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Energie einer stromdurchflossenen Spule 05:16 min

Textversion des Videos

Transkript Energie einer stromdurchflossenen Spule

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Dieses Video gehört in das Gebiet Elektrizität und Magnetismus und es behandelt die Energie einer stromdurchflossenen Spule. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über die Selbstinduktion gesehen haben. Wir lernen heute: - Wovon die magnetische Energie einer stromdurchflossenen Spule abhängt und - Wie ich die Formel für diese Energie herleiten kann Stellen wir uns folgenden Versuch vor. An eine Spannungsquelle schließe ich eine Spule der Induktivität L und parallel geschaltet eine Glühlampe an. Wenn ich nun die Spannungsquelle vom Stromkreislauf entferne, bricht das Magnetfeld in der Spule zusammen und diese Änderung des magnetischen Flusses induziert in der Spule eine Spannung, die versucht, das Magnetfeld zu erhalten. Diese Spannung wird durch das Leuchten des Glühlämpchens sichtbar gemacht. Wir merken uns also: Trennt man eine stromdurchflossene Spule von ihrer Spannungsquelle, so wird in ihr eine Spannung induziert, die dem Abbau des Magnetfelds entgegenwirkt. Und das wiederum bedeutet, dass im Magnetfeld einer Spule Energie gespeichert ist. Wie hoch diese magnetische Energie ist, die ich fürs Erste mit (E m) bezeichne, hängt von 2 Faktoren ab: - Zum Ersten von der Stromstärke I in der Spule, denn je höher die Stromstärke, desto stärker das Magnetfeld. Und je stärker das Magnetfeld ist, das sich abbaut, desto höher ist die Flussänderung, desto höher ist die induzierte Spannung. - Zum Zweiten hängt die Höhe von (E m) davon ab, wie groß die Induktivität L der verwendeten Spule ist, denn je höher L ist, desto stärker wehrt sich die Spule gegen eine Änderung des Stromes. Oder anders gesagt: Je höher L, desto größer ist die induzierte Spannung Ui pro Stromänderung. Als Nächstes wollen wir versuchen, eine Formel zur Berechnung der magnetischen Energie in einer Spule herzuleiten. In unserem Versuchsaufbau von gerade eben diente die Spule als Spannungsquelle für die Glühlampe, das heißt, sie gibt eine elektrische Leistung (P el) an die Glühlampe ab. Die Formel für die Leistung (P el)=U×I. Die Leistung ist übrigens ein Maß dafür, wie viel Energie pro Zeit abgegeben werden kann. Man kann sie also auch schreiben als dE/dt. Wir wissen außerdem: Die Induktivität L ist die induzierte Spannung (U i) zum Zeitpunkt t geteilt durch die Ableitung nach der Zeit des Stromes I zum Zeitpunkt t. Wenn ich das nun einsetze, ergibt sich die elektrische Leistung (P el)=-L×[dI(t)/dt]×I(t). Außerdem kann ich schreiben: Was an magnetischer Energie an der Spule verloren wird, wird als elektrische Energie an das Glühlämpchen abgegeben - wegen des Energieerhaltungssatzes. Also [d(E m)(t)]/dt=-(dE/dt). Das Minus muss sein, weil auf der einen Seite gewonnen, auf der anderen verloren wird. Sie haben also verschiedene Vorzeichen. dE/dt war nun aber genau unsere Leistung. Das heißt, ich kann die beiden gleichsetzen und erhalte als neue Gleichung: Die Ableitung der magnetischen Energie zum Zeitpunkt t nach der Zeit = L×[(dI(t))/dt]×I(t). Das heißt, um eine Formel für die magnetische Energie zum Zeitpunkt t zu finden, muss ich also nur die Funktion finden, die abgeleitet die rechte Seite meiner Gleichung ergibt. Und daraus folgt: (E m)=(1/2)×L×I(t)2. Wir können das überprüfen, indem wir es schnell noch einmal selber ableiten. (1/2)×L×I(t)2 abgeleitet ergibt (1/2)×2×L×I(t)×I(t) nachdifferenziert, denn es stand ja im Quadrat, und das ist genau [dI(t)]/dt. Es stimmt also. Damit haben wir unsere Formel gefunden, und wir schreiben auf: Eine Spule der Induktivität L, durch die ein Strom der Stärke I fließt, enthält die magnetische Energie (W m)=(1/2)×L×I2. Wenn ihr euch nun fragt, warum ich auf einmal statt (E m) (W m) schreibe: Oft verwendet man für die Energie der Spule - und auch des Kondensators übrigens - den Buchstaben W statt des Buchstabens E, damit man nicht mit einer eventuellen elektrischen Feldstärke durcheinander kommt, denn die hat ja auch den Buchstaben E. Ihr dürft, solange es keine Verwechslungsgefahr gibt, natürlich beides verwenden. In den Formelsammlungen ist es aber meistens mit (W m) angegeben. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule enthält die magnetische Energie (E m) oder (W m). Die Höhe dieser Energie hängt von der Stromstärke I und der Induktivität L der verwendeten Spule ab. Die Formel für diese Energie ist (W m)=(1/2)×L×I2. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.

1 Kommentar
  1. Viel zu schnell erklärt ):

    Von Kristin Kurtz, vor etwa 6 Jahren

Energie einer stromdurchflossenen Spule Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Energie einer stromdurchflossenen Spule kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wovon die magnetische Energie einer Spule abhängt.

    Tipps

    Stell dir einen Stromkreislauf mit einer Spule vor. Was könnte in dem Kreislauf verändert werden?

    Schau dir noch einmal die Formel für die magnetische Energie an.

    Lösung

    Sobald ein Strom durch eine Spule fließt, baut die Spule ein Magnetfeld auf. In diesem Magnetfeld ist eine Energie gespeichert.

    Die Formel für die magnetische Energie ist:

    $\begin{align} E_m(t) = \frac{1}{2}\cdot L \cdot I(t)^2 \end{align}$

    Die magnetische Energie hängt also von der Induktivität $L$ der Spule und der Stromstärke $I$ ab, die durch die Spule fließt.

    In der Formel sehen wir außerdem, dass eine verdoppelte Stromstärke eine viermal so hohe magnetische Energie zur Folge hat.

  • Beschreibe, was passiert, wenn die Spannungsquelle entfernt wird.

    Tipps

    Was passiert mit dem Magnetfeld der Spule, sobald die Spannungsquelle entfernt wird?

    Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld induziert eine Spannung.

    Lösung

    In dem dargestellten Stromkreis ist eine Spule der Induktivität $L$ und parallel dazu eine Glühlampe angeschlossen. Sobald Strom eine Spule durchfließt, entwickelt sich ein Magnetfeld. Mit dem Entfernen der Spannungsquelle bricht das Magnetfeld zusammen. Dies macht sich in einem zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss bemerkbar. Wie aus dem allgemeinen Induktionsgesetz bekannt, entsteht dadurch eine Induktionsspannung $U_i$, die versucht den Stromfluss aufrechtzuerhalten (Ausschaltvorgang der Spule).

    $ \begin{align} U_i = - N \cdot \frac{d\Phi}{dt} \end{align} $

    Die Induktionsspannung ist also der Grund dafür, dass ein Strom fließt, obwohl die Spannungsquelle nicht mehr vorhanden ist. Dies ist natürlich nur so lange möglich, bis sich der magnetische Fluss $\Phi$ nicht mehr ändert. Dass die Lampe nach dem Entfernen der Stromquelle leuchtet, zeigt deutlich, dass in der Spule eine Energie gespeichert ist. Diese nennt man die magnetische (Feld-)Energie.

  • Beschrifte die Formel der magnetischen Energie einer Spule.

    Tipps

    $W_m$ wird manchmal auch mit $E_m$ bezeichnet.

    Lösung

    Um die magnetische Energie einer Spule zu berechnen, kann die folgende Formel verwendet werden:

    $\begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}$

    $W_m$ ist die Energie der Spule. Manchmal wird sie auch $E_m$ genannt. Die Energie der Spule hängt von ihrer Induktivität $L$ und von der Stromstärke $I$ ab.

    Beachte, dass generell nur Spannungen induziert werden, niemals Ströme. Die Ströme werden durch die induzierte Spannung hervorgerufen, daher ist der Begriff Induktionsstrom physikalisch nicht korrekt.

  • Berechne, wie viel Energie frei wird, wenn die Stromstärke in der Spule auf die Hälfte abfällt.

    Tipps

    Berechne zunächst die Induktivität der langgestreckten Spule.

    Die Induktivität einer langgestreckten Spule lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

    $\begin{align} L = \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l} \end{align}$

    Setze das Ergebnis in die Formel für die magnetische Energie der Spule ein.

    Die Formel für die magnetische Energie einer Spule lautet:

    $\begin{align} W_m= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}$

    Beachte, dass du die Energie berechnen sollst, die frei wird, wenn die Stromstärke halbiert wird. Es gilt also:

    $\begin{align} E_{el} = W_{m1} - W_{m2} \end{align}$

    Dabei beschreibt $W_{m1}$ die magnetische Energie bei $I=3\,A$ und $W_{m2}$ bei halbierter Stromstärke.

    Lösung

    Zunächst berechnen wir die Induktivität der langgestreckten Spule mit der Formel:

    $\begin{align} L = \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l} \end{align}$

    Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung folgt:

    $\begin{align} L &= 12,57\cdot 10^{-7}\,\frac{H}{m} \cdot 0,4\,m^2 \cdot \frac{10000^2}{0,8\,m} \\ &= 62,85\,H \end{align}$

    Da wir nun die Induktivität der Spule kennen, können wir die magnetische Energie ausrechnen, die bei einer Stromstärke von $3\,A$ vorhanden ist.

    $\begin{align} W_{m1} &= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \\ & = \frac{1}{2} \cdot 62,85\,H \cdot (3\,A)^2 \\ &\approx 282,83\,J \end{align}$

    Wenn sich die Stromstärke halbiert, fließen nur noch $1,5\,A$ durch die Spule. Eingesetzt erhalten wir:

    $\begin{align} W_{m2} &= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \\ & = \frac{1}{2} \cdot 62,85\,H \cdot (1,5\,A)^2 \\ &\approx 70,71\,J \end{align}$

    Um nun zu berechnen, welche Energie beim Halbieren der Stromstärke frei geworden ist, muss die Differenz zwischen $W_{m1}$ und $W_{m2}$ berechnet werden:

    $\begin{align} E_{el} &= W_{m1} - W_{m2}\\ &= 282,83\,J - 70,71\,J\\ &= 212,12\,J \end{align}$

  • Berechne die magnetische Energie einer Spule.

    Tipps

    Verwende die Formel für die magnetische Energie einer Spule.

    Die Formel für die magnetische Energie einer Spule lautet:

    $\begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}$

    Lösung

    Die Formel der magnetischen Energie einer Spule lautet:

    $\begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}$

    Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung lässt sich das Ergebnis finden:

    $\begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot 0,14\,H \cdot (5,0\, A)^2 = 1,75\,J \end{align}$

  • Leite die Formel für die magnetische Energie der Spule her.

    Tipps

    Die elektrische Leistung ist die zeitliche Ableitung der Energie.

    Aus der Energieerhaltung wissen wir, dass die magnetische Energie, die von der Spule abgegeben wird, von der Glühlampe als elektrische Energie aufgenommen wird.

    Lösung

    Um die Formel für die magnetische Energie herzuleiten, beginnen wir damit, uns die elektrische Leistung der Spule anzuschauen.

    $\begin{align} P_{el}= U_i(t)\cdot I(t) \end{align}$

    Wir wissen außerdem, dass die Leistung der zeitlichen Ableitung der Energie entspricht.

    $\begin{align} P_{el}= \frac{dE}{dt} \end{align}$

    Als nächstes schauen wir uns die Formel der Induktivität an und stellen diese nach $U_i$ um.

    $\begin{align} L= -\frac{U_i}{\frac{dI(t)}{dt}} \rightarrow U_i = - L \cdot \frac{dI(t)}{dt} \end{align}$

    Setzen wir nun $U_i$ in die Formel der elektrischen Leistung ein, erhalten wir:

    $\begin{align} P_{el}= -L \frac{dI(t)}{dt} \cdot I(t) \end{align}$

    Jetzt haben wir zwar die Leistung in Abhängigkeit der Induktivität angegeben, aber noch nicht die magnetische Energie betrachtet. Dafür erinnern wir uns, dass die Leistung der zeitlichen Ableitung der Energie entspricht $(P_{el} = \frac{dE}{dt})$. In unserem Versuch mit der Spule und dem Glühlämpchen wird mit dem Entfernen der Spannungsquelle die magnetische Energie der Spule in elektrische Energie umgewandelt. Aus der Energieerhaltung lässt sich schließen, dass die gesamte magnetische Energie, die in dem Magnetfeld der Spule gespeichert war, an das Glühlämpchen abgegeben wird.

    $\begin{align} \frac{dE_m(t)}{dt} =- \frac{dE}{dt} \end{align}$

    Unter dieser Voraussetzung gilt $P_{el} = \frac{dE}{dt} = - \frac{dE_m(t)}{dt}$.

    Wir können also schreiben:

    $\begin{align} \frac{dE_m(t)}{dt} = L \cdot \frac{dI(t)}{dt} \cdot dI(t) \end{align}$

    Um die magnetische Energie $E_m$ zu erhalten, müssen wir also eine Gleichung finden, die nachdem sie zeitlich abgeleitet wird, wie die obige aussieht. Durch genaues Hinsehen finden wir die Gleichung:

    $\begin{align} E_m(t) = L \cdot I(t)^2 \end{align}$

    Ob diese Gleichung stimmt, können wir überprüfen, indem wir die Gleichung ableiten. Dabei muss beachtet werden, dass die Kettenregel angewendet werden muss.