Das 2. Newton'sche Axiom: Das Aktionsprinzip

Das 2. Newton'sche Gesetz

In unserem Einführungsvideo zu den Newton'schen Gesetzen hast du bereits gelernt, dass diese drei Gesetze die Grundlage der Mechanik bilden. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit dem 2. Newton'schen Gesetz bzw. Axiom beschäftigen, das auch als Aktionsprinzip in der Physik bekannt ist.

Aktionsprinzip – Definition

Das Aktionsprinzip können wir folgendermaßen formulieren:

Die Änderung der Bewegung ist proportional zur wirkenden Kraft. Die Änderung der Bewegung erfolgt in die Richtung, in die die Kraft wirkt.

Im Allgemeinen wird der Bewegungszustand eines Körpers durch seinen Impuls $p$ beschrieben. Der Impuls berechnet sich über das Produkt aus der Masse $m$ des Körpers und seiner Geschwindigkeit $v$:

$p = m \cdot v$

Die Änderung der Bewegung entspricht mathematisch einer zeitlichen Ableitung des Impulses $p$. Da nach dem Aktionsprinzip die Änderung der Bewegung proportional zur wirkenden Kraft $F$ ist, können wir damit die folgende Gleichung aufstellen:

$F = \frac{\text{d}p}{\text{d}t}$

Die Richtung der Kraft beziehungsweise der Änderung der Bewegung können wir berücksichtigen, indem wir die Vektorschreibweise wählen:

$\vec{F} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t}$

Wir wissen bereits, dass der Impuls $p$ das Produkt aus der Masse $m$ des Körpers und seiner Geschwindigkeit $v$ ist. Grundsätzlich können sich beide Größen ändern und müssen daher auch abgeleitet werden. Wenn dies der Fall ist, können die Rechnungen sehr kompliziert werden. Ein berühmtes Beispiel ist die Raketengleichung. Die Rakete beschleunigt, indem sie sehr schnell sehr große Mengen an Treibstoff verbrennt. Dadurch ändern sich ihre Geschwindigkeit und ihre Masse – und dadurch ist die Berechnung der Raketengleichung kompliziert.

In vielen anderen Beispielen bleibt die Masse aber konstant oder ändert sich so langsam, dass wir sie als konstant betrachten können. Dann muss die Masse nicht abgeleitet werden und wir können sie in der Gleichung als konstanten Faktor vor die Ableitung ziehen. Die Gleichung sieht dann folgendermaßen aus:

$F = \frac{\text{d}p}{\text{d}t} \underbrace{\Longrightarrow}_{\text{d}p = m \cdot \text{d}v } F = m \cdot \frac{\text{d}v}{\text{d}t}$

Der Term $\frac{\text{d}v}{\text{d}t}$ ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Diesen Term kennst du schon: Er ergibt gerade die Beschleunigung $a$. Damit erhalten wir als Gleichung für das Aktionsprinzip bei konstanter Masse:

$F = m \cdot a$

Das ist die Grundgleichung der Mechanik. Du kannst an dieser Gleichung auch schon etwas ablesen, was du intuitiv aus dem Alltag kennst: Je größer die Masse eines Körpers ist, desto mehr Kraft wird benötigt, um eine bestimmte Beschleunigung zu erreichen. Wenn du versuchst, unterschiedlich schwere Kugeln in die Luft zu werfen, kannst du diesen Effekt selbst spüren. Du kannst diesen Zusammenhang auch anders formulieren: Bei gleicher Kraft erreichen Körper mit geringerer Masse eine größere Beschleunigung.

Einen Spezialfall erhalten wir, wenn wir die Kraft gleich null setzen, also $F=0$:

$F = 0 = m \cdot a \Rightarrow a=0$

Wenn keine Kraft wirkt, ändert sich der Bewegungszustand nicht. Das ist gerade das Trägheitsprinzip, also das 1. Newton'sche Gesetz.

Aktionsprinzip – Beispiel

Wir wollen zum Aktionsprinzip noch zwei Aufgaben rechnen. Wir betrachten die folgende Situation:

Ein Lastwagen mit der Masse $m = 15~\text{t}$ erreicht aus dem Stand auf einer geraden Strecke von $2~\text{km}$ eine Geschwindigkeit von $100~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

a) Wie groß ist die konstante Kraft, mit der der Motor den Wagen beschleunigt?

Wir wollen das 2. Newton'sche Gesetz, also die Gleichung $F=m\cdot a$, anwenden, um die Kraft zu berechnen. Die Masse $m$ haben wir bereits gegeben. Die Beschleunigung $a$ müssen wir allerdings noch aus den gegebenen Werten berechnen. Dazu benötigen wir zwei Gleichungen. Zuerst brauchen wir die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

$s = \frac{1}{2} a \cdot t^{2}$

Wir kennen zwar die Strecke $s$, allerdings fehlt für diese Formel noch der Wert für die Zeit $t$. Diese können wir aber ersetzen, wenn wir den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit $v$ und Beschleunigung $a$ nutzen. Die Formel dazu lautet für den Start aus dem Stand:

$v = a \cdot t \Rightarrow t = \frac{v}{a}$

Diesen Term setzen wir für das $t$ in die Formel für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ein. Damit erhalten wir:

$s = \frac{1}{2} a \cdot \frac{v^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{a}$

Im letzten Schritt haben wir ein $a$ herausgekürzt. Nach dem verbleibenden $a$ umgestellt ergibt sich:

$a = \frac{v^{2}}{2s}$

Damit können wir die Beschleunigung $a$ durch Einsetzen der Werte für $v$ und $s$ berechnen. Dabei setzen wir $v$ in Meter pro Sekunde ein (wir müssen also den gegebenen Wert in Kilometer pro Stunde durch den Faktor 3,6 teilen):

$a = \frac{(27,8~\frac{\text{m}}{\text{s}})^{2}}{2\cdot2.000~\text{m}} = 0,19~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$

Jetzt können wir die Kraft $F$ berechnen, indem wir $a$ und $m$ in die Gleichung für das Aktionsprinzip einsetzen:

$F = 15\,000~\text{kg} \cdot 0,19~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}} = 2\,900~\text{N}$

Der Motor beschleunigt den Lastwagen also mit einer konstanten Kraft von 2,9 Kilonewton.

b) Nach dem Entladen wiegt der Lastwagen nur noch $3~\text{t}$. Welche Geschwindigkeit würde er nun auf der $2~\text{km}$ langen Strecke erreichen?

Wir müssen zunächst die Beschleunigung berechnen, die wir mit der Kraft des Motors erreichen. Dazu stellen wir das 2. Newton'sche Gesetz nach $a$ um und schreiben $m_2$ statt $m$:

$a_2 = \frac{F}{m_2}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$a = \frac{2,9~\text{kN}}{3\,000~\text{kg}}= 0,96~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}$

Jetzt nutzen wir die Formel, die wir in Aufgabe a) für die Beschleunigung aufgestellt haben, stellen sie aber nach $v$ um:

$a = \frac{v^{2}}{2s} \Rightarrow v = \sqrt{2as}$

Jetzt müssen wir nur noch die Werte für $a$ und $s$ einsetzen und erhalten:

$a = \sqrt{0,96~\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\cdot 2 \cdot 2\,000~\text{m}} = 62,1~\frac{\text{m}}{\text{s}} = 223,6~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Das ist doppelt so schnell wie im Fall des beladenen Lastwagens. Hier können wir den Einfluss der Masse direkt erkennen.