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Was ist eine hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung gehört zum mathematischen Teilbereich der Stochastik. Um zu verstehen, was man unter einer hypergeometrischen Verteilung versteht, schauen wir uns am besten das Beispiel einer Urne an.

678_A1_Urne.jpg

In einer Urne befinden sich $20$ Kugeln. Davon sind $8$ rot und die übrigen $12$ Kugeln blau. Es werden nacheinander drei Kugeln aus der Urne gezogen. Die jeweils gezogene Kugel wird nicht wieder zurückgelegt.

Die Zufallsgröße $X$ steht für die Anzahl der gezogenen roten Kugeln, also $X=0,1,2,3$. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.

Wie wahrscheinlich ist es nun, genau zwei rote Kugeln zu ziehen? Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(X=2)$.

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Gehen wir einen Schritt zurück zu den Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Diese lassen sich bekanntlich so berechnen:

$P(E)=\frac{\text{Anzahl aller Ergebnisse in } E}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Dabei ist $E$ ein Ereignis. $E$ ist also eine Menge, die aus Ergebnissen eines Zufallsversuchs besteht.

Wie kannst du die entsprechenden Anzahlen (in Zähler und Nenner) berechnen?

Der Binomialkoeffizient

Das Zählen von Möglichkeiten wird in der Kombinatorik behandelt.

Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl aller Möglichkeiten an, aus einer $n$-elementigen Menge eine $k$-elementige Teilmenge zu entnehmen:

$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$

Damit kann die Anzahl aller Möglichkeiten, drei Kugeln aus einer Urne mit $20$ Kugeln zu entnehmen, folgendermaßen dargestellt werden:

$\begin{pmatrix} 20 \\ 3 \end{pmatrix}=1140$

Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich unter den drei Kugeln, die wir ziehen wollen, zwei rote Kugeln befinden?

Wir verwenden den Binomialkoeffizient: $\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}=28$ ist die Anzahl aller kombinatorischen Möglichkeiten, aus acht vorhandenen roten Kugeln zwei zu wählen.

Entsprechend berechnen wir die Anzahl der Möglichkeiten, aus den $12$ vorhandenen blauen Kugeln eine Kugel auszuwählen: $\begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix}=12$

Diese beiden Anzahlen von Kombinationsmöglichkeiten werden multipliziert:

$\begin{pmatrix} 8 \\\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 12 \\\ 1 \end{pmatrix}=28$

Dies ist die Anzahl aller Möglichkeiten, zwei rote und eine blaue Kugel zu ziehen.

Nun kannst du die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnen:

$P(X=2)=\frac{\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 20 \\ 3 \end{pmatrix}}=\frac{336}{1140}\approx0,2947$

Eine allgemeine Formel

Ganz allgemein kannst du Wahrscheinlichkeiten von hypergeometrisch verteilten Zufallsgrößen wie folgt berechnen:

  • Gegeben sei eine Menge mit $n$ Elementen. Diese besteht aus $m\le n$ Elementen der Eigenschaft $A$ und $n-m$ Elementen der Eigenschaft $B$.
  • Nun entnimmst du $k$ Elemente aus dieser Menge mit $n$ Elementen. Natürlich muss $k\le n$ sein.
  • Du möchtest wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass $l\le k$ dieser Elemente die Eigenschaft $A$ haben. Es muss auch $l\le m$ gelten.

Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:

$P(X=l)=\frac{\begin{pmatrix} m \\ l \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} n-m \\ k-l \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}}$

Da dies noch ziemlich kompliziert aussieht, schauen wir uns im Folgenden noch einige Beispiele an.

Das Lottomodell

3086_lottoziehung.jpg

Aus einer Urne mit $49$ Kugeln, welche mit den Zahlen von $1$ bis $49$ beschriftet sind, werden sechs Kugeln gezogen. Jemand, der einen Lottoschein ausgefüllt hat, gewinnt, wenn mindestens drei Zahlen richtig angekreuzt sind. Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Gewinn „3 Richtige“ mit $P(X=3)$?

$\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix}=13983816$

ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus diesen $49$ Kugeln sechs zu ziehen. Man liest den Binomialkoeffizient auch als „$6$ aus $49$“: So heißt auch die samstägliche Lottoziehung.

Wir legen jetzt einmal fest, dass die sechs richtigen (gezogenen) Zahlen der Eigenschaft $A$: „Gewinn“ und die übrigen $49-6=43$ Zahlen der Eigenschaft $B$: „kein Gewinn“ entsprechen.

Wir verwenden nun die obige Formel:

$P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 43 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix}}\approx0,0177=1,77\%$

Du siehst, dass die Wahrscheinlichkeit für nur drei „Richtige“ weniger als $2\%$ beträgt. Ebenso können die Wahrscheinlichkeiten für die übrigen Gewinnklassen berechnet werden:

$P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 43 \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix}}\approx0,001=0,1\%$

$P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 43 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix}}\approx0,00002=0,02\%$

$P(X=6)=\frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 43 \\ 0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix}}\approx0,000000072=0,0000072\%$

Stichproben

Die hypergeometrische Verteilung kann auch verwendet werden, um Stichproben zu untersuchen. Schauen wir uns hierfür ein Beispiel an:

In einer Kiste befinden sich $50$ Tulpenzwiebeln. Von diesen fangen $15$ nicht an zu blühen und die übrigen $35$ Zwiebeln werden zu wunderschönen Tulpen. Herr Glasbachtal kauft $20$ Zwiebeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von diesen genau zehn nicht angehen?

Es ist nach $P(X=10)$ gefragt. Du verwendest die obige Formel mit $n=50$ und $k=20$ sowie $m=15$ und $l=10$.

$P(X=10)=\frac{\begin{pmatrix} 15 \\ 10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 35 \\ 10 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 50 \\ 20 \end{pmatrix}}\approx0,0117=1,17\%$

Mit ein wenig mehr als $1\%$-iger Wahrscheinlichkeiten werden zehn der $20$ Tulpenzwiebeln, die Herr Glasbachtal gekauft hat, nicht anfangen zu blühen.

Das Fächermodell

Die obigen Überlegungen können auch auf mehr als zwei Eigenschaften $A$ und $B$ erweitert werden. Schauen wir uns auch hierfür ein Beispiel an.

Im Kühlschrank befinden sich $20$ Windbeutel. Davon sind zehn mit Erdbeermarmelade ($E$) gefüllt, sechs mit Nougatcreme ($N$) und die verbleibenden vier mit Pflaumenmus ($P$). Paul liebt Windbeutel und deshalb nimmt er sich gleich fünf heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul nun drei Windbeutel mit Erdbeermarmelade und jeweils einen mit den beiden anderen Füllungen herausgenommen hat?

Auch hier verwendest du den Binomialkoeffizienten:

  • Anzahl aller Möglichkeiten, $5$ Windbeutel aus $20$ auszuwählen: $\begin{pmatrix} 20 \\ 5 \end{pmatrix}=15504$

Nun schauen wird uns die Anzahlen der einzelnen Windbeutel an:

  • $E$: $\begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}=120$
  • $N$: $\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix}=6$
  • $P$: $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}=4$

Insgesamt ergibt sich also diese Wahrscheinlichkeit:

$\frac{\begin{pmatrix} 10 \\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 20 \\\ 5 \end{pmatrix}}=\frac{120\cdot 6\cdot 4}{15504}=\frac{60}{323}\approx0,1858=18,58\%$

Videos und Übungen in Hypergeometrische Verteilung

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Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Hypergeometrische Verteilung

3de54fbbae18255cc5bd5feec8e163ab 1 Hypergeometrische Verteilung – Definition Anzeigen Herunterladen
A07eefae2de00f676e1b38a9e020c7e4 1 Hypergeometrische Verteilung – Erklärung Anzeigen Herunterladen