Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten

Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten Übung

• Benenne die Regel, die für die Ableitung der Funktion benötigt wird.

  Tipps

  Die allgemeine Produktregel lautet:

  $f(x) = u(x) \cdot v(x)$
  $\rightarrow {f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$

  Die allgemeine Kettenregel lautet:

  $f(x) = u(v(x))$
  $\rightarrow {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

  Beispiel: $f(x) = 2x^2 \cdot e^x$

  $u(x) = 2x^2$
  $u'(x) = 4x$

  $v(x) = e^x$
  $v'(x) = e^x$

  $\rightarrow f'(x) = 4x \cdot e^x + 2x^2 \cdot e^x$

  Lösung

  Um eine Funktion richtig ableiten zu können, müssen wir zuerst herausfinden, welche Ableitungsregel wir verwenden können.

  Folgende Ableitungsregeln betrachten wir:

  • Faktorregel: ${f(x) = n \cdot e^x} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = n \cdot e^x}$
  • Produktregel: ${f(x) = u(x) \cdot v(x)} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$
  • Kettenregel: ${f(x) = u(v(x))} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

  
  

  Wir schauen, ob ein Produkt oder eine Verkettung vorhanden ist, um die Regel zu ermitteln.

  Erste Funktion: $f{(x) = 2x \cdot e^x}$

  Hier haben wir zwei Faktoren

  $u(x) = 2x$
  $v(x) = e^x$

  Beide Faktoren enthalten die Variable $x$. Deswegen benötigen wir die Produktregel.

  Zweite Funktion: ${f(x) = e^{4x^2}}$

  Das ist eine verkettete Funktion. Das erkennen wir daran, dass im Exponenten ein anderer Term als $x$ steht. Wir benötigen die Kettenregel.

  Dritte Funktion: $f(x) = e^{2x}$

  Auch hier steht im Exponenten ein anderer Term als $x$. Wir benötigen wieder die Kettenregel.

  Vierte Funktion: $f(x) = 3e^x$

  Hier handelt sich zwar um eine Multiplikation, aber der erste Faktor beinhaltet nicht die Variable $x$. Deswegen benötigen wir die Faktorregel.

  Fünfte Funktion: $f(x) = 3x^2 \cdot e^x$

  Diese Funktion ist eine Multiplikation von zwei Termen, die beide die Variable $x$ enthalten. Wir benötigen also die Produktregel .

  Sechste Funktion: $f(x) = 7e^x$

  Hier wird die gewöhnliche Exponentialfunktion mit dem konstanten Faktor $7$ multipliziert. Daher benötigen wir die Faktorregel.

• Beschreibe das Vorgehen bei der Ableitung zusammengesetzter $e$-Funktionen.

  Tipps

  Die allgemeine Kettenregel lautet:

  $f(x) = u(v(x))$
  $\rightarrow f^\prime(x) = {u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)}$

  Beispiel:

  $f(x) = e^{4x^3}$
  $\rightarrow f^\prime(x) = e^{4x^3} \cdot 12x^2$

  Lösung

  Die Ableitungsfunktion der unveränderten Exponentialfunktion entspricht sich selbst.
  Wenn eine zusammengesetzte $e$-Funktion zwei Faktoren hat, die beide die Variable $x$ enthalten, wird die Produktregel angewandt.

  Die Produktregel für eine Funktion
  $f(x) = u(x) \cdot v(x)$
  lautet:
  $\color{black}{f^\prime(x) = u^\prime(x) ~\cdot~}\color{#99CC00}{v(x)}\color{black}{~+~ u(x) ~\cdot~}\color{#99CC00}{v^\prime(x)}$

  Beispiel: $f(x) = 2x^2 \cdot e^x$
  $\rightarrow f^\prime(x) = 4x \cdot e^x + 2x^2 \cdot e^x = \left(4x + 2x^2 \right) \cdot e^x$
  Oft können wir die Ableitung dann noch zusammenfassen, wie hier im letzten Schritt.

  
  

  Sobald im Exponenten von $e$ ein Term steht, der über ein einfaches $x$ hinausgeht, müssen wir die Kettenregel anwenden. Für $e$-Funktionen bleibt auch hier der Funktionsterm zunächst unverändert. Wir müssen ihn allerdings noch mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren. Das nennt man auch Nachdifferenzieren.

  Die allgemeine Kettenregel lautet:
  $f(x) = u(v(x))$
  $\rightarrow f^\prime(x) = {u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)}$

  Die Kettenregel für eine Funktion
  $f(x) = e^{v(x)}$
  lautet:
  $f^\prime(x) = e^{v(x)} \cdot \color{#99CC00}{v^\prime(x)}$

  Beispiel: $f(x) = e^{4x^3}$
  $\rightarrow f^\prime(x) = e^{4x^3} \cdot 12x^2$

• Bestimme die Ableitungen der $e$-Funktionen.

  Tipps

  Benutze die Kettenregel, um die Ableitungen zu berechnen. Überlege, was die innere und was die äußere Funktion sein muss.

  Die allgemeine Kettenregel lautet:

  $f(x) = u(v(x)) \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

  Beispiel: $f(x) = \sin(2x)$

  $u(x) = \sin(x)$
  $v(x) = 2x$

  mit Ableitungen:
  $u'(x) = \cos(x)$
  $v'(x) = 2$

  $\rightarrow {f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)}$

  Lösung

  Es handelt sich hier um Funktionen, die verkettet sind. Deshalb verwenden wir die Kettenregel. Die allgemeine Kettenregel lautet:
  $f(x) = u(v(x)) \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

  Die Kettenregel für eine $e$-Funktion lautet:
  $f(x) = e^{v(x)} \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = e^{v(x)} \cdot v^\prime(x)$

  Erste Funktion: $f(x) = e^{x^2}$

  Wir ermitteln die innere und äußere Funktion:

  $u(x) = e^x$ und
  $v(x) = x^2$

  mit den Ableitungen:

  $u'(x) = e^x$ und
  $v'(x) = 2x$

  Diese setzen wir nun in die Kettenregel ein:

  $f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = {\underline{\underline{2xe^{x^2}}}}$

  Analog zur ersten Funktion bestimmen wir die weiteren Ableitungen.

  
  

  Zweite Funktion: $f(x) = 2e^{x^2}$

  Diese Funktion hat die gleiche Ableitung wie die erste Funktion mit einem konstanten Faktor multipliziert:

  $f'(x) = 2 \cdot 2xe^{x^2} = {\underline{\underline{4xe^{x^2}}}}$

  
  

  Dritte Funktion: $f(x) =e^{x^2+3x}$

  Wir ermitteln die innere und äußere Funktion:
  $u(x) = e^x$ mit ${u'(x) = e^x}$
  $v(x) = x^2 + 3x$ mit ${v'(x) = 2x + 3}$

  Eingesetzt erhalten wir:

  $f'(x) = {e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3)} = {\underline{\underline{(2x+3)e^{x^2+3x}}}}$

  
  

  Vierte Funktion: $f(x) = e^{-x}$

  Hier ist die äußere Funktion wieder die Exponentialfunktion und die innere Funktion ist ${({-}1) \cdot x}$:

  $f'(x) = e^{-x} \cdot ({-}1) = {\underline{\underline{{-}e^{-x}}}}$

• Berechne die Ableitung der gegebenen Exponentialfunktion.

  Tipps

  Wende zuerst die Produktregel und dann die Kettenregel für $e$-Funktionen an. Vereinfache und fasse zusammen.

  Die Kettenregel für die $e$-Funktion lautet:

  $f(x) = e^{v(x)}$

  $\rightarrow f^\prime(x) = {e^{v(x)} \cdot v^\prime(x)}$

  Beispiel:

  $f(x) = {({-}2x^2 + 7)\cdot e^{2x}}$

  Diese Funktion hat die Ableitung:

  $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= {({-}4x) \cdot e^{2x} + ({-}2x^2 + 7) \cdot e^{2x} \cdot 2} \\ &= {{-}4xe^{2x} + ({-}4x^2 + 14)e^{2x}} \\ &= {({-}4x - 4x^2 + 14)e^{2x}} \\ &= {({-}4x^2 - 4x + 14)e^{2x}} \end{array}$

  Lösung

  Um die Funktion abzuleiten, identifizieren wir zuerst die beiden Faktoren für die Produktregel:

  $u(x) = 5x^3 + 2$
  $v(x) = e^{3x^2 + 4}$

  Mit folgenden Ableitungen:

  $u^\prime(x) = 15x^2$
  $v^\prime(x) = {e^{3x^2 + 4} \cdot 6x} = {6xe^{3x^2 + 4}}$

  Die Ableitung von $v$ haben wir mithilfe der Kettenregel für $e$-Funktionen berechnet. Dafür haben wir die Exponentialfunktion mit der Ableitung des Exponenten multipliziert.

  Diese Teilfunktionen setzen wir nun zusammen:

  $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= { u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x) } \\ &= { \color{#99CC00}{15}\color{black}{x^2 \cdot e^{3x^2 + 4}}} ~+~ { (\color{#99CC00}{5}\color{black}{x^3 ~+~} \color{#99CC00}{2}\color{black}{)~\cdot~ e^{3x^2 + 4} ~\cdot~} \color{#99CC00}{6x} } \\ &= { (\color{#99CC00}{30}\color{black}{x^4 ~+~} \color{#99CC00}{15}\color{black}{x^2 ~+~}\color{#99CC00}{12}\color{black}{x)e^{3x^2 + 4}} } \end{array}$

• Gib an, in welchen Fällen die Ableitung mit der Produktregel gebildet wird.

  Tipps

  Die Produktregel funktioniert für eine Funktion ${f(x) = u(x) \cdot v(x)}$ folgendermaßen: ${f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$

  Beispiel: $f(x) = 2x \cdot e^x$

  $u(x) = 2x \quad$ mit $\quad u'(x) = 2$
  $v(x) = e^x \quad$ mit $\quad v'(x) = e^x$

  $\rightarrow {f'(x) = 2\cdot e^x + 2x \cdot e^x}$

  Lösung

  Die Produktregel wenden wir an, wenn wir ein Produkt von zwei Funktionen vorliegen haben. Das bedeutet, bei beiden Faktoren muss die Variable $x$ vorkommen.

  Die allgemeine Produktregel lautet folgendermaßen:
  ${f(x) = u(x) \cdot v(x)} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$

  Beispiel: $f(x) = 2x \cdot e^x$

  $u(x) = 2x \quad$ mit $\quad u'(x) = 2$
  $v(x) = e^x \quad$ mit $\quad v'(x) = e^x$

  $\rightarrow {f'(x) = 2\cdot e^x + 2x \cdot e^x}$

  Bei folgenden Funktionen kannst du direkt die Produktregel anwenden:

  • $f(x) = xe^x = \underbrace{x}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$
  • $f(x) = 2(x+1)e^x = \underbrace{2(x+1)}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$
  • $f(x) = (3x+2)e^x = \underbrace{(3x + 2)}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$

  
  

  Bei folgenden Funktionen kannst du nicht direkt die Produktregel anwenden:

  • $f(x) = e^{2x}$

  Hier müssen wir die Kettenregel anwenden.

  • $f(x) = e^{3x^2+2}$

  Auch hier müssen wir die Kettenregel anwenden.

• Ermittle, welche Funktionen die angegebene Ableitung besitzen.

  Tipps

  Leite die Funktionen einzeln ab, um ihre Ableitungen zu finden. Vereinfache den Funktionsterm dabei soweit wie möglich bevor du ableitest.

  Die allgemeine Kettenregel lautet:

  $f(x) = u(v(x))$

  $\rightarrow f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Beispiel: $f(x) = e^{3x}$

  $u(x) = e^x \quad$ und $\quad v(x) = 3x$ mit

  $u'(x) = e^x \quad$ und $\quad v'(x) = 3$

  $\rightarrow f'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

  Es gilt:

  $\ln(e^x) = x \quad$ und $\quad e^{\ln(x)} = x$

  Lösung

  Wir leiten die Funktionen einzeln ab, um zu ermitteln, welche Ableitung sie besitzen. Dafür vereinfachen wir zuerst die Funktionen und wenden dann die allgemeine Kettenregel an:

  $f(x) = u(v(x))$

  $\rightarrow f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

  Erste Funktion: $f(x) = (e^x - 2e^x)^2$

  Diese Funktion lässt sich vorher vereinfachen, indem die beiden Terme in der Klammer zusammengefasst werden:

  $f(x) = (e^x - 2e^x)^2 = (-e^x)^2 = e^{2x}$

  Nun können wir wie gewohnt die Kettenregel anwenden:

  $f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = \underline{\underline{2e^{2x}}}$

  Hinweis: Alternativ kannst du hier auch die Klammer zuerst auflösen, indem du die zweite binomische Formel verwendest.

  
  

  Zweite Funktion: $f(x) = e\cdot \left( e^{2x} + 3 \right) - e$

  Zuerst lösen wir wir Klammern auf:

  $f(x) = e^{2x + 1} + 3e - e = e^{2x + 1} + 2e$

  Jetzt können wir die Funktion mithilfe der Kettenregel ableiten. Beachte, dass die Konstante $+ 2e$ beim Ableiten wegfällt, da sie nicht von $x$ abhängt.

  $f'(x) = e^{2x + 1} \cdot 2 = \underline{\underline{2e^{2x + 1}}}$

  
  

  Dritte Funktion: $f(x) = \dfrac{\ln(e^2)}{2e^{-1}}\cdot e^{2x}$

  Es gilt:

  • $\ln(e^x) = x \quad$ und $\quad e^{\ln(x)} = x$
  • für $a \neq 0$ gilt: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

  Das verwenden wir, um die Funktion zu vereinfachen:

  $f(x) = \dfrac{2}{2}e^1 \cdot e^{2x} = e^{2x + 1}$

  Abgeleitet ergibt das:

  $f'(x) = \underline{\underline{2e^{2x + 1}}}$

  
  

  Vierte Funktion: $f(x) = \dfrac{1}{5}\left( 5e^{2x} + 5 \right)$

  Wir lösen zuerst die Klammern auf:

  $f(x) = \dfrac{1}{5} \cdot 5e^{2x} + \dfrac{1}{5} \cdot 5 = e^{2x} + 1$

  Dann leiten wir wie gewohnt ab:

  $f'(x) = \underline{\underline{2e^{2x}}}$

  
  

  Fünfte Funktion: $f(x) = e^{2x} - 9$

  Hier können wir nicht vereinfachen und leiten die Funktion direkt mithilfe der Kettenregel ab:

  $f'(x) = \underline{\underline{2e^{2x}}}$