Elektrisches Potential – Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld

Elektrisches Potential – Spannung zwischen zwei Punkten im elektrischen Feld Übung

• Gib Gleichungen für Feldstärke und Potential an.

  Tipps

  Was ist die Feldstärke einer Punktladung?

  Wie berechnet man das elektrische Potential aus der Feldstärke?

  Lösung

  Das elektrische Potential ergibt sich aus der Feldstärke durch die Integration über den Weg:

  $\Phi(r_0)=\int_{r_0}^\infty \, E(r)\,dr$.

  Das elektrische Feld eine Punktladung ist:

  $E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q}{r^2}$.

  Durch Integration erhält man

  $\Phi(r_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon}Q\int_{r_0}^\infty\,\frac{1}{r^2}\,dr=\frac{1}{4\pi\epsilon}Q\frac{1}{r_0}$

• Beschreibe das elektrische Potential.

  Tipps

  Erinnere dich daran, wie Arbeit, Ladung und elektrisches Feld zusammenhängen.

  Was ist die Einheit der elektrischen Feldstärke?

  Lösung

  Die Arbeit, die nötig ist, eine Ladung $Q$ in einem ortsabhängigen elektrischen Feld $E(r)$ auf einem Weg $s$ zu verschieben, ergibt sich als Integral über diesen Weg von $Q\cdot E(r)$.

  Das elektrische Potential an einem Ort $\vec r$ gibt nun unabhängig von der Ladung ein Maß dafür, wie viel Arbeit das Feld verrichten kann, wenn ich eine Ladung vom Ort $r$ zu einem Fixpunkt verschiebe.

  Deshalb erhält man das Potential, indem man die Arbeit durch die Ladung teilt. Dann ist sie das Integral über $E(r)$ vom Punkt $\vec r$ zum Fixpunkt. Der Fixpunkt liegt meistens im Unendlichen. Das Ergebnis ist unabhängig vom genauen Weg. Entscheidend sind nur Anfangs und Endpunkt.

  Die Einheit des Potentials ist dann also die Einheit des elektrischen Feldes: Volt pro Meter mal Meter also Volt oder Joule pro Coulomb. Das ist die Einheit der Spannung. Man kann das elektrische Potential also auch als Spannung zwischen zwei Punkten bezeichnen.

  Die Spannung zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ ergibt sich auch durch eine Integration über den Weg zwischen $A$ und $B$. Da das Potential wegunabhängig ist, können wir auch einfach einen Weg von $A$ zum Fixpunkt und vom Fixpunkt nach $B$ wählen. Dann können wir die Integration aber auch in zwei Abschnitte zerteilen: 1. Integration von $A$ zum Fixpunkt und 2. Integration vom Fixpunkt nach $B$. Die erste Integration ist das Potential am Ort $A$. Die Integration vom Fixpunkt nach $B$ ist minus die Integration von $B$ zum Fixpunkt, da man den Weg einfach in umgekehrter Reihenfolge durchläuft. Letzteres ist das Potential am Ort $B$. Wir schreiben $FP$ für Fixpunkt und erhalten:

  $U_{AB}=\int_A^B\,E(r)\,dr=\int_A^{FP}\,E(r)\,dr+\int_{FP}^B\,E(r)\,dr=\Phi(A)-\int_B^{FP}\,E(r)\,dr=\Phi(A)-\Phi(B)$

• Berechne das Potential in einem gegebenen Abstand von einer Punktladung.

  Tipps

  Was ist die Formel für das Potential einer Punktladung?

  Die Konstante $\epsilon$ ist die elektrische Feldkonstante.

  Die elektrische Feldkonstante ist etwa $8,854\cdot 10^{-12}\,\frac{C}{Vm}$.

  Lösung

  Gegeben sind die Ladung $Q=1\,C$ und der Abstand $r=2\,m$.

  Die Formel für das Potential einer Punktladung ist:

  $\Phi(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q}{r}$.

  Die elektrische Feldkonstante ist $\epsilon= 8,854\cdot 10^{-12}\,\frac{C}{Vm}$. Wir setzen ein und erhalten:

  $\Phi(r)=4,5\cdot 10^9\,\frac{1}{\frac{C}{Vm}}\frac{C}{m}=4,5\cdot 10^9\,V$.

• Finde das Potential zur Feldstärke.

  Tipps

  Das Potential ist minus das Integral der Feldstärke über den Weg $x$.

  Das Integral einer Kurve ergibt sich als die Fläche zwischen der Kurve und der $x$-Achse.

  Überlege dir, wie das Vorzeichen des elektrischen Feldes und das des elektrischen Potentials zusammenhängen.

  Anstatt die Feldstärke zu integrieren, kannst du auch das Potential ableiten. Denn die Ableitung eines Integrals einer Funktion ist wieder die Funktion selbst.

  Also $E(x)=\frac{d}{dx}\,\Phi(x)$.

  Lösung

  Das elektrische Potential $\Phi(x)$ ist das Integral der elektrischen Feldstärke $E(x)$ über $x$ vom Punkt $x_0$ nach unendlich.

  $\Phi(x)= \int_{x_0}^\infty\, E(x) \,dx $.

  Bei unendlich setzen wir das Potential null. Dann ist das Potential einfach minus die Stammfunktion der Feldstärke. Also:

  $\Phi(x)= -\int\, E(x) \,dx $.

  Im ersten Bild siehst du eine konstante positive Feldstärke. Das Integral über eine positive Konstante ist eine Gerade mit einem positiven Anstieg. Das Potential ist also eine Gerade, die konstant abfällt.

  Im zweiten Bild siehst du eine linear ansteigende Feldstärke. Das Integral über eine konstante Funktion ist eine quadratische Funktion. Das Potential ist also eine umgekehrte Parabel.

  Im dritten Bild siehst du eine konstante negative Feldstärke. Das Integral ist also eine Gerade, die kontant abfällt, und das Potential ist eine Gerade, die konstant ansteigt.

  Im vierten Bild siehst du eine Feldstärke, die mit eins durch den Weg $x$ abfällt. Das Integral über $\frac{1}{x}$ ist $-\frac{1}{x^2}$. Das Potential verhält sich also wie $\frac{1}{x^2}$.

  Anstatt die Feldstärke zu integrieren, kannst du auch immer das Potential ableiten. Denn die Ableitung eines Integrals einer Funktion ist wieder die Funktion selbst. Also:

  $E(x)=\frac{d}{dx}\,\Phi(x)$.

• Unterscheide elektrische Feldstärke und elektrisches Potential.

  Tipps

  Erinnere dich an die Einheit der Spannung.

  Volt mal Coulomb ist Joule.

  Sagt dir der Begriff Feldlinien etwas? Wie verhalten sich diese?

  Lösung

  Das Formelzeichen für das elektrische Potential ist $\Phi$ und für die elektrische Feldstärke $E$. Die Einheit der Feldstärke ist $\frac{V}{m}$. Das Potential ist das Integral der Feldstärke über einen Weg. Daraus ergibt sich die Einheit des Potentials als $V$. Volt ist auch Joule pro Coulomb.

  Das elektrische Feld wird durch Feldlinien dargestellt. Von einer Punktladung gehen diesen senkrecht aus. Das Potential wird durch Flächen dargestellt, auf denen jeder Punkt das gleiche Potential besitzt. Bei einer Punktladung sind diese Flächen Kugeln mit der Punktladung als Mittelpunkt.

• Berechne die Spannung zwischen zwei Punkten im homogenen elektrischen Feld.

  Tipps

  Erinnere dich daran, wie man das Potential aus der Feldstärke berechnet.

  Du erhältst das Potential durch Integration entlang der $x$-Achse.

  Da das Feld außerhalb des Plattenkondensators verschwindet, brauchst du nur bis zur rechten Platte integrieren.

  Lösung

  Gegeben sind die Feldstärke $E=1\,\frac{V}{m}$ und die $x$-Koordinaten der Punkte $A$ und $B$: $x_A=-1\,cm$ und $x_B=1\,cm$.

  Um das elektrische Potential für die beiden Punkte zu erhalten, berechnen wir zuerst das elektrische Potential auf der $x$-Achse. Dafür integrieren wir über das elektrische Feld entlang der $x$-Achse. Also:

  $\Phi(x_0)=\int_{x_0}^\infty\, E\,dx$.

  Da der Plattenkondensator bei $x=2\,cm$ endet und das Feld außerhalb des Plattenkondensators null ist, reicht es, bis zur Platte zu integrieren. Wir erhalten also:

  $\Phi(x_0)=\int_{x_0}^{2\,cm}\, E\,dx$.

  Da die Feldstärke $E$ im Plattenkondensator konstant ist, ist das Integral einfach zu lösen:

  $\int_{x_0}^{2\,cm}\, E\,dx=E\cdot 2\,cm - E\cdot x_0$.

  Wir erhalten also für das Potential:

  $\Phi(x_0)=E\cdot (2\,cm-x_0)$.

  Für die Spannung zwischen den zwei Punkten $A$ und $B$ ergibt sich:

  $U_{AB}=\Phi(x_A)-\Phi(x_B)=E\cdot (2\,cm-x_A)-E\cdot (2\,cm-x_B)=E(x_B-x_A)$

  und weiter

  $U_{AB}=E(x_B-x_A)=2\,cm\cdot E=0,02\,m\cdot 100 \frac{V}{m}=2\,V$.