Zweistufige Zufallsexperimente ohne Reihenfolge – Münzwurf (2) 06:31 min

Hallo! Ich möchte eine Überlegung, die falsch ist, hier mal diskutieren. Falls Du Sorge hast, dass Dich falsche Überlegungen, die diskutiert werden, verwirren könnten, dann guck diesen Film bitte nicht. Ansonsten möchte ich mal darauf eingehen, was man sich überlegen kann zu diesem Zufallsversuch ohne Reihenfolge. Und zwar deshalb, weil ich diese Diskussion dann doch relativ häufig führe. Und zwar folgende Diskussion: Jemand behauptet, wenn dieser Zufallsversuch zweifacher Münzwurf ohne Reihenfolge nur 3 Ergebnisse hat, dann müssten diese 3 Ergebnisse doch gleich wahrscheinlich sein. Jede Wahrscheinlichkeit müsste doch 1/3 sein. Und, naja, wie kann man dem begegnen? Man kann sich zum Beispiel ein Mal überlegen, wo kommt diese Überlegung her? Also sie ist falsch, um das noch mal deutlich zu sagen. Die Wahrscheinlichkeit ist nicht jeweils 1/3. Aber wie kommt man auf so was? Wir haben ja, würfelbetrachtet Wahrscheinlichkeit, also Zufallsversuche mit Würfeln und haben gesagt, die Wahrscheinlichkeit für jede Seite oben zu liegen, ist an jeder Seite gleich, denn der Würfel ist  nicht irgendwie bevorzugt auf einer Seite. Die Materialverteilung ist auch gleichmäßig. Der Würfel ist an keiner Seite schwerer, als an der anderen und deshalb müssen einfach alle Seiten die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, oben zu liegen. Wir haben das auch gemacht, mit den Kugeln, die in einem Behälter sind oder in einem Sack, wenn wir darein greifen und eine Kugel herausziehen, dann können wir durch das Fühlen, wir gucken ja nicht, wir können durch das Fühlen nicht entscheiden, welche Farbe welche Kugel hat und deshalb haben alle die gleiche, alle Kugeln haben die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Einfach weil wir sie nicht unterscheiden können. Und es wäre nun irgendwie auch verständlich, wenn man sagt, okay, wenn ich nur 3 Ergebnisse habe, dieses Zufallsversuchs, die ich nicht unterscheiden kann, dann müssten die doch auch gleich wahrscheinlich sein. Das war doch vorher auch so. Nun, aber hier haben wir eine andere Situation. Man muss es einfach so sagen, hier stimmt die Überlegung eben nicht und das ist ja das Spannende an Mathematik. Auch dass man immer wieder zu neuen Situationen kommt und immer wieder das Alte, was man bisher gedacht hat über Bord schmeißen muss. Das ist auch ein Grund dafür, warum manchen Leuten die Mathematik nicht liegt, weil sie das eben nicht so gerne machen, alte Denkgewohnheiten über Bord werfen. Aber zurück zu dem Zufallsversuch hier, wie kann man sich das noch vorstellen, wie kann man das noch erklären? Man kann ja den zweifachen Münzwurf auch mit zwei Münzen simulieren, und zwar muss ich nicht die Eine werfen und dann noch mal werfen und dann das Ergebnis aufschreiben, sondern ich kann einfach 2 Münzen auf einmal werfen und dann gucken, was rauskommt. Es ist WW rausgekommen. Jetzt könnte man ja argumentieren, für das Ergebnis ZW, also einmal Z, einmal W, gibt es hier 2 Konstellationen, nämlich die und die. Beide Konstellationen haben die Wahrscheinlichkeit 1/4. Wenn ich also beide Situationen hier zu einem Ergebnis zusammenfassen möchte, dann hat das Ergebnis halt die wahrscheinlich 1/2 und nicht 1/3. Außerdem brauche ich ja für WW die Situation, dass diese Münze hier, mit der Wahrscheinlichkeit 1/2, W zeigt und diese Münze hier ebenfalls mit der Wahrscheinlichkeit 1/2, W zeigt. Das ist dann eben 1/2×1/2 und das ist 1/4. Aber, ich weiß auch, dass das nicht jeden überzeugt. Dann kommen wir, ja aber, wenn ich die Münzen doch jetzt tatsächlich nicht unterscheiden kann. Wie hier zum Beispiel die beide Euromünzen, die kann ich jetzt wirklich nicht unterscheiden, Du auch nicht, weil Du sie ja kaum sehen kannst. Die könnte ich zum Beispiel jetzt hier rein schmeißen, durcheinanderwirbeln und dann auf den Tisch schmeißen. Hier ist jetzt WW angezeigt und dann kann ich auch nicht unterscheiden, welche Münze was geworfen hat. Wenn dem dann so ist, dann kann man immer noch sagen, wenn die Wahrscheinlichkeit also irgendeinen Sinn haben soll, dann erwarten wir doch Folgendes: Wenn wir zum Beispiel diesen Zufallsversuch hier, 2 Münzen reintun und auf den Tisch würfeln quasi, dann, wenn wir den Zufallsversuch öfter durchführen, sagen wir mal 300 Mal, dann erwarten wir doch, dass wir ungefähr 100 Mal WW haben, 100 Mal ZZ und 100 Mal einmal W, einmal Z. Falls die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis tatsächlich 1/3 sein sollte. Und Du kannst das gerne ausprobieren. Ich prophezeie, das wird nicht auftreten. Du wirst vielmehr feststellen, dass 1/4 der Würfe WW zeigt, 1/4 der Würfe ZZ und die Hälfte aller Würfe zeigt einmal W, einmal Z. Das ist quasi die Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit und damit kann man eigentlich solche Sachen immer klären. Man kann dann auch wirklich ein Experiment machen, eben dieses Experiment mehrmals durchführen und tatsächlich sehen, dass es sich so verhält, dass die Wahrscheinlichkeiten wirklich 1/4, 1/4 und 1/2 sind. Wen das nun auch nicht überzeugt, dann kann ich auch nichts mehr machen und naja, manchmal habe ich in solchen Diskussionen auch das Gefühl, dass es gegen Ende, wenn die Gemüter erhitzt sind und so, geht es eigentlich nur noch ums Recht haben. Hier geht es nicht ums Recht haben. Ich höre jetzt auf, bis bald. Viel Spaß, tschüss.