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Zufallsexperimente modellieren – Überraschungseier

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Ø 3.5 / 10 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Zufallsexperimente modellieren – Überraschungseier
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Zufallsexperimente modellieren – Überraschungseier

Manchmal wird mit der Behauptung geworben, in jedem siebten Überraschungsei befinde sich eine besondere Überraschung. Es gibt nun mehrere Taktiken, die beim Kauf eines Überraschungseies dabei helfen sollen, eine dieser besonderen Überraschungen zu erhalten. Eine Möglichkeit ist, bis sieben abzuzählen und dann nur jedes siebte Ei zu kaufen. Eine andere Möglichkeit ist, gleich sieben Eier auf einmal zu kaufen, in der Hoffnung, es müsse sich dann ein Ei mit besonderer Überraschung unter ihnen befinden. Ob diese Taktiken funktionieren, erfährst du im Video.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hätte gleich die ganze Pallette gekauft...
    also Überraschungseier...
    Müsste ich nicht rechnen...
    Tolles Video hat mir sehr geholfen

    Von Kauffunger, vor 10 Monaten
  2. cooles video

    Von Melanie Obach, vor etwa einem Jahr

Zufallsexperimente modellieren – Überraschungseier Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zufallsexperimente modellieren – Überraschungseier kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Zufallsversuch, ein Überraschungsei mit besonderer Überraschung zu finden.

    Tipps

    Betrachte das Bild. Die Wahrscheinlichkeit, aus diesem Behälter eine grüne Kugel zu ziehen, beträgt $P($grün$)=\frac25$.

    Du zählst die Anzahl der grünen Kugeln und dividierst diese durch die Gesamtzahl.

    Du würfelst zehnmal hintereinander keine $6$. Im elften Versuch ist die Wahrscheinlichkeit, eine $6$ zu würfeln, unverändert

    $P(6)=\frac16$.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit einer besonderen Überraschung ist auf jeder Position gleich groß.

    Sie ist ebenso groß wie die, aus der abgebildeten Urne eine rote Kugel zu ziehen:

    $P($besondere Überraschung$)=\frac17$

    Diese ändert sich auch auf keiner Position. Das bedeutet, dass du noch so viel probieren kannst, du wirst immer mit der Wahrscheinlichkeit $\frac17$ ein Überraschungsei mit besonderer Überraschung ziehen.

    Übrigens: Hast du es schon einmal mit „In-der-Hand-Wiegen“ oder Schütteln probiert?

  • Gib die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse an.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Überraschungsei eine besondere Überraschung befindet, beträgt $\frac17$.

    Wenn du zu einem Ereignis $E$ das Gegenereignis $\bar E$ betrachtest, gilt $P(E)+P(\bar E)=1$.

    Äquivalent dazu gilt auch $P(E)=1-P(\bar E)$.

    Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch kannst du die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wie folgt berechnen:

    Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in den einzelnen Stufen.

    Schaue dir das folgende Beispiel an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei den ersten sechs gekauften Überraschungseiern keines mit besonderer Überraschung zu haben?

    $\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16$

    Lösung

    Wir wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse im Bezug auf Überraschungseier sind.

    Die Wahrscheinlichkeit, ein Überraschungsei mit besonderer Überraschung zu kaufen, beträgt $\frac17$. Die Wahrscheinlichkeit für ein Überraschungsei mit einer einfachen Überraschung berechnet sich also so:

    $1-\frac17=\frac67$.

    Wir schauen uns nun an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei sieben gekauften Überraschungseiern keines mit besonderer Überraschung zu haben.

    • Ein gekauftes Ei: $\frac67$
    • Zwei gekaufte Eier: $\frac67\cdot\frac67=\left(\frac67\right)^2$
    • Drei gekaufte Eier: $\frac67\cdot\frac67\cdot\frac67=\left(\frac67\right)^3$
    • ...
    • Sieben gekaufte Eier: $\left(\frac67\right)^7\approx0,34$
    Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei sieben Eiern keines mit besonderer Überraschung zu haben, ungefähr $34\%$ beträgt.

    Übrigens: Auch die Schokolade ist ausgesprochen lecker. Das tröstet schon ein wenig über die entgangene besondere Überraschung hinweg.

  • Entscheide, ob es wahrscheinlicher ist, ein Überraschungsei mit besonderer Überraschung zu kaufen, wenn du mehr Eier kaufst.

    Tipps

    Schau dir die folgenden Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass bei einem (bzw. zwei, drei, sieben) gekauften Eiern keines eine besondere Überraschung enthält:

    • Ein gekauftes Ei: $\frac67\approx 0,86$
    • Zwei gekaufte Eier: $\frac67\cdot\frac67=\left(\frac67\right)^2\approx 0,73$
    • Drei gekaufte Eier: $\frac67\cdot\frac67\cdot\frac67=\left(\frac67\right)^3\approx 0,63$
    • ...
    • Sieben gekaufte Eier: $\left(\frac67\right)^3\approx0,34$

    Damit ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, bei drei gekauften Eiern mindesten eines mit Überraschung zu haben, ungefähr $1-0,63=0,37$.

    Lösung

    Hier siehst du die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass keines der gekauften Eier eine besondere Überraschung enthält:

    • Ein gekauftes Ei: $\frac67\approx 0,86$
    • Zwei gekaufte Eier: $\frac67\cdot\frac67=\left(\frac67\right)^2\approx 0,73$
    • Drei gekaufte Eier: $\frac67\cdot\frac67\cdot\frac67=\left(\frac67\right)^3\approx 0,63$
    • ...
    • Sieben gekaufte Eier: $\left(\frac67\right)^3\approx0,34$
    Du siehst, die Wahrscheinlichkeit dafür, ausschließlich Eier ohne besondere Überraschung zu kaufen, wird immer kleiner.

    Umgekehrt ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Ei mit besonderer Überraschung zu kaufen, (ungefähr) gegeben durch

    • Ein Ei: $1-0,86=0,14$
    • Zwei Eier: $1-0,73=0,27$
    • Drei Eier: $1-0,63=0,37$
    • ..
    • Sieben Eier: $1-0,34=0,66$
    Diese Wahrscheinlichkeiten werden immer größer. Du erhöhst also die Wahrscheinlichkeit auf ein Überraschungsei mit besonderer Überraschung dadurch, dass du mehrere Eier kaufst.

    Aber: Das bedeutet nicht, dass du irgendwann mit Sicherheit ein solches Ei bekommst. Du kannst auch $20$ Eier kaufen und es ist keines mit einer besonderen Überraschung dabei.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Zähle die Anzahl der Kugeln in der entsprechenden Farbe und dividiere diese durch die Gesamtzahl.

    Du kannst dir solche zweistufige Zufallsversuche an einem Baumdiagramm vor Augen führen.

    • An die Äste schreibst du die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Diese ändern sich in der zweiten Stufe nicht.
    • Am Ende eines Pfades kannst du das jeweilige Ergebnis sehen. Zum Beispiel führt der obere Pfad über „rot“ und noch einmal „rot“ zu $($r;r$)$.

    Multipliziere entlang eines Pfades die Wahrscheinlichkeiten.

    Lösung

    Hier siehst du ein Baumdiagramm zu dem obigen Zufallsversuch.

    • Durch ein Baumdiagramm kannst du den Zufallsversuch anschaulich darstellen.
    • Am Ende der Pfade erkennst du die Ergebnisse des Zufallsversuchs.
    • Mit Hilfe der Pfadmultiplikationsregel kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse berechnen.
    Die Wahrscheinlichkeiten auf den ersten drei Ästen sind die Wahrscheinlichkeiten des einstufigen Zufallsversuchs „Ziehen einer Kugel aus einer Urne“:

    • $P($r$)=\frac15=0,2$
    • $P($b$)=\frac25=0,4$
    • $P($g$)=\frac25=0,4$
    Da Paul die Kugel zurücklegt, ändern sich diese Wahrscheinlichkeiten auch in der zweiten Stufe nicht.

    Um die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des zweistufigen Zufallsversuchs zu bestimmen, multipliziert er die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Dies ist die Pfadmultiplikationsregel. Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

    • $P($r;r$)=\frac15\cdot \frac15=\frac1{25}=0,04$
    • $P($b;b$)=\frac25\cdot \frac25=\frac4{25}=0,16$
    • $P($g;g$)=\frac25\cdot \frac25=\frac4{25}=0,16$
  • Nenne die Strategie beim Kauf von Überraschungseiern.

    Tipps

    Beachte: Selbst wenn du $100$-mal keine $6$ würfelst, wirst du auch beim $101$-ten Mal nicht sicher eine $6$ würfeln.

    Es ist übrigens auch möglich, dass du sieben Eier kaufst und sich in allen eine besondere Überraschung befindet.

    Lösung

    Da es sich bei dem besprochenen Versuch um einen Zufallsversuch handelt, kannst du nicht mit Sicherheit, egal bei welcher Strategie, vorhersagen, ob ein Überraschungsei auf jedem Fall eine besondere Überraschung beinhaltet.

    Es sei denn, du kaufst alle Eier, direkt nachdem sie aufgebaut wurden. Das funktioniert allerdings auch nur dann, wenn sichergestellt ist, dass auf jeden Fall besondere Überraschungen dabei sind.

    Also: Lass dich einfach überraschen.

  • Leite die Wahrscheinlichkeiten her.

    Tipps

    Schaue dir das Ergebnis $($r;g;r$)$ an. Das bedeutet, dass Paul zwei Eier mit besonderer Überraschung gekauft hat.

    Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:

    $\frac17\cdot \frac 67\cdot \frac17\approx0,0175$.

    Das Ergebnis $($r;g;r$)$ ist nicht das einzige, in dem genau einmal g und zweimal r vorkommt.

    Überlege dir, wie viele solcher Ergebnisse es gibt.

    Sowohl bei keinem Ei als auch bei drei Eiern mit besonderer Überraschung musst du nur einen Pfad betrachten.

    Lösung

    Beginnen wir mit der Wahrscheinlichkeit dafür, kein Ei mit besonderer Überraschung zu bekommen. Dies ist der unterste Pfad:

    $P(X=0)=\left(\frac67\right)^3\approx0,6297$

    Nun schauen wir uns die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass alle Eier eine besondere Überraschung enthalten:

    $P(X=3)=\left(\frac17\right)^3\approx0,0029$

    Nun bleiben noch die beiden Fälle, dass entweder zwei Überraschungseier oder ein Überraschungsei eine besondere Überraschung beinhalten:

    Zwei besondere Überraschungen

    Dies liegt zum Beispiel bei dem vierten Pfad von unten vor:

    $\frac67\cdot\frac17\cdot \frac17$

    Es gibt drei Pfade, in denen zwei rote Kugeln vorkommen, also gilt:

    $P(X=2)=3\cdot \frac67\cdot\frac17\cdot \frac17\approx0,0525$

    Ebenso kann die Wahrscheinlichkeit für eine besondere Überraschung berechnet werden:

    $P(X=1)=3\cdot \frac17\cdot \frac67\cdot\frac67\approx0,3149$

    Übrigens: Wenn du alle obigen Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du $1$.

    $0,0029+0,0525+0,3149+0,6297=1$ ✓

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