2. Newtonsche Axiom – Aktionsprinzip 08:17 min

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Transkript 2. Newtonsche Axiom – Aktionsprinzip

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus der Mechanik mit dem 2. Newtonschen Axiom beschäftigen. Für dieses Video solltet Ihr Euch bereits ein wenig mit den Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung auskennen und Ihr solltet wissen, was der Impuls ist. Wir lernen heute, wie das 2. Newtonsche Axiom lautet, was es genau bedeutet und wie das ganze an einer Beispielaufgabe aussieht. Das 2. Newtonsche Axiom besagt, die auf einem Körper wirkende Kraft F ist gleich seiner Impulsänderung  Δp geteilt durch die dafür benötigte Zeit  Δt. Es hat also die relativ einfache Formel:  F= Δp/Δt bzw. in der Vektorschreibweise. Der Vektor der Kraft F ist der Vektor der Impulsänderung  Δp geteilt durch  Δt. Dies ist also das 2. Newtonsche Axiom. Man nennt es auch das Aktionsprinzip. Wie wir wissen, ist der Impuls p=die Masse m × die Geschwindigkeit v eines Körpers (p=m×v). Das heißt, dass eine Impulsänderung durch eine Änderung der Masse oder der Geschwindigkeit entstehen kann. Welche Aussagen man damit man dann aus dem Aktionsprinzip ableiten kann. Das wollen wir uns im nächsten Kapitel ansehen. Wir haben uns grade aufgeschrieben, dass eine Impulsänderung durch eine Änderung der Masse oder der Geschwindigkeit eines Körpers zustande kommen kann. Natürlich gibt es Fälle, in denen sich die Masse m eines Körpers ändert. Denkt zum Beispiel mal an einen Raketenstart. In den allermeisten Fällen ist die Masse eines Körpers in der Mechanik aber konstant und mit dieser Voraussetzung kann ich folgende Aussage treffen: Die Änderung des Impulses Δp ist dann einfach die Masse × die Änderung der Geschwindigkeit Δv und damit ergibt sich für die Kraft F= m×Δv/Δt. Kommt euch Δv/Δt bekannt vor? Richtig, die Änderung der Geschwindigkeit / Zeit ist einfach die Beschleunigung a. Damit vereinfacht sich unsere Formel zu F=m×a. Kraft ist also Masse × Beschleunigung und dies nennt man die Grundgleichung der Mechanik. Diese Formel ist auch relativ einleuchtend. Je schwerer ein Körper ist, desto mehr Kraft brauche ich, um ihn auf die gleiche Beschleunigung zu bringen. Denkt mal zum Beispiel daran, wie viel mehr Kraft Ihr benötigt um einen Eisenball genauso weit zu werfen, wie einen Tennisball. Anders herum betrachtet, bedeutet das auch, je leichter ein Körper ist, desto größer ist die Beschleunigung, die die gleiche Kraft bei ihm verursacht. Denkt mal daran, wenn Ihr einen Tennisball und einen Tischtennisball hochwerft, um wie viel stärker der Tischtennisball vom Seitenwind abgelenkt würde. Wir wollen uns noch kurz einen Sonderfall dieses Gesetzes ansehen: Nehmen wir mal an, dass die Kraft F=0 ist. Dann ist also m×a=0 und da die Masse unseres Körpers konstant ist, bedeutet das, die Beschleunigung a muss 0 sein und aus der Kinematik wissen wir: Ist die Beschleunigung =0, so bleibt die Geschwindigkeit des Körpers konstant, er führt also eine gleichförmige Bewegung aus. Wir haben also gerade gezeigt, wirkt auf einen Körper keine Kraft, so bewegt er sich gleichförmig weiter und wenn Ihr Euch erinnert. Das ist genau das 1. Newtonsche Axiom. Es ist also, als Sonderfall, in der Grundgleichung der Mechanik enthalten. Im letzten Kapitel wollen wir nun eine kleine Beispielaufgabe rechnen: Ein Lastwagen, Masse m soll 15 t sein, erreicht aus dem Stand auf einer 2 km langen Strecke die Geschwindigkeit 100 km/h. Aufgabe a.) Wie groß ist die konstante Kraft, mit der der Motor den Wagen beschleunigt? Aufgabe b.) Nach dem Entladen wiegt der Lkw nur noch 3 t. Welche Geschwindigkeit würde er nun auf der 2 km langen Strecke erreichen?

Aufgabe a.): Wir schreiben erst einmal auf, was wir gegeben haben: Wir wissen, die Masse ist 15 t, also 15000 kg, die Strecke beträgt 15000 kg und die Geschwindigkeit v ist 100 km/h oder geteilt durch 3,6 = 27,8m/s. Es soll sich um eine konstante Kraft F handeln, und da sich die Masse des Wagens nicht verändert, muss also auch die Beschleunigung a konstant sein. Da der Wagen aus dem Stand losfährt, können wir also folgende beide Formeln benutzten:  s=½a×t² und v=a×t, Letzteres formen wir nach t um, sodass wir t=v/a erhalten und setzten es für das t² in der ersten Gleichung ein. Dadurch erhalten wir: s=½×a×v²/a². Dabei können wir ein a kürzen und dann nach a umstellen, heraus kommt: a=v²/2s. Wir setzen ein und erhalten: a=(27,8m/s)²/4000m und das ergibt 0,19m/s². Damit haben wir also die Masse und die Beschleunigung des Wagens und können endlich unsere Grundgleichung anwenden. Es ergibt sich: F=m×a und das ist F= 15000kg×0,19m/s³. Die Kraft, die der Motor ausübt, ist also laut unseres Taschenrechners 2,9 kN. Dann mal weiter zu Aufgabe b.): Unser Lastwagen ist nun entladen und wiegt bloß nur noch 3000 kg. Die Kraft, die der Motor zur Beschleunigung ausübt, ist aber die Gleiche. Wir können also unsere Grundgleichung umformen und sagen: a=F/m2. Einsetzten ergibt: a=2,9 kN/3000 kg oder 0,96 m/s². Nun können wir wieder unsere Formel von oben benutzen, wir müssen sie allerdings nach v umstellen. v=\sqrt2×a×s oder eingesetzt v=\sqrt(4000m×0,96m/s²). Das ergibt eine Geschwindigkeit v von 62,1 m/s oder mal 3,6= 223,6 km/h. Das ist ja viel zu viel, werdet Ihr sagen und da habt Ihr auch Recht. Bei dieser Aufgabe fehlt auch der Luftwiderstand, der bei einem Lkw schon ganz beträchtlich ist. Da wir dafür aber keine Angabe hatten, können wir es auch nicht ausrechnen. Was wir aber nicht vergessen, ist unser Antwortsatz: Der Motor beschleunigt den Wagen mit der Kraft F=2,9 kN. Unbeladen erreicht er auf der gleichen Strecke eine Geschwindigkeit von 223,6 km/h.

Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Die Kraft F auf einen Körper entspricht der Impulsänderung Δp geteilt durch die Zeit Δt, in der sie geschieht. Diese Regel ist das 2. Newtonsche Axiom, man nennt sie auch das Aktionsprinzip. Ist die Masse des Körpers konstant, dann kann ich folgende Vereinfachung des Aktionsprinzips verwenden: Die Kraft F ist gleich der Masse m eines Körpers mal der Beschleunigung a, die er durch F erfährt oder kurz gesagt: F=m×a und dies nennt man die Grundgleichung der Mechanik. Wir haben außerdem gesehen, dass diese Regel das Trägheitsprinzip, das 1. Newtonsche Axiom enthält. Ist die Kraft F=0, dann folgt, die Beschleunigung=0 und eine Bewegung bei der die Beschleunigung =0 ist, ist gleichförmig.

Das war es schon für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.

13 Kommentare
  1. Albrecht

    Hallo Jumpertz, Du hast völlig recht, die Formel lautet F=m*a, diese Formel kommt im Video auch bei Minute 2:20.
    F=Delta(p)/Delta(t) ist nur eine andere Schreibweise.
    Der Impuls ist definiert als p=m*v. Ändert sich dieser mit der Zeit, bedeutet das, dass sich die Geschwindigkeit v mit der Zeit ändert. So kommt man zur Beschleunigung a, die gerade die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit (Delta(v)/Delta(t) ) beschreibt:
    F=Delta(p)/Delta(t)=m*Delta(v)/Delta(t)=m*a
    Ich hoffe, wir können Dir weiterhelfen.
    Liebe Grüße
    Albrecht

    Von Albrecht Kröner, vor etwa 2 Monaten
  2. Albrecht

    Hallo Goforit, die Formel v=s/t gilt nur, wenn die Geschwindigkeit gleich bleibt. Bei einer beschleunigten Bewegung bleibt die Geschwindigkeit aber nicht gleich, sondern ändert sich fortwährend. Daher kannst Du diese Formel nicht verwenden. Richtig ist s=a/2 t².
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor etwa 2 Monaten
  3. Default

    Hallo?

    Von Ejumpertz Jumpertz, vor etwa 2 Monaten
  4. Default

    Wir haben die Formel F=m*a für das 2.Newtonsche Axiom bzw. Gesetz gelernt.

    Von Ejumpertz Jumpertz, vor etwa 2 Monaten
  5. Default

    Ich habe eine Frage. Was genau ist eine Impulsänderung bzw. Delta p? Ich versteh das irgendwie nicht...

    Von Ejumpertz Jumpertz, vor etwa 2 Monaten
  1. Default

    Ich hab eine Frage zu Teilaufgabe a)
    Könnte man hier auch die Formel v=s/t verwenden um t auszurechnen? Und dann dieses t für die Formel a=v/t verwenden? Leider komme ich aber nicht auf das selbe Ergebnis, sondern hätte für a 0,385 m/s^2 raus. Daher verwirrt mich das. Ist dies ein anderes t als in der Formel s=1/2at^2 ?

    Von Deleted User 746269, vor etwa 2 Monaten
  2. Karsten

    @Deppgirl:
    Du hast recht das die Formel für die Kraft:
    Kraft = Masse * Beschleunigung ist.
    Es würde damit natürlich weniger Kraft gebraucht werden um den nun leeren Lkw zu beschleunigen.

    Die Erklärung für die gleichbleibene Kraft ist, dass die Kraft vom Motor des Lkw's bewirkt wird.
    Da wir den Motor nicht austauschen behält der Lkw seine Beschleunigungskraft. Daher kann der Lkw auch schneller Beschleunigen wenn er leer ist.

    Von Karsten Schedemann, vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Ich habe eine Frage zur Teilaufgabe b): Die Kraft kann doch nicht dieselbe bleiben, wenn die Masse sich ändert?! F= ma -> das zeigt doch schon an sich dass die Masse bei der Kraft eine Rolle spielt? müsste man nicht erst die neue Kraft ausrechnen bevor man die Beschleunigung und dann die Geschwindigkeit ausrechnet?

    Von Deppgirl, vor fast 5 Jahren
  4. Maximilian

    @Mascha Biedrowski: Deine Frage ist gar nicht blöd. Im Gegenteil: für viele ist es nicht klar, wann man ein "Delta" davor schreibt und wann nicht.
    Das "Delta" gibt immer die Änderung einer Größe an. Also die Differenz zwischen zwei Werten einer Größe. Hier ist mit "Delta p" die Änderung des Impulses und mit "Delta t" die Änderung der Zeit gemeint.

    Die Schreibweise ohne "Delta" nimmt man für stationäre Zustände oder absolute Werte. Wenn sich also die Zeit t von 0 Sekunden auf z.B. 5 Sekunden geändert hat, dann schreibt man meist nur noch "t=5s" als absoluten Wert.

    Bei der Beschreibung des 2. Newtonschen Axioms nimmt man jedoch meist die Schreibweise mit "Delta".

    Von Maximilian T., vor etwa 5 Jahren
  5. Default

    Hallo :) die Frage ist vielleicht etwas blöd aberwann nehme ich
    delta p= F* delta t oder einfach nur
    p= F*t ?

    Von Mascha Biedrowski, vor etwa 5 Jahren
  6. Nikolai

    @Fabri: Ich kann keinen Fehler finden. Meinst du die Formel a=v^2/(2*s)? Im nächsten Schritt schreibt Kalle 4000m in den Nenner. Da s=2000m ist und 4000m=2*2000m stimmt doch alles oder?

    Von Nikolai P., vor etwa 6 Jahren
  7. Default

    bei 5:29 etwa (berechnung)

    Von Fabri, vor etwa 6 Jahren
  8. Default

    was ist mit 1/2??? wird das einfach weggelassen?

    Von Fabri, vor etwa 6 Jahren
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2. Newtonsche Axiom – Aktionsprinzip Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video 2. Newtonsche Axiom – Aktionsprinzip kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die Formeln, die das Aktionsprinzip beschreiben.

    Tipps

    Die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers wird mit Hilfe einer Größe beschrieben, die Geschwindigkeit und Masse des Körpers zusammenfasst.

    Das Aktionsprinzip kann vektoriell geschrieben werden oder nur in Bezug auf den Betrag formuliert werden.

    Lösung

    Das 2. Newtonsche Axiom beschreibt den Zusammenhang zwischen der Kraft , die auf einen Körper wirkt, und der durch sie verursachten Impulsänderung des Körpers pro Zeiteinheit: Die auf einen Körper wirkende Kraft $F$ ist gleich seiner Impulsänderung $\Delta p$ geteilt durch die dafür benötigte Zeit $\Delta t$.

    Dieses Aktionsprinzip beschreibt die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers mit Hilfe der Größe Impuls. Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus Masse des Körpers und Geschwindigkeit des Körpers. Ändert sich der Impuls eines Körpers, kann sich demnach entweder seine Masse ändern oder, im Regelfall, seine Geschwindigkeit.

  • Formuliere das 2. Newtonsche Axiom.

    Tipps

    Benenne die physikalischen Größen in der gezeigten Formel.

    Beachte, ob nur die Größe oder die Veränderung der Größe relevant ist.

    Benenne außerdem das Prinzip, welches im 2. Newtonschen Axiom dargestellt ist.

    Lösung

    Das 2. Newtonsche Gesetz beschreibt allgemein die Wirkung einer äußeren Kraft auf den Bewegungszustand eines Körpers. Es liefert außerdem die fundamentale Grundgleichung der Mechanik $F=m\cdot a$ für den Fall einer konstanten Körpermasse.

    Diesem Gesetz vorangestellt ist das 1. Newtonsche Axiom, welches sich mit der Trägheit von Körpern beschäftigt. Im ersten Newtonsches Axiom wird also beschrieben, was mit einem Körper geschieht, auf den in Summe keine äußeren Kräfte wirken.

  • Formuliere die Aussagen zur Grundgleichung der Mechanik.

    Tipps

    Welche physikalischen Größen treten in der Grundgleichung auf?

    Welches Newtonsche Gesetz beschreibt das Aktionsprinzip?

    Welches Newtonsche Gesetz beschreibt das Trägheitsprinzip?

    Lösung

    Die Grundgleichung der Mechanik leitet sich aus dem 2. Newtonschen Gesetz ab. Allgemein gilt dort das Aktionsprinzip $F=\frac {\Delta p} {\Delta t}$. Ersetzt man die Impulsänderung $\Delta p=m\cdot \Delta v$, so ergibt sich daraus mit $\frac {\Delta v} {\Delta t}=a$ für die Kraft $F=\frac {m\cdot \Delta v} {\Delta t}=m\cdot a$. Dies gilt aber nur, wenn die Masse des Körpers kontant bleibt.

    Aus der Grundgleichung leitet sich ein Sonderfall ab: Wenn die wirkende Kraft gleich Null ist, so ist auch die Beschleunigung gleich Null. Die Geschwindigkeit des Körpers ändert sich nicht, er bewegt sich also entweder gleichförmig oder ruht aufgrund seiner Trägheit. Dies ist die Aussage des 1. Newtonschen Axioms, des Trägheitsprinzips.

  • Interpretiere die Grundgleichung der Mechanik.

    Tipps

    Wird die Proportionalität zwischen zwei Größen angegeben, muss die dritte als konstant angesetzt werden.

    Je nach gesuchtem Zusammenhang muss du die Grundgleichung der Mechanik eventuell umstellen.

    Lösung

    Die Zusammenhänge zwischen den Größen Kraft, Masse und Beschleunigung sind hier in Formeln dargestellt.

    Die direkte Proportionalität beschreibt Zusammenhänge, bei denen die zwei Größen sich in gleichem Maße verändern. Nimmt beispielsweise die Masse eines Körpers zu, so ist mehr Kraft nötig, um ihn um denselben Wert zu beschleunigen ($F\sim m;~a=const.$).

    Die umgekehrte Proportionalität beschreibt Zusammenhänge, bei denen sich die beiden Größen entgegengesetzt verhalten. Je größer beispielsweise die Masse eines Körpers, desto geringer ist seine Beschleunigung bei gleicher Kraft ($m\sim \frac {1} {a};~F=const.$).

  • Vergleiche die wirkenden Kräfte bei der Beschleunigung von verschiedenen Fahrzeugen.

    Tipps

    Verwende zur Bestimmung der Kraft $F$ die Grundgleichung der Mechanik.

    Beim Einsetzen muss du die Masse in $kg$ umrechnen. $ms^{-2}$ kannst du auch als Bruch schreiben: $\frac {m} {s^2}$.

    Lösung

    Mit Hilfe der Grundgleichung der Mechanik lässt sich aus den gegebenen Werten die Kraft bestimmen. Gezeigt ist die Beispielrechnung für den ICE.

    Somit erhält man für die einzelnen Fahrzeuge folgende Werte für die Kraft: Formel-1-Wagen 25 kN, Mittelklassewagen 7,5 kN, S-Bahn 100 kN und ICE 125 kN.

    Die kleinste Kraft wirkt in diesem Beispiel beim Mittelklassewagen. Die Masse des Wagens ist relativ klein und der Beschleunigungswert bezieht sich auf niedrige Geschwindigkeitswerte. Es folgt die Kraft, die am Formel-1-Wagen wirkt. Dieser Wagen ist zwar leichter, jedoch tritt der gegebene Beschleunigungswert bei hohen Geschwindigkeiten auf.

    Merklich höher sind die Werte der Kraft für die S-Bahn und den ICE aufgrund der höheren Massen, die beschleunigt werden müssen. Der Wert für die Beschleunigung ist aber jeweils geringer als bei den Wagen. Die wirkende Kraft am ICE ist dabei wegen der höheren Masse trotz nur halb so großer Beschleunigung größer als bei der S-Bahn.

  • Beurteile die Leistungsfähigkeit von Nesselzellen.

    Tipps

    Der Schlauch der Nesselzelle bewegt sich gleichmäßig beschleunigt aus der Ruhe bis zur angegebenen Endgeschwindigkeit.

    Zur Berechnung der Beschleunigung benötigst du die Endgeschwindigkeit des Nesselschlauches sowie die genannte Strecke, die der Schlauch zwischen Hydra und Beute zurücklegt.

    Die Kraft auf die Hautoberfläche des Beutetieres kannst du mit Hilfe der Grundgleichung der Mechanik bestimmen.

    Zur Berechnung der Kraft benötigst du die ermittelte Beschleunigung sowie die angegebene Schlauchmasse.

    Einheitenvorsätze müssen für die Rechnungen umgeschrieben werden: ein Mikrometer ist ein Millionstel Meter, ein Nanometer ein Milliardstel Meter.

    Lösung

    Die Beschleunigung des Nesselschlauches beträgt über 5 Millionen g. Die Bewegung gehört damit zu den schnellsten Bewegungen im Tierreich. Die auftretende Kraft auf der Beuteoberfläche erscheint zunächst gering. Betrachtet man aber die kleine Fläche, auf der sie wirkt, erreicht der Nesselschlauch damit die Durchschlagskraft von Schusswaffen.

    Die vielen Arten der Nesseltiere besiedeln zahlreiche aquatischen Lebensräume unseres Planeten. Zu den Nesseltieren gehören alle Quallen, aber auch Süßwasserpolypen wie die Hydra in diesem Beispiel.

    Genauere Informationen zu den wissenschaftlichen Untersuchungen an der Hydra findest du unter

    T. Nüchter u. a.: Nanosecond-scale kinetics of nematocyst discharge. In: Current Biology. 16, 2006, S. R316–R318: http://www.npr.org/documents/2006/may/jellyfish.pdf (abgerufen am 07.08.2015).