Energie einer stromdurchflossenen Spule

Energie einer stromdurchflossenen Spule Übung

• Beschreibe, was passiert, wenn die Spannungsquelle entfernt wird.

  Tipps

  Was passiert mit dem Magnetfeld der Spule, sobald die Spannungsquelle entfernt wird?

  Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld induziert eine Spannung.

  Lösung

  In dem dargestellten Stromkreis ist eine Spule der Induktivität $L$ und parallel dazu eine Glühlampe angeschlossen. Sobald Strom eine Spule durchfließt, entwickelt sich ein Magnetfeld. Mit dem Entfernen der Spannungsquelle bricht das Magnetfeld zusammen. Dies macht sich in einem zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss bemerkbar. Wie aus dem allgemeinen Induktionsgesetz bekannt, entsteht dadurch eine Induktionsspannung $U_i$, die versucht den Stromfluss aufrechtzuerhalten (Ausschaltvorgang der Spule).

  \begin{align} U_i = - N \cdot \frac{d\Phi}{dt} \end{align}

  Die Induktionsspannung ist also der Grund dafür, dass ein Strom fließt, obwohl die Spannungsquelle nicht mehr vorhanden ist. Dies ist natürlich nur so lange möglich, bis sich der magnetische Fluss $\Phi$ nicht mehr ändert. Dass die Lampe nach dem Entfernen der Stromquelle leuchtet, zeigt deutlich, dass in der Spule eine Energie gespeichert ist. Diese nennt man die magnetische (Feld-)Energie.

• Beschrifte die Formel der magnetischen Energie einer Spule.

  Tipps

  $W_m$ wird manchmal auch mit $E_m$ bezeichnet.

  Lösung

  Um die magnetische Energie einer Spule zu berechnen, kann die folgende Formel verwendet werden:

  \begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}

  $W_m$ ist die Energie der Spule. Manchmal wird sie auch $E_m$ genannt. Die Energie der Spule hängt von ihrer Induktivität $L$ und von der Stromstärke $I$ ab.

  Beachte, dass generell nur Spannungen induziert werden, niemals Ströme. Die Ströme werden durch die induzierte Spannung hervorgerufen, daher ist der Begriff Induktionsstrom physikalisch nicht korrekt.

• Berechne die magnetische Energie einer Spule.

  Tipps

  Verwende die Formel für die magnetische Energie einer Spule.

  Die Formel für die magnetische Energie einer Spule lautet:

  \begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}

  Lösung

  Die Formel der magnetischen Energie einer Spule lautet:

  \begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}

  Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung lässt sich das Ergebnis finden:

  \begin{align} W_m = \frac{1}{2} \cdot 0,14\,H \cdot (5,0\, A)^2 = 1,75\,J \end{align}

• Leite die Formel für die magnetische Energie der Spule her.

  Tipps

  Die elektrische Leistung ist die zeitliche Ableitung der Energie.

  Aus der Energieerhaltung wissen wir, dass die magnetische Energie, die von der Spule abgegeben wird, von der Glühlampe als elektrische Energie aufgenommen wird.

  Lösung

  Um die Formel für die magnetische Energie herzuleiten, beginnen wir damit, uns die elektrische Leistung der Spule anzuschauen.

  \begin{align} P_{el}= U_i(t)\cdot I(t) \end{align}

  Wir wissen außerdem, dass die Leistung der zeitlichen Ableitung der Energie entspricht.

  \begin{align} P_{el}= \frac{dE}{dt} \end{align}

  Als nächstes schauen wir uns die Formel der Induktivität an und stellen diese nach $U_i$ um.

  \begin{align} L= -\frac{U_i}{\frac{dI(t)}{dt}} \rightarrow U_i = - L \cdot \frac{dI(t)}{dt} \end{align}

  Setzen wir nun $U_i$ in die Formel der elektrischen Leistung ein, erhalten wir:

  \begin{align} P_{el}= -L \frac{dI(t)}{dt} \cdot I(t) \end{align}

  Jetzt haben wir zwar die Leistung in Abhängigkeit der Induktivität angegeben, aber noch nicht die magnetische Energie betrachtet. Dafür erinnern wir uns, dass die Leistung der zeitlichen Ableitung der Energie entspricht $(P_{el} = \frac{dE}{dt})$. In unserem Versuch mit der Spule und dem Glühlämpchen wird mit dem Entfernen der Spannungsquelle die magnetische Energie der Spule in elektrische Energie umgewandelt. Aus der Energieerhaltung lässt sich schließen, dass die gesamte magnetische Energie, die in dem Magnetfeld der Spule gespeichert war, an das Glühlämpchen abgegeben wird.

  \begin{align} \frac{dE_m(t)}{dt} =- \frac{dE}{dt} \end{align}

  Unter dieser Voraussetzung gilt $P_{el} = \frac{dE}{dt} = - \frac{dE_m(t)}{dt}$.

  Wir können also schreiben:

  \begin{align} \frac{dE_m(t)}{dt} = L \cdot \frac{dI(t)}{dt} \cdot dI(t) \end{align}

  Um die magnetische Energie $E_m$ zu erhalten, müssen wir also eine Gleichung finden, die nachdem sie zeitlich abgeleitet wird, wie die obige aussieht. Durch genaues Hinsehen finden wir die Gleichung:

  \begin{align} E_m(t) = L \cdot I(t)^2 \end{align}

  Ob diese Gleichung stimmt, können wir überprüfen, indem wir die Gleichung ableiten. Dabei muss beachtet werden, dass die Kettenregel angewendet werden muss.

• Gib an, wovon die magnetische Energie einer Spule abhängt.

  Tipps

  Stell dir einen Stromkreislauf mit einer Spule vor. Was könnte in dem Kreislauf verändert werden?

  Schau dir noch einmal die Formel für die magnetische Energie an.

  Lösung

  Sobald ein Strom durch eine Spule fließt, baut die Spule ein Magnetfeld auf. In diesem Magnetfeld ist eine Energie gespeichert.

  Die Formel für die magnetische Energie ist:

  \begin{align} E_m(t) = \frac{1}{2}\cdot L \cdot I(t)^2 \end{align}

  Die magnetische Energie hängt also von der Induktivität $L$ der Spule und der Stromstärke $I$ ab, die durch die Spule fließt.

  In der Formel sehen wir außerdem, dass eine verdoppelte Stromstärke eine viermal so hohe magnetische Energie zur Folge hat.

• Berechne, wie viel Energie frei wird, wenn die Stromstärke in der Spule auf die Hälfte abfällt.

  Tipps

  Berechne zunächst die Induktivität der langgestreckten Spule.

  Die Induktivität einer langgestreckten Spule lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

  \begin{align} L = \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l} \end{align}

  Setze das Ergebnis in die Formel für die magnetische Energie der Spule ein.

  Die Formel für die magnetische Energie einer Spule lautet:

  \begin{align} W_m= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \end{align}

  Beachte, dass du die Energie berechnen sollst, die frei wird, wenn die Stromstärke halbiert wird. Es gilt also:

  \begin{align} E_{el} = W_{m1} - W_{m2} \end{align}

  Dabei beschreibt $W_{m1}$ die magnetische Energie bei $I=3\,A$ und $W_{m2}$ bei halbierter Stromstärke.

  Lösung

  Zunächst berechnen wir die Induktivität der langgestreckten Spule mit der Formel:

  \begin{align} L = \mu \cdot A \cdot \frac{N^2}{l} \end{align}

  Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung folgt:

  \begin{align} L &= 12,57\cdot 10^{-7}\,\frac{H}{m} \cdot 0,4\,m^2 \cdot \frac{10000^2}{0,8\,m} \\ &= 62,85\,H \end{align}

  Da wir nun die Induktivität der Spule kennen, können wir die magnetische Energie ausrechnen, die bei einer Stromstärke von $3\,A$ vorhanden ist.

  \begin{align} W_{m1} &= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \\ & = \frac{1}{2} \cdot 62,85\,H \cdot (3\,A)^2 \\ &\approx 282,83\,J \end{align}

  Wenn sich die Stromstärke halbiert, fließen nur noch $1,5\,A$ durch die Spule. Eingesetzt erhalten wir:

  \begin{align} W_{m2} &= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2 \\ & = \frac{1}{2} \cdot 62,85\,H \cdot (1,5\,A)^2 \\ &\approx 70,71\,J \end{align}

  Um nun zu berechnen, welche Energie beim Halbieren der Stromstärke frei geworden ist, muss die Differenz zwischen $W_{m1}$ und $W_{m2}$ berechnet werden:

  \begin{align} E_{el} &= W_{m1} - W_{m2}\\ &= 282,83\,J - 70,71\,J\\ &= 212,12\,J \end{align}