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Zweiseitige Hypothesentests 07:37 min

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Transkript Zweiseitige Hypothesentests

Heute rechnen wir eine Beispielaufgabe zum zweiseitigen Signifikanztest. Mit dem einseitigen Signifikanztest kannst du ja schon umgehen. Ich werde dir in diesem Video zuerst allgemein zeigen, wie du beim zweiseitigen Signifikanztest vorgehen musst, wenn dir ein Signifikanzniveau vorgegeben wird. Dann rechnen wir zusammen eine Beispielaufgabe durch. Fangen wir also an. Beim zweiseitigen Signifikanztest gilt für die „Nullhypothese“ H0: p = p0. Für die “Alternativ-Hypothese“ H1 gilt: p ≠ p0. Das bedeutet, dass p entweder kleiner oder größer als p0 ist. Deswegen heißt dieser Signifikanztest auch zweiseitiger Signifikanztest. Oft ist das „Signifikanzniveau“ vorgegeben. Dann sind er „Annahmebereich“ und „Verwerfungsbereich“ der Nullhypothese gesucht. Da die Alternativ-Hypothese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit p kleiner oder größer p0 ist, gibt es für den „Fehler 1. Art“, also für den Fall, dass die Nullhypothese fälschlicher Weise abgelehnt wird zwei Möglichkeiten: Ist der Wert der Prüfgröße X kleiner oder gleich einem gewissen Wert k1, dann wirst du dich gegen die Nullhypothese entscheiden, da du dann annimmst, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als p0 ist. Du entscheidest dich aber auch gegen H0, wenn der Wert der Prüfgröße einen anderen Wert k2 annimmt oder übersteigt. Du gehst dann davon aus, dass p größer als p0 ist. Diese Wahrscheinlichkeiten sollen in der Summer das gegebene Signifikanzniveau nicht übersteigen. Du bestimmst k1 und k2 typischer Weise so, dass die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten dann nicht größer als α/2 sind. Der Annahmebereich von H0 liegt also zwischen k1 und k2 und der Verwerfungsbereich zwischen 0 und k1 einschließlich und k2 n einschließlich. Den zweiseitigen Signifikanztest mit vorgegebenen Signifikanzniveau wollen wir jetzt in einer Beispielaufgabe üben. Matti und Delia sind Geschwister. Sie sollen den Müll herausbringen. Da sie sich nicht einig werden, wer von beiden die Aufgabe übernimmt, schlägt Matti vor, dass sie das mit einem Würfelspiel entscheiden. Wer von beiden zuerst eine sechs würfelt gewinnt das Spiel. Der anderen muss dann den Müll herunterbringen. Matti sucht einen Würfel aus seiner Trickkiste aus. Delia ist unsicher, ob der Würfel fair oder gezinkt ist. Sie will den Würfel deshalb Sechzig mal würfeln und zählen, wie oft die Sechs vorkommt. Matti ist einverstanden und sie legen fest einen zweiseitigen Signifikanztest durchzuführen. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5% fest. Wie groß ist der Annahmebereich und der Ablehnungsbereich der Nullhypothese, dass der Würfel fair ist? Zunächst formulieren wir den Signifikanztest. Die Nullhypothese H0 lautet: p =1/6 . Dies ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel eine Sechs zu würfeln. Ist der Würfel unfair, dann ist diese Wahrscheinlichkeit größer oder kleiner als 1/6, also ungleich 1/6. Das ist die Alternativhypothese: H1 ≠1/6. Das Signifikanzniveau haben Delia und Matti auf 5% festgelegt: α = 5%. Das 60-fache würfeln entspricht einer Stichprobe von n=60. Die Prüfgröße X entspricht dann der Anzahl der gewürfelten Sechsen. Gesucht sind der Verwerfungsbereich und der Annahmebereich der Nullhypothese. Also dann. Zunächst halbieren wir α. Die Hälfte von 5% ist 2,5%, also 0,025. Wir bestimmten zunächst k1 mit: P(X≤k1) ≤ 0,025. Aus einer Tabelle zur kumulierte Binomialverteilung kannst du entnehmen, dass dieser Wert für k1 = 4 rund 0,0202 und für k1 = 5 rund 0,0512 ist. Da 0,0512 über 0,025 liegt, ist k1 = 4. Nun bestimmen wir k2 mit P(x≥k2) ≤ 0,025. Das ist äquivalent zu 1 - P(x≤k2-1) ≤ 0,025. Wir stellen die Ungleichung um und erhalten: P(x≤k2-1) ≥ 0,975. Hier nehmen wir wieder die Tabelle zur kumulierte Binomialverteilung zur Hilfe. Für k = 16 ist diese Ungleichung erfüllt: P(x≤16) ~ 0,9836 somit ist k2-1 = 16. Also ist k2 = 17. Jetzt können wir den Annahmebereich und den Verwerfungsbereich der Nullhypothese bestimmten. Der Annahmebereich ist größer als k1 und kleiner als k2. Das heißt wenn sie zwischen 5 und 16 Mal einschließlich eine Sechs würfelt nehmen sie an, dass der Würfel fair ist. Der Verwerfungsbereich setzt sich aus: 0 ≤ x ≤ k1 und k2 ≤ x ≤ n zusammen. Er besteht also aus den Zahlen 0 bis 4 und den Zahlen 17 bis 60. Ist die Anzahl der gewürfelten Sechsen in diesem Bereich nehmen Matti und Delia an, dass der Würfel unfair ist. Als Delias und Mattis Mutter sieht, dass die beiden den Müll immer noch nicht hinaus gebracht haben, geht sie zu den beiden um sie zu ermahnen. Als sie jedoch sieht, dass die beiden gerade an einer Matheaufgabe sitzen, denkt sie sich: „Wow, die beiden sind ja fleißig. Dann werde ich ihnen mal etwas Arbeit abnehmen.“ und bringt den Müll kurzer Hand selbst heraus. Da hat sich die Mathematik für die beiden gleich doppelt gelohnt. Tschüss bis bald.