitur wichtig sein wird, das hängt ganz von den Aufgabenstellungen ab.