Energiedichte von Feldern

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Hallo und herzlich willkommen! Ich erkläre hier, was die Energiedichte in elektrischen und magnetischen Feldern ist und wie man sie berechnet. Du solltest wissen, wie sich Arbeit und Energie zueinander verhalten, den Unterschied von Energieformen kennen und natürlich wissen, wie elektrische und magnetische Felder entstehen. Mit dem Aufbau des Plattenkondensators und der langen Spule solltest du gut vertraut sein. Du weißt, dass man physikalische Arbeit verrichtet, um den Energiezustand eines Systems zu verändern. Hebt man etwa einen Körper in die Höhe, wird an ihm mechanische Arbeit gegen die Kraftwirkung des Schwerefeldes der Erde verrichtet. Hält man ihn auf dieser Höhe, indem man ihn zum Beispiel auf einem Seil balanciert oder auf eine Plattform legt, dann kann er selbst Arbeit verrichten, sobald er sich wieder mit der Schwerkraft bewegen kann. Wenn wir ihn etwa von der Plattform herunterkippen, dann wird seine potenzielle Energie in kinetische verwandelt, die sich beim Auftreffen auf den Boden wieder in eine andere verwandelt, meist Wärmeenergie. Natürlich muss man auch Arbeit verrichten, wenn man nicht Körper, sondern Ladungen bewegt. Das weißt du vom Aufladevorgang des Plattenkondensators. Es muss ein Strom fließen, damit wir Ladungsbewegung haben. Daher kann man ja die elektrische Leistung einsetzen, um die elektrische Arbeit zu berechnen, denn wir wissen, dass die elektrische Leistung das Produkt von anliegender Spannung und erzeugtem Stromfluss ist, aber auch, dass Leistung immer Arbeit pro Zeiteinheit ist. So ergab sich für die elektrische Arbeit beim Aufladen des Plattenkondensators die Formel W=Integral über UdQ, weil die Leistung P das Produkt von U und I ist und der Strom die Ladungsänderung pro Zeiteinheit. Damit erhalten wir für die Arbeit, die beim Aufladen des Plattenkondensators zu leisten ist, den Ausdruck für W, der lautet: W=½Q²/C. Die Größe der geleisteten Arbeit ist nun exakt gleich der Energie, die im Plattenkondensator gewissermaßen gespeichert ist. Es ist so, als könnte der Plattenkondensator jetzt eine Arbeit abgeben, die wir vorher nie investiert haben. Anders als beim Körper, den wir angehoben haben, steckt aber die Energie des elektrischen Feldes gewissermaßen im ganzen Feld, nicht einfach in den bewegten Ladungen. Denn wenn Energie die Fähigkeit ist, Arbeit zu verrichten und diese Arbeit durch Kraftwirkung verwirklicht wird, dann muss die Energie im gesamten Feld stecken. Das Feld ist ja ein Kraftfeld. An jedem Punkt des Raumes, den es ausfüllt, übt es eine Kraft aus. Natürlich nur auf geladene Teilchen. Und weil das so ist, kann man für ein Feld die Dichte der Energieverteilung im Raum bestimmen. Das ist nichts anderes als der Energieanteil pro Volumenstück. Ihr Formelzeichen ist Rho. Beim idealen Plattenkondensator gehen wir davon aus, dass das Feld zwischen seinen Platten homogen ist, was natürlich bedeutet, dass an allen Stellen in gleich großen Volumenstücken der Energieanteil gleich groß sein muss. Dann können wir aber ganz einfach, die gesamte Energie des Feldes mit seinem Gesamtvolumen ins Verhältnis setzen. Formulieren wir den Ausdruck für die Energie etwas um, erhalten wir einen Ausdruck, in dem die Ladung Q ersetzt ist. Mit dem Ausdruck, der die Stärke des elektrischen Feldes im Plattenkondensator in Abhängigkeit von der Spannung und dem Abstand der Platten beschreibt, können wir dann auch U ersetzen. Dann ersetzen wir noch die Größe C, die Kapazität des Plattenkondensators, mit dem bekannten Ausdruck aus der Elektrizitätskonstante, Plattenfläche und Plattenabstand, und wir erhalten einen schönen bündigen Ausdruck für die Energiedichte des elektrischen Feldes im Plattenkondensator. Nun sehen wir uns noch die Verhältnisse im magnetischen Feld an. Dort verhält es sich mit der Energiedichte ganz analog. Wir setzen auch hier bei der Bewegung von Ladungsträgern an, aber an solchen, die nicht durch ein elektrisches Feld bewegt werden, sondern durch die Veränderung eines magnetischen. Konkret betrachten wir den Fall der Selbstinduktion. Schalten wir einen durch eine Spule fließenden Gleichstrom ab, ändert sich das Feld dieser Spule und diese Änderung induziert eine Spannung in der Spule. Diese Spannung bewirkt einen Stromfluss, sodass hier eine Leistung umgesetzt wird, P=U×I. Außerdem gilt natürlich, wie allgemein, die Leistung P ist Arbeit pro Zeiteinheit. Wir stellen den zweiten Ausdruck hier wieder um, weil wir ja die Arbeit W berechnen wollen, ersetzen die Leistung P durch das entsprechende Produkt aus induzierter Spannung und Strom, setzen noch für die induzierte Spannung den äquivalenten Ausdruck, das Produkt der Induktivität der Spule und der Änderung des Stromflusses, und erhalten diesen Integralausdruck für die Arbeit, die das magnetische Feld der Spule bei seinem Abbau verrichtet. Wenn dieses Feld eine solche Arbeit verrichten kann, hat es selbstverständlich zuvor eben dieselbe Energie, die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Wir nahmen ja bei der langen und geraden Spule immer an, dass praktisch das gesamte Feld im Inneren der Spule liegt. Außerdem nehmen wir auch hier an, dass das Feld im Inneren der Spule homogen ist, das heißt, dass die gesamte Energie gleichmäßig über das ganze Feld verteilt sein muss, also auch hier wieder in gleichen Volumenstücken der gleiche Energieanteil zu finden sein muss, ganz gleich an welchem Ort. Wir können also auch hier die Energiedichte, das Verhältnis von Energieanteil zu Volumenstück über das Verhältnis der Gesamtenergie zum Gesamtvolumen berechnen, ganz ähnlich wie beim Plattenkondensator. Setzen wir für die Induktivität L noch den bekannten Ausdruck aus Permeabilität, Windungszahl, Querschnittsfläche und Länge der Spule an, und für den induzierten Strom den Ausdruck, der ihn als Funktion der magnetischen Flussdichte B zeigt, dann erhalten wir hier einen etwas modifizierten Ausdruck für die Energie des magnetischen Feldes in der langen geraden Spule. Für die Energiedichte Rho als Verhältnis der Gesamtenergie zum Gesamtvolumen des magnetischen Feldes ergibt sich also dieser Ausdruck. Fassen wir noch einmal kurz zusammen: Wir haben für den Plattenkondensator die Energie, die in ihm gespeichert ist, darüber berechnet, dass wir die Arbeit ermittelt haben, die verrichtet wird, wenn er aufgeladen wird. Da wir angenommen haben, dass das Feld zwischen den Platten des Plattenkondensators homogen ist, konnten wir die Energiedichte, das heißt, den Energieanteil pro Volumenstück, über die Gesamtenergie im Verhältnis zum Gesamtvolumen des Feldes zwischen den beiden Platten berechnen. Für die lange gerade Spule haben wir die in ihrem magnetischen Feld gespeicherte Energie über die Arbeit ermittelt, die dieses Feld verrichtet, wenn wir den Strom, der das Feld aufgebaut hat, abschalten und durch die Veränderung des Feldes eine Spannung induziert wird und ein Strom angetrieben wird. Mit den beiden Näherungen, dass sich das gesamte Feld der Spule in ihrem Inneren befindet und homogen ist, das heißt, überall gleich dicht, konnten wir die Energiedichte des magnetischen Feldes einer langen geraden Spule als das Verhältnis der Gesamtenergie dieses Feldes zu seinem Gesamtvolumen berechnen. Das war ein sehr komplexes Thema, aber wenn du mit den Verhältnissen Plattenkondensator und der langen geraden Spule gut vertraut warst, wird das nicht so schwer gewesen sein. Viel Vergnügen bei der Anwendung und beim Berechnen und bis zum nächsten Video!

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Die Autor*innen

Kalo

Energiedichte von Feldern

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Energiedichte von Feldern Übung

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Gib die allgemeine Definition der Energiedichte eines Feldes an.

Tipps

Vergleiche die Energiedichte mit der Stoffdichte.

Energie und Kraft haben unterschiedliche Einheiten.

Lösung

Analog zur Dichte eines Stoffes wird auch die Dichte eines Feldes im Bezug auf ein betrachtetes Volumen definiert.
Wir wissen: Die Dichte eines Stoffes wird angegeben als
$\varrho = \frac{m}{V}$ in $\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ oder $\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.
Die interessante Größe ist hier die Masse $m$, welche im Bezug auf ein bestimmtes Volumen $V$ betrachtet wird.
Ziel ist es, die physikalische Eigenschaft Masse unabhängig von der Gesamtgröße eines Körpers zu definieren.
Ein Körper, der aus einem sehr dichten Stoff besteht, hat aus diesem Grund eine höhere Dichte als ein Körper, welcher bei gleicher Masse ein größeres Volumen annimmt.
Ähnliches gilt für die Energiedichte eines Feldes. Hier ist die interessante Größe nun nicht weiter die Masse, sondern die Energie/Arbeit. Wichtig ist es, diese nicht mit einer Kraft zu verwechseln
Somit ergibt sich also am Beispiel des elektrischen Feldes.
$\varrho_{el} = \frac{W_{ges}}{V_{ges}}$ .
Die Dichte der Energie ist also umso größer, je größer die gespeicherte Energie beziehungsweise die abrufbare Arbeit ist, oder je geringer der eingenommene Raum ist.
Auch hier ist die Dichte ein Instrument, um Vergleichbarkeit zwischen großen und kleine Feldern zu erreichen. Genauso wie die Stoffdichte eine Vergleichbarkeit zwischen unterschiedlich großen Körpern sicherstellen soll.
Nenne die Annahmen, die zur Beschreibung der Energiedichte eine Feldes notwendig sind.

Tipps

In einem radialsymmetrischen Feld gilt diese Betrachtung nicht.

Du kannst dir die Dichte der Feldes als die Dichte der Feldlinien in einem bestimmten Volumen vorstellen.

Im homogenen Feld ist die Energiedichte an jedem Ort konstant.

Lösung

Um die mathematische Beschreibung des Energiezustandes eines elektrischen oder magnetischen Feldes möglichst einfach zu gestalten, treffen wir eine wichtige vereinfachende Annahme.
Wir gehen davon aus, dass die betrachteten Felder homogen sind. Das heißt, die Energiedichte ist im gesamten Feld konstant. Es gilt:
$\frac{\Delta W_1}{\Delta V_1} = \frac{\Delta W_2}{\Delta V_2} = ... = \frac{\Delta W_{ges}}{\Delta V_{ges}} = const$.
Vereinfacht kannst du dir die Dichte der Feldes als die Dichte der Feldlinien in einem bestimmten Volumen vorstellen. Solange wir ein homogenes Feld betrachten, ist die Anzahl der Feldlinien geteilt durch das Volumen, welches diese einnehmen, konstant.
Oder:
Sind jeweils gleich viele Feldlinien pro Volumeneinheit vorhanden, so ist die Energiedichte konstant.
In einem radialsymmetrischen Feld gilt diese Betrachtung demnach nicht, da hier die Dichte der Feldlinien mit steigender Entfernung vom Zentrum des Feldes abnimmt, also nicht konstant ist.
Bestimme die Energiedichte der Feldspule.

Tipps

$\varrho_{mag}= \frac{1}{2} \cdot \frac{B^2}{\mu_0 \mu_r}$

Auch hier gilt : Rechne in Grundeinheiten.

Lösung

Für die Berechnung der Energiedichte eines Magnetfeldes in der Spule gilt folgender Zusammenhang :
$\varrho_{mag} = \frac{1}{2} \cdot \frac{B^2}{\mu_0 \mu_r}$ .
Darin ist $B$ die Stärke des homogenen Magnetfeldes, $\mu_0$ die magnetische Feldkonstante und $\mu_r$ die Permeabilitätszahl des verwendeten Stoffes.
Auch hier gilt : Rechne in Grundeinheiten!
Also müssen wir zunächst $B = 17,73 \text{mT} = 0,01773 \text{T} $ umwandeln.
Die magnetische Feldkonstante ist mit $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^-7 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}}$ angegeben. Einsetzen liefert nun :
$\varrho_{mag} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0,01773 ^2 \text{T}}{ 4\pi \cdot 10^-7 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}} \cdot \mu_r}$.
Für den ersten Fall, mit Eisenkern $\mu_{r1} = 300 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}}$, erhalten wir :
$\varrho_{mag}= \frac{1}{2} \cdot \frac{0,01773 ^2 \text{T}}{ 4\pi \cdot 10^-7 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}} \cdot 300 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}}} = 0,416 \frac{\text{J}}{\text{m}^3} $.
Die Energiedichte der magnetischen Feldes beträgt bei Verwendung eines Eisenkerns also $\varrho_{mag} = 0,416 \frac{\text{J}}{\text{m}^3} $.
Für den zweiten Fall, in dem Kobalt mit $\mu_{r,2} = 120 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}}$ gegeben ist, ergibt sich :
$\varrho_{mag} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0,01773 ^2\text{T}}{ 4\pi \cdot 10^-7 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}}\cdot 120 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}}} = 1,04 \frac{\text{J}}{\text{m}^3} $.
Die Energiedichte im zweiten Fall ist mit $\varrho_{mag,2}= 1,04 \frac{\text{J}}{\text{m}^3}$ größer als im ersten Fall.
Berechne die Energiedichten der Plattenkondensatoren.

Tipps

Generell gilt: Je größer $\epsilon_r$ ist, desto mehr Energie ist im elektrischen Feld des Kondensators speicherbar.

Die elektrische Feldkonstante $\epsilon_0 = 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ ist stets konstant.

$\rho_{el} = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \epsilon_r E_c ^2$

Lösung

Die Energiedichte eines Plattenkondensators lässt sich mit Hilfe der Formel $\rho_{el} = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \epsilon_r E_c ^2$ berechnen.
Die elektrische Feldkonstante $\epsilon_0 = 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ ist dabei stets konstant.
Die elektrische Permittivität oder dielektrische Leitfähigkeit $\epsilon_r$ ist eine Werkstoffkonstante und hängt damit von der Wahl des Dielektrikum zwischen den Kondensatorplatten ab.
Generell gilt: Je größer $\epsilon_r$ ist, desto mehr Energie ist im elektrischen Feld des Kondensators speicherbar.
Die letzte zu erklärende Größe in der Formel ist $E_c$, die Feldstärke des anliegenden Feldes, welche eine Funktion von anliegender Spannung und Plattenabstand ist.
Betrachten wir ein Beispiel :
Es sei $E_c = 400 \frac{\text{V}}{\text{m}} $ und $ \epsilon_r = 8$. $\epsilon_0$ muss nicht extra angegeben sein, da dieses ohnehin bekannt ist.
Somit ergibt sich aus
$\rho_{el} = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \epsilon_r E_c ^2 = \frac{1}{2} \cdot 8,854 \cdot 10^{-12} \frac {\text{As}}{\text{Vm}} \cdot (400\frac{\text{V}}{\text{m}}) ^2 = 5,664 \cdot 10^-6 \frac{\text{J}}{\text{m}^3}$.
Die Energiedichte des elektrischen Feldes beträgt also $\rho_{el}= 5,664 \cdot 10^-6 \frac{\text{J}}{\text{m}^3}$.
Berechne den Betrag der Arbeit im Schwerefeld der Erde.

Tipps

Die Gravitationskraft wirkt in Richtung des Erdkerns.

Das Gravitationsfeld darf als homogen betrachtet werden.

$W = F \cdot h$

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir nun einige Begriffe voneinander unterscheiden.
Gefragt ist nach der Arbeit, die aufzubringen ist. Doch was ist die Arbeit nochmal genau?
Durch das Verrichten von Arbeit wird der Energiezustand eines Systems verändert. Dabei kann die Energie des Systems entweder erhöht oder abgesenkt werden.
Wichtig ist es, den Begriff der Arbeit vom Energiebegriff abzugrenzen. Beide haben zwar die gleiche Einheit und errechnen sich gleich, jedoch unterscheiden sie sich dennoch.
Zur Verdeutlichung wollen wir uns ein Glas Wasser anschauen. Der Füllstand des Wassers ist gewissermaßen mit der Systemenergie vergleichbar. Beide sind Ist-Zustände des Systems. Um diesen Zustand zu verändern, können wir nun Wasser durch den Strohhalm trinken. Diese Veränderung, also das Absenken des Wasserspiegels (= der Systemenergie), ist gut mit der Arbeit zu vergleichen.
Arbeit führt immer zur Veränderung eines Systems*, wie schon zu Beginn erwähnt.
Nun zum Stein im Gravitationsfeld :
Um die verrichtete Arbeit zu errechnen, benötigen wir zunächst eine Kraft, denn :
$W = F_g \cdot s$.
Mit der Masse des Steins und dem Ortsfaktor ergibt sich :
$ F_g = m_s \cdot g = 14.500 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s} = 142.245 N = 142,25 kN$.
Einsetzen liefert :
$W = 142.245 N \cdot 25m = 3.556.125 J = 3,56 MJ$.
Es muss also eine Arbeit von etwa $3,56 MJ$ aufgewandt werden, um den Stein zu heben.
Die Energie des Systems wird also um eben diesen Betrag von $3,56 MJ$ erhöht.
Berechne die Ladung auf den Kondensatoren.

Tipps

Die Kapazität ist nicht gleichbedeutend mit der Ladung.

$ Q = C \cdot U $

Lösung

Um die Ladung zu berechnen, welche ein gegebener Kondensator tragen kann, muss zunächst die Kapazität berechnet werden.
Diese ist mit der Formel für $C$ relativ leicht zu berechnen. Auch hier gilt wieder : Alles in Grundeinheiten rechnen wie etwa $m$ anstatt $cm$, sonst stimmt das Ergebnis nicht.
Neben der elektrischen Feldkonstante $\epsilon_r$ sind die Dielektrizitätszahl $\epsilon_r$ und die Geometrie des Kondensators mit Fläche $A$ und Plattenabstand $d$ maßgeblich.
Doch die Kapazität ist nicht gleichbedeutend mit der Ladung.
Um diese zu bestimmen, muss neben der Kapazität die angelegte Spannung bekannt sein. Je größer die Spannung ist, desto mehr Ladung kann aufgebracht werden.
Hier gilt der Zusammenhang : $ Q = C \cdot U $.
Betrachten wir ein Beispiel. Ein Kondensator der Fläche $A = 0,02 m^2$ und mit dem Plattenabstand $d = 1 \text{mm}$ wird ohne Dielektrikum $\epsilon_r = 1 \frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}}$ an eine Spannung von $U = 230 \text{V} $ angeschlossen.
Die Kapazität ergibt sich zu : $C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d} = 8,85 \cdot 10^{-12} \frac {\text{A}}{\text{Vm}} \cdot 1\frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A} \cdot \text{m}} \cdot \frac{0,02 m^2}{0,001 \text{m}} = 1,77 \cdot 10^{-10} \text{F} = 0,177 \text{nF} $.
Mit $ Q = C \cdot U $ folgt :
$ Q = 1,77 \cdot 10^{-10} \cdot 230 \text{V} = 4,07 \cdot 10^{-8} \text{C} = 40,7 \text{nC} $ .
Auf dem Kondensator können $40,7 \text{nV}$ aufgebracht werden.