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Was ist eine Gleichverteilung?

Der französische Mathematiker Pierre Simon de Laplace (1749 bis 1827) untersuchte Zufallsexperimente, bei welchen angenommen werden kann, dass jedes Ergebnis dieses Experimentes mit der gleichen Wahrscheinlichkeit angenommen wird.

Beispiele für solche Zufallsexperimente sind:

  • das Werfen einer Münze
  • das Würfeln mit einem Spielwürfel

Man nennt ein solches Zufallsexperiment auch Laplace-Experiment.

Laplace-Experimente sind also solche Experiment, bei welchen die Zufallsgröße $X$ gleichverteilt ist.

Die Gleichverteilung gehört zum mathematischen Teilbereich der Stochastik. Der Name lässt es bereits vermuten. Bei einer Gleichverteilung sind die Wahrscheinlichkeiten für jede Ausprägung der Zufallsvariablen immer gleich.

Was ist eine Zufallsvariable? Die Zufallsvariable ordnet jedem möglichen Ergebnis des Zufallsversuchs eine Zahl zu. Diese kann das Ergebnis selbst sein oder auch eine andere Zahl. Es wird unterschieden zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen.

Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable: Münzwurf

Eine Münze wird geworfen.

3089_Münze.jpg

Die Zufallsvariabel $X$ ordne zum Beispiel dem Ergebnis „Kopf“ die Zahl $2$ und dem Ergebnis „Zahl“ die Zahl $-4$ zu. Diese Zahlen könnten mögliche Auszahlungen bei einem Spiel sein. Bei einer idealen Münze tritt mit jeweils der gleichen Wahrscheinlichkeit „Kopf“ wie „Zahl“ ein. Es ist also

$P(X=2)=P(X=-4)=\frac12$.

Wie kommst du zu diesen Wahrscheinlichkeiten?

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Laplace-Wahrscheinlichkeiten lassen sich so berechnen:

$P(E)=\frac{\text{Anzahl aller Ergebnisse in } E}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Dabei ist $E$ ein Ereignis. In dem Beispiel mit dem Münzwurf ist die Menge aller möglichen Ausprägungen für $X$, die Grundmenge, $\Omega=\{-4;2\}$. Jedes der betrachteten Ereignisse enthält nur ein Ergebnis. Ein solches Ereignis wird auch Elementarereignis genannt. Damit ist $P(E)=\frac12$.

Allgemein gilt bei einer diskreten Gleichverteilung mit $\Omega=\{x_1;...;x_n\}$ $P(X=x_i)=\frac1n$ für $i=1;...;n$.

Beispiel für eine stetige Zufallsvariable: Ankunftszeit eines Busses

Luke fährt jeden Morgen mit dem Bus. Dieser sollte pünktlich um $7:15$ Uhr ankommen. Tatsächlich kommt der Bus nicht immer pünktlich. Er kann bis zu $5$ Minuten Verspätung haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Bus vor $7:15$ Uhr ankommt, ist $0$ ebenso wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Bus nach $7:20$ Uhr ankommt.

Im Folgenden sei $X$ die Zufallsgröße, die der Ankunftszeit die Verspätung in Minuten zuordnet. Zum Beispiel ist für die Ankunftszeit $7:17$ Uhr die Zufallsgröße $X=2$. Es gilt $P(X=x)=\frac1{5-0}=0,2$ für $x\in[0;5]$.

Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion einer Gleichverteilung

Hierfür schauen wir uns noch einmal das Beispiel mit der Ankunftszeit des Busses an. Die stückweise stetige Funktion $f$ mit $P(X=x)=f(x)$ wird als Dichtefunktion bezeichnet:

$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{ falls }x<0 \\ 0,2 & \text{ falls }0\le x\le 5\\ 0 & \text{ falls }x>5 \end{cases}$

Den zugehörigen Funktionsgraphen siehst du hier:

3089_stetige.Gleichvert.Dichtfunktion.jpg

Wenn du nun wissen möchtest, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass der Bus höchstens mit $x$ Minuten Verspätung ankommt, betrachtest du die zugehörige Verteilungsfunktion $F$ mit $P(X\le x)=F(x)$. Diese erhältst du im Falle einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung durch Integration der Dichtefunktion.

Es ist also

$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x~f(z)~dz = \begin{cases} 0 & \text{ falls }x<0 \\ 0,2x & \text{ falls }0\le x\le 5\\ 1 & \text{ falls }x>5 \end{cases}$

Den entsprechenden Funktionsgraphen kannst du hier sehen:

3089_stetige.Gleichvert.Verteilungsfunktion.jpg

Der Erwartungswert und die Varianz einer Gleichverteilung

Im Folgenden siehst du, wie du den Erwartungswert und die Varianz einer Gleichverteilung von stetigen Zufallsgrößen bestimmten kannst. Dabei wird unterschieden zwischen einer diskreten und einer stetigen Gleichverteilung.

Erwartungswert und Varianz: Diskrete Gleichverteilung

Sei $\Omega=\{x_1;...;x_n\}$ mit $P(X=x_i)=\frac1n$ für $i=1;...;n$. Dann ist der Erwartungswert wie folgt gegeben:

$\mu=E(X)=\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n x_i$

Die Varianz kannst du so berechnen:

$\sigma^2=V(X)= \frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2= \frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-\left(\frac1n\cdot\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2$

Bei dem obigen Beispiel „Münzwurf“ bedeutet dies

  • $\mu=0,5\cdot(-4+2)=0,5\cdot (-2)=-1$ und
  • $\sigma^2=0,5\cdot \left((-4+1)^2+(2+1)^2\right)=0,5\cdot18=9$

Oft wird statt der Varianz die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{V(X)}$ betrachtet. Diese erhältst du, indem du die Wurzel aus der Varianz ziehst. Bei dem Beispiel „Münzwurf“ bedeutet dies $\sigma=3$.

Erwartungswert und Varianz: Stetige Gleichverteilung

Du kannst den Erwartungswert, die Varianz sowie die Standardabweichung auch bei stetigen gleichverteilten Zufallsgrößen berechnen.

Gleichverteilung

Hierfür schauen wir uns dies allgemein an:

  • Sei $I=[a;b]$ das Intervall, auf welchem die Dichtefunktion definiert ist.
  • Dann ist die Dichtefunktion $f$ wie folgt gegeben:

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{ falls } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases}$

  • Nun kannst du die Verteilungsfunktion $F$ aufschreiben:

$P(X \le x)=F(x) = \begin{cases} 0 & \text{ falls } a \leq x \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{ falls } a\lt x \lt b \\ 1 & \text{ sonst } x \geq b \end{cases}$

Der Erwartungswert dieser stetigen Gleichverteilung ist gegeben durch

$\mu=E(X)=\frac{a+b}2$.

Damit kannst du die Varianz sowie die Standardabweichung berechnen:

$\sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12}; ~\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}}$

Abschließend schauen wir uns dies noch an dem Beispiel mit der Ankunftszeit des Busses an:

  • $\mu=\frac{0+5}2=2,5$
  • $\sigma^2=\frac{5-0)^2}12=2,08\overline{3}$
  • $\sigma\approx 1,44$

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