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Zweiseitige Hypothesentests 07:37 min

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Transkript Zweiseitige Hypothesentests

Heute rechnen wir eine Beispielaufgabe zum zweiseitigen Signifikanztest. Mit dem einseitigen Signifikanztest kannst du ja schon umgehen. Ich werde dir in diesem Video zuerst allgemein zeigen, wie du beim zweiseitigen Signifikanztest vorgehen musst, wenn dir ein Signifikanzniveau vorgegeben wird. Dann rechnen wir zusammen eine Beispielaufgabe durch. Fangen wir also an. Beim zweiseitigen Signifikanztest gilt für die „Nullhypothese“ H0: p = p0. Für die “Alternativ-Hypothese“ H1 gilt: p ≠ p0. Das bedeutet, dass p entweder kleiner oder größer als p0 ist. Deswegen heißt dieser Signifikanztest auch zweiseitiger Signifikanztest. Oft ist das „Signifikanzniveau“ vorgegeben. Dann sind er „Annahmebereich“ und „Verwerfungsbereich“ der Nullhypothese gesucht. Da die Alternativ-Hypothese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit p kleiner oder größer p0 ist, gibt es für den „Fehler 1. Art“, also für den Fall, dass die Nullhypothese fälschlicher Weise abgelehnt wird zwei Möglichkeiten: Ist der Wert der Prüfgröße X kleiner oder gleich einem gewissen Wert k1, dann wirst du dich gegen die Nullhypothese entscheiden, da du dann annimmst, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als p0 ist. Du entscheidest dich aber auch gegen H0, wenn der Wert der Prüfgröße einen anderen Wert k2 annimmt oder übersteigt. Du gehst dann davon aus, dass p größer als p0 ist. Diese Wahrscheinlichkeiten sollen in der Summer das gegebene Signifikanzniveau nicht übersteigen. Du bestimmst k1 und k2 typischer Weise so, dass die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten dann nicht größer als α/2 sind. Der Annahmebereich von H0 liegt also zwischen k1 und k2 und der Verwerfungsbereich zwischen 0 und k1 einschließlich und k2 n einschließlich. Den zweiseitigen Signifikanztest mit vorgegebenen Signifikanzniveau wollen wir jetzt in einer Beispielaufgabe üben. Matti und Delia sind Geschwister. Sie sollen den Müll herausbringen. Da sie sich nicht einig werden, wer von beiden die Aufgabe übernimmt, schlägt Matti vor, dass sie das mit einem Würfelspiel entscheiden. Wer von beiden zuerst eine sechs würfelt gewinnt das Spiel. Der anderen muss dann den Müll herunterbringen. Matti sucht einen Würfel aus seiner Trickkiste aus. Delia ist unsicher, ob der Würfel fair oder gezinkt ist. Sie will den Würfel deshalb Sechzig mal würfeln und zählen, wie oft die Sechs vorkommt. Matti ist einverstanden und sie legen fest einen zweiseitigen Signifikanztest durchzuführen. Das Signifikanzniveau legen sie auf 5% fest. Wie groß ist der Annahmebereich und der Ablehnungsbereich der Nullhypothese, dass der Würfel fair ist? Zunächst formulieren wir den Signifikanztest. Die Nullhypothese H0 lautet: p =1/6 . Dies ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel eine Sechs zu würfeln. Ist der Würfel unfair, dann ist diese Wahrscheinlichkeit größer oder kleiner als 1/6, also ungleich 1/6. Das ist die Alternativhypothese: H1 ≠1/6. Das Signifikanzniveau haben Delia und Matti auf 5% festgelegt: α = 5%. Das 60-fache würfeln entspricht einer Stichprobe von n=60. Die Prüfgröße X entspricht dann der Anzahl der gewürfelten Sechsen. Gesucht sind der Verwerfungsbereich und der Annahmebereich der Nullhypothese. Also dann. Zunächst halbieren wir α. Die Hälfte von 5% ist 2,5%, also 0,025. Wir bestimmten zunächst k1 mit: P(X≤k1) ≤ 0,025. Aus einer Tabelle zur kumulierte Binomialverteilung kannst du entnehmen, dass dieser Wert für k1 = 4 rund 0,0202 und für k1 = 5 rund 0,0512 ist. Da 0,0512 über 0,025 liegt, ist k1 = 4. Nun bestimmen wir k2 mit P(x≥k2) ≤ 0,025. Das ist äquivalent zu 1 - P(x≤k2-1) ≤ 0,025. Wir stellen die Ungleichung um und erhalten: P(x≤k2-1) ≥ 0,975. Hier nehmen wir wieder die Tabelle zur kumulierte Binomialverteilung zur Hilfe. Für k = 16 ist diese Ungleichung erfüllt: P(x≤16) ~ 0,9836 somit ist k2-1 = 16. Also ist k2 = 17. Jetzt können wir den Annahmebereich und den Verwerfungsbereich der Nullhypothese bestimmten. Der Annahmebereich ist größer als k1 und kleiner als k2. Das heißt wenn sie zwischen 5 und 16 Mal einschließlich eine Sechs würfelt nehmen sie an, dass der Würfel fair ist. Der Verwerfungsbereich setzt sich aus: 0 ≤ x ≤ k1 und k2 ≤ x ≤ n zusammen. Er besteht also aus den Zahlen 0 bis 4 und den Zahlen 17 bis 60. Ist die Anzahl der gewürfelten Sechsen in diesem Bereich nehmen Matti und Delia an, dass der Würfel unfair ist. Als Delias und Mattis Mutter sieht, dass die beiden den Müll immer noch nicht hinaus gebracht haben, geht sie zu den beiden um sie zu ermahnen. Als sie jedoch sieht, dass die beiden gerade an einer Matheaufgabe sitzen, denkt sie sich: „Wow, die beiden sind ja fleißig. Dann werde ich ihnen mal etwas Arbeit abnehmen.“ und bringt den Müll kurzer Hand selbst heraus. Da hat sich die Mathematik für die beiden gleich doppelt gelohnt. Tschüss bis bald.

Zweiseitige Hypothesentests Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweiseitige Hypothesentests kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige den zweiseitigen Signifikanztest.

    Tipps

    Beim zweiseitigen Signifikanztest kann die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese größer oder kleiner als die der Nullhypothese sein.

    Somit gibt es nicht eine feste kritische Zahl wie beim einseitigen Test, sondern zwei Grenzen innerhalb derer der Annahmebereich von $H_0$ liegt.

    Lösung

    Man möchte mit dem zweiseitigen Signifikanztest überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit, die man als Nullhypothese für ein bestimmtes Ereignis aufgestellt hat, der Wahrheit entspricht oder ob sie kleiner oder sogar größer ist.

    Damit sucht man nicht mehr nur nach einer oberen bzw. unteren Grenze, sondern nach allen von der Nullhypothese abweichenden Wahrscheinlichkeiten.

    Dabei sind die Hypothesen mit ihren Wahrscheinlichkeiten vorgegeben:

    • $H_0:p=p_0$
    • $H_1:p\ne p_0$
    Auch das Signifikanzniveau $\alpha$ ist oft vorgegeben.

    Jetzt geht es darum, Annahme- sowie Ablehnungsbereich von $H_0$ zu finden, dazu gibt es eine untere und eine obere Grenze des Annahmebereiches.

    Diese Grenzen sind $k_1$ und $k_2$. Wenn das Ergebnis also im Ablehnungsbereich von $H_0$ liegt, gilt für die Prüfgröße:

    $X\le k_1$ bzw. $X\ge k_2$

  • Bestimme die Größen des zweiseitigen Signifikanztests.

    Tipps

    Beim zweiseitigen Signifikanztest kann die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese größer oder kleiner als die der Nullhypothese sein.

    Somit gibt es nicht eine feste kritische Zahl wie beim einseitigen Test, sondern zwei Grenzen innerhalb derer der Annahmebereich von $H_0$ liegt.

    Lösung

    In diesem Beispiel mit dem Würfel sind die wichtigen Größen bereits vorgegeben. Da man den Würfel zum Test $60$-mal werfen möchte, ist der Umfang $n=60$.

    Die Nullhypothese ist hier die gängige Wahrscheinlichkeit eine sechs zu Würfeln. Diese liegt bei einem nicht gezinkten Würfel, wie für alle anderen Zahlen, bei $p=\frac{1}{6}$.

    Damit ist die Wahrscheinlichkeit der Alternativhypothese größer oder kleiner, also gilt $H_1:p\ne \frac{1}{6}$.

    Das Signifikanzniveau soll die genannten $5~\%$ nicht überschreiten, man kürzt es mit einem $\alpha$ ab, da es die maximale Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art beschreibt.

    Nun werden mit Hilfe dieser Größen der Annahme- und Ablehnungsbereich von $H_0$ gesucht. Kann man $H_0$ bestätigen, ist es ein fairer Würfel. Wird $H_0$ verworfen, ist er gezinkt.

  • Bestimme den Annahmebereich von $H_0$.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeiten beider Grenzen dürfen $5~\%$ nicht überschreiten, daher wählt man für jede Grenze bei der Berechnung $\frac{\alpha}{2}$.

    $P(X\le k_1) \le 2,5~\%$

    $P(X\le k_2)\ge 97,5~\%$

    Wenn $X$ binomialverteilt ist mit $n=60$ und $p=\frac16$, dann gelten die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

    • $P(X \le 4) \approx 0,0202$
    • $P(X \le 5) \approx 0,0512$
    • $P(X \le 15) \approx 0,9658$
    • $P(X \le 16) \approx 0,9836$
    Lösung

    Beginnen wir mit dieser Rechnung, indem wir $\alpha$ halbieren, da die Einzelwahrscheinlichkeiten der Grenzen in Summe das Signifikanzniveau nicht überschreiten dürfen.

    $\frac{\alpha}{2}=\frac{5~\%}{2}=2,5~\%=0,025$

    Nun suchen wir zuerst $k_1$. Da sich Signifikanzniveau und die $k$ nach dem Fehler erster Art richten, also der Wahrscheinlichkeit dafür, fälschlicherweise ein Ergebnis aus dem Verwerfungsbereich von $H_0$ zu erhalten, muss $k_1$ so aussehen:

    $P(X \le k_1) \le 0,025$

    Gesucht ist also die Untergrenze, für die die Summe der unteren Teile der möglichen Prüfgrößen $X$ die $2,5~\%$ nicht überschreitet.

    In einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle kannst du nachsehen, dass dies für $k_1=4$ der Fall ist, denn $P(X \le 4)=0,0202$, also gerade noch unter dem maximal erlaubten Wert.

    Nun bestimmen wir $k_2$, hierfür gilt

    $P(X\ge k_2)\le 0,025$

    Das können wir folgendermaßen umformen:

    $\begin{align} 1-P(X\le k_2-1) &\le 0,025 \\ P(X\le k_2-1) &\ge 0,975 \\ P(X \le 16) &=0,9836 \end{align}$

    Für $k=16$ ist diese Ungleichung also erfüllt. Also muss $k_2-1=16$ sein. Damit erhalten wir $k_2=17$.

    Nun können wir den Annahmebereich bestimmen. Er muss größer als $k_1$ und kleiner als $k_2$ sein.

    Damit gilt:

    $k_1 < X < k_2$ also $4 < X < 17$ also $5 \le X \le 16$

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis aus dem Annahmebereich von $H_0$ zu erhalten.

    Tipps

    Es gilt $P(a \le X \le b)=P(X \le b)-P(X \le a-1)$.

    Arbeite mit dieser kumulierten Tabelle für $n=50$ und $p=0,8$.

    Arbeite mit einer kumulierten Tabelle für $n=100$ und $p=0,8$ und lies hier die Werte ab.

    Lösung

    Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, eine Prüfgröße $X$ innerhalb des Annahmebereichs von $H_0$ zu erhalten, brauchen wir alle möglichen Ergebnisse innerhalb des Annahmebereichs.

    Der Annahmebereich ist $35 \le X \le 44$

    Mit Hilfe einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle (Bild) erhalten wir die Gesamtwahrscheinlichkeit bei fünfzig Schüssen so:

    $\begin{align} P(35 \le X \le 44) &=P(X\le 44) - P(X\le 34) \\ &\approx 0,9520 - 0,0310 \\ &=0,9210 \\ &=92,10~\% \end{align}$

    Man erhält beim ursprünglichen Test also zu $92,10~\%$ ein Ergebnis, das im Annahmebereich von $H_0$ liegt. Doch wie ist es, wenn wir die Schusszahl verdoppeln?

    Dazu brauchen wir jetzt eine Tabelle mit $n=100$.

    $\begin{align} P(35 \le X \le 44) &=P(X\le 44) - P(X\le 34) \\ &\approx0,0000 - 0,0000 \\ &=x 0~\% \end{align}$

    Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Annahmebereich ist rapide gesunken (fast gegen Null, nie genau Null), die für ein Ergebnis im Verwerfungsbereich hingegen stark angestiegen. Das liegt daran, dass die Bereiche nicht an den größeren Umfang des Versuches angepasst wurden.

    Verändert man also die Grenzen $k_1$ und $k_2$ bei einem anderen Versuchsumfang nicht, steigt die Gefahr eines Fehlers erster Art sehr stark an. Er kann bei größeren Veränderungen der Stichprobe fast unvermeidbar werden, wenn man die Bereiche nicht anpasst.

  • Stelle die Hypothesen auf und benenne die Größen des Tests.

    Tipps

    Die Nullhypothese ist eine feste, die Alternativhypothese eine davon abweichende Wahrscheinlichkeit.

    Das Signifikanzniveau $\alpha$ ist die gesamte Irrtumswahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art.

    Der Umfang eines Versuchs $n$ ist die Anzahl der Durchläufe im Test.

    Lösung

    Für das Beispiel mit dem Jäger ist als Nullhypothese die zu überprüfende Trefferquote zu wählen. Sie ist eine feste Größe, die es zu beweisen oder verwerfen gilt.

    Die Alternativhypothese ist eine davon abweichende Wahrscheinlichkeit, sie kann größer oder kleiner als die der Nullhypothese sein.

    Es gilt:

    • $H_0:p_0=0,8$
    • $H_1:p_1\ne 0,8$
    Der Umfang ist die Anzahl der abgefeuerten Testschüsse $n=50$.

    Das Signifikanzniveau, das nicht überschritten werden darf, liegt bei $\alpha=10~\%$ und ist die Gesamtheit der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art.

  • Ermittle den Annahme- und Verwerfungsbereich von $H_0$.

    Tipps

    Du musst mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeitstabelle mit den Parametern $n=50$ und $p=0,8$ arbeiten.

    Der Annahmebereich setzt sich zusammen aus:

    $P(X\le k_1) \le 0,05$ und

    $P(X\ge k_2-1) \ge 0,95$

    Hier siehst du einen Auszug aus einer kumulierten Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,8$.

    Hier siehst du einen Auszug aus einer kumulierten Binomialverteilung für $n=50$ und $p=0,8$.

    Lösung

    Wenn das Signifikanzniveau bei $10~\%$ liegt, darf die Wahrscheinlichkeit für jeweils einen der zwei Verwerfungsbereiche nicht größer sein, als die Hälfte:

    $\frac{\alpha}{2}=0,05$

    Nun benötigen wir eine Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeit mit den Parametern $n=50$ und $p=0,8$, um die Grenzen $k_1$ und $k_2$ zu ermitteln (s. Bild).

    Fangen wir mit dem ersten $k_1$ an.

    $P(X\le k_1) \le 0,05$

    In der Tabelle sehen wir, dass für $k=34$ die Wahrscheinlichkeit $3,8~\%$ beträgt, also gerade so unter den $5~\%$ liegt. Damit ist unser $k_1=34$

    Bei $k_2$ ist das etwas schwieriger. Denn wir suchen:

    $P(X\ge k_2)$

    Das berechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Dazu ziehen wir von $k_2$ noch eins ab, da ja alles unter diesem Wert herausgerechnet werden soll.

    $\begin{align} 1-P(X\le k_2-1) &\le 0,05 \\ P(X \le k_2 - 1) &\ge 0,95 \\ P(X \le 44) &=0,952 \end{align}$

    Also wenn $k_2-1=44$ ist, dann ist $k_2=45$.

    Unser Annahmebereich von $H_0$ liegt innerhalb dieser Grenzen. Mit $k_1 < X < k_2$ erhalten wir also den Annahmebereich

    $34 < X < 45$ bzw. $35 \le X \le 44$.

    Der Verwerfungsbereich liegt nun jeweils darunter bzw. darüber.

    $0 \le X \le 34$ und $45\le X \le 50$