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Hypothesentests

Wie kannst du untersuchen, ob eine angenommene Wahrscheinlichkeit korrekt ist?

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Grundlagen

Der Begriff Hypothesentest ist ein Oberbegriff für verschiedene Möglichkeiten eine unbewiesene Annahme (Hypothese) statistisch zu überprüfen. Dabei ist das Ziel mithilfe von beobachteten Daten (Stichproben) eine Entscheidung zu treffen, die mit möglichst hoher Sicherheit „richtig“ ist.

Die Hypothesen

In der Ausgangssituation gibt es immer eine Annahme, die wir „beweisen“ wollen. Damit wir diese Annahme nicht zu leicht als richtig erachten, gehen wir zuerst davon aus, dass die Annahme nicht gilt. Das ist die sogenannte Nullhypothese. Diese wird mit $N_0$ bezeichnet. Die andere Hypothese (die, die wir „beweisen“ wollen) ist die Alternativhypothese und wird mit $H_1$ bezeichnet.

Je nach Art dieser Hypothesen werden verschiedene Testarten unterschieden.

Die möglichen Fehler

In der oben geschilderten Ausgangssituation gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder $H_0$ oder $H_1$ stimmt. Wenn du dich nun darauf festlegst, welche stimmt, entstehen vier mögliche Situationen:

  1. Du entscheidest dich für $H_1$ und liegst damit richtig.
  2. Du entscheidest dich für $H_0$ und liegst damit richtig.
  3. Du entscheidest dich für $H_1$ und liegst damit falsch.
  4. Du entscheidest dich für $H_0$ und liegst damit falsch.

Die beiden letzten Situationen führen also jeweils zu einem Fehler. Beim dritten Punkt entscheidest du dich also gegen die Nullhypothese, obwohl diese korrekt ist. Dies ist ein Fehler erster Art. Beim vierten Punkt entscheidest du dich für die Nullhypothese, obwohl diese nicht korrekt ist. Man spricht von einem Fehler zweiter Art.

Alternativtest

Unter einem Alternativtest versteht man einen Test, bei dem beide Hypothesen einen konkreten Wert vermuten. Beispiel: Jemand behauptet, dass ein Würfel so manipuliert ist, dass $P(6) = 0$ ist. Du vermutest, dass er nicht manipuliert ist, also $P(6) = \frac{1}{6}$ gilt. Beide Hypothesen haben dann die Form $p=p_i$ mit festen Werten. Der Alternativtest hilft dir dann bei der Entscheidung.

Signifikanztest

Bei Signifikanztests unterscheidet man noch einmal zwischen einseitigen und zweiseitigen Signifikanztests. Der Unterschied zu Alternativtests ist in jedem Fall der, dass mindestens(!) die Alternativhypothese keinen konkreten Wert vermutet.

Einseitige Signifikanztests

Schau dir folgendes Beispiel an: Du möchtest wissen, ob jemand deinen Spielwürfel so manipuliert hat, dass es unwahrscheinlicher ist eine $6$ zu würfeln. Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln der Augenzahl $6$ mit einem Spielwürfel beträgt normalerweise $p_{0}=\frac 16$. Dann können die Hypothesen $H_{0}:\,p\ge p_{0}$ und $H_{1}:\,p\lt p_{0}$ bzw. $H_{0}:\,p = p_{0}$ und $H_{1}:\,p\lt p_{0}$ lauten.

Da die Alternativhypothese hier nur „eine Richtung“ (kleiner als) überprüft, handelt es sich um einen einseitigen Signifikanztest.

Zweiseitige Signifikanztests

Bei einem zweiseitigen Signifikanztest lautet die Alternativhypothese $H_1: p \neq p_0$ mit einem festen Wert $p_0$. Die Alternativhypothese lautet also, dass der Wahrscheinlichkeitswert ungleich $p_0$ ist. Da man dies auch mit Hilfe der beiden Ungleichungen $p \gt p_0$ und $p \lt p_0$ ausdrücken kann, spricht man von einem zweiseitigen Signifikanztest. Der Unterschied zum einseitigen Signifikanztest ist also, dass die Wahrscheinlichkeit größer oder kleiner sein kann, wenn $H_{0}$ abgelehnt wird.