Zufallsexperimente – Lose ziehen

Zufallsexperimente – Lose ziehen Übung

• Ergänze die Erklärung zum Ziehen von Losen.

  Tipps

  Was bedeutet Zufall? Es darf nicht vorhersehbar sein, welchen Ausgang ein Experiment hat.

  Das Werfen mit einem Würfel ist ein Zufallsversuch, da nicht bekannt ist, welche Augenzahl oben liegen wird.

  Welche möglichen Ausgänge hat ein Münzwurf?

  Die Zusammenfassung aller möglichen Ausgänge eines Zufallsversuchs bezeichnet man als Ergebnismenge.

  Lösung

  Wenn man aus einer Menge von Losen eines zieht, so handelt es sich um ein Zufallsexperiment, da nicht bekannt ist, welche Nummer auf diesem Los steht.

  Ein Ergebnis könnte auch die Farbe des Loses sein. Es gibt mehrere Lose mit den gleichen Farben, die äußerlich nicht unterscheidbar sind.

  Hier aber werden die Zahlen, welche sich auf dem Los befinden, als Ergebnis gewählt.

• Gib an diesem Beispiel das Zufallsexperiment, ein Ergebnis und die Ergebnismenge an.

  Tipps

  Eine Entscheidung ist zufällig, wenn sie ohne Wissen getroffen wird.

  Ein Experiment mit einer zufälligen Entscheidung ist ein Zufallsexperiment.

  Ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperiments ist ein Ergebnis.

  Lösung

  Zunächst kann man sich klarmachen, wie das Zufallsexperiment aussieht.

  In diesem Beispiel ist das Ziehen eines Loses das Zufallsexperiment, da nicht vorhersehbar ist, welches Los, das heißt, welche Nummer gezogen wird.

  Damit kann man auch schon den Begriff des Ergebnisses erklären: dies ist die Zahl, welche sich auf dem Los befindet. Die Farbe des Loses ist in diesem Zusammenhang als Ergebnis nicht sinnvoll, da sie beim Ziehen ja zu sehen ist und somit vorhersehbar.

  Alle Ergebnisse werden in der Ergebnismenge

  $\Omega=\{1;2;3;...;99;100\}$,

  (sprich: Omega), zusammengefasst.

• Ordne dem Zufallsexperiment die Ergebnismenge zu.

  Tipps

  Eine Münze hat zwei Seiten. Wenn man sie hochwirft, wird sie auf einer der beiden Seiten aufkommen.

  Es ist möglich, dass sie auf der Kante landet. Dies wird jedoch so selten vorkommen, dass es vernachlässigt wird.

  Welche Augenzahlen befinden sich auf einem Würfel?

  Bei einem Zufallsexperiment darf das Ergebnis nicht vorher bekannt sein.

  Lösung

  Die grundlegenden Begriffe, welche hier verwendet werden sind die eines Zufallsexperimentes und einer Ergebnismenge.

  Manchmal ist es möglich, verschiedene Ergebnisse festzulegen.

  Im Fall der vier Lose mit vier verschiedenen Farben und den Zahlen $1$ bis $4$ könnte man sowohl die Farbe als auch die Nummer als Ergebnis erklären. Die Lose befinden sich in einer Urne, somit ist die Farbe nicht erkennbar.

  Münzwurf: Auf einer Münze befinden sich auf den beiden Seiten verschiedene Motive. Diese werden oft als „Kopf“ oder „Zahl“ bezeichnet, auch wenn es sich nicht um Kopf oder Zahl handelt.

  Die zugehörige Ergebnismenge ist $\Omega=\{\text{Kopf};\text{Zahl}\}$.

  Werfen eines Spielwürfels: Auf dem Spielwürfel befinden sich die Augenzahlen von $1$ bis $6$.

  Die zugehörige Ergebnismenge ist $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.

  Ziehen aus einer Urne mit drei Kugeln: Hier ist die Ergebnismenge $\Omega=\{\text{rot};\text{grün};\text{gelb}\}$.

  Ziehen aus einer Urne mit Losen: Hier ist die Ergebnismenge $\Omega=\{1;2;3;4\}$. Es wäre auch die Ergebnismenge $\Omega=\{\text{rot};\text{grün};\text{gelb};\text{blau}\}$ möglich gewesen.

• Prüfe die folgenden Aussagen zu Zufallsexperimente.

  Tipps

  Ein Zufallsexperiment oder auch Zufallsversuch ist ein Experiment mit einer zufälligen Entscheidung. Der Ausgang ist nicht vorhersehbar. Oder, anders ausgedrückt: man weiß nicht, welchen Ausgang das Experiment haben wird.

  Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperimentes.

  Die Zusammenfassung aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes zu einer Menge bezeichnet man als Ergebnismenge.

  Lösung

  Die Begriffe eines Zufallsexperimentes, eines Ergebnisses und der Ergebnismenge sind so grundlegend, dass sie gut geübt sein sollen:

  Ein Zufallsexperiment oder auch Zufallsversuch ist ein Experiment mit einer zufälligen Entscheidung. Der Ausgang ist nicht vorhersehbar. Oder, anders ausgedrückt: man weiß nicht, welchen Ausgang das Experiment haben wird.

  Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperimentes.

  Die Zusammenfassung aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes zu einer Menge bezeichnet man als Ergebnismenge:

  Ein Würfel, auf welchem sich nur Einsen befinden, kann man so oft werfen, wie man möchte: es wird immer eine $1$ oben liegen. Dies ist kein Zufallsexperiment.

  $\Omega$ ist eine Ergebnismenge, sie enthält alle möglichen Ergebnisse. Sie ist kein Ergebnis.

  $2$ ist ein mögliches Ergebnis beim Werfen eines Würfels.

  Da sich in der Urne Kugeln mit verschiedenen Farben befinden, kann sowohl eine rote wie eine weiße Kugel gezogen werden. Es handelt sich um ein Zufallsexperiment. Die Kugeln müssen allerdings, bis auf die Farbe, nicht unterscheidbar sein.

  Die zugehörige Ergebnismenge ist dann $\Omega=\{\text{rot};\text{weiß}\}$.

• Fasse die verwendeten Begriffe zusammen.

  Tipps

  Eine Ergebnismenge ist eine Menge.

  Ein mögliches Ergebnis beim Werfen eines Würfels ist zum Beispiel die Augenzahl $6$.

  Das Ergebnis eines Zufallsversuches ist nicht vorhersehbar.

  Lösung

  Die folgenden Erklärung sollten gut bekannt sein. Auf diese wird immer wieder zurückgegriffen:

  • Eine Entscheidung ohne Wissen ist eine zufällige Entscheidung.
  • Ein Zufallsversuch oder auch Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung.
  • Ein Ergebnis ist eine möglicher Endzustand eines Zufallsversuches.
  • Eine Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsversuches.

• Entscheide, bei welchem der folgenden Experimente ein Zufallsversuch vorliegt.

  Tipps

  Bei einem Zufallsexperiment liegt eine zufällige Entscheidung vor.

  Der Ausgang eines Zufallsexperimentes ist nicht abhängig von verschiedenen Fähigkeiten oder Wissen oder Erfahrungen.

  Wenn zwei die gleiche Mathe-Aufgabe lösen, so ist es kein Zufall, ob, und wenn ja, wer die bessere Note erlangt.

  Lösung

  Bei einem Zufallsexperiment ist der Ausgang nicht vorhersehbar. Damit ist jeder

  • Wettbewerb, zum Beispiel der $100$-Meter-Lauf,
  • Vergleich von Fähigkeiten, zum Beispiel bei einem Schachspiel, oder
  • ein Fußballspiel

  kein Zufallsexperiment. Es ist zum Beispiel bei einem Fußballspiel durchaus möglich, dass jede der beiden Mannschaften gewinnt oder das Spiel unentschieden endet. Wenn allerdings eine Mannschaft deutlich besser ist als die andere, ist der Ausgang in gewisser Weise vorhersehbar.

  Das Werfen mit einem Spielwürfel ist ein Zufallsexperiment, da nicht vorhergesagt werden kann, welche Augenzahl oben liegen wird.

  Ebenso ist das beim Werfen einer Münze.

  Da alle Umschläge, in welchen sich die Mathe-Aufgaben befinden, nicht unterscheidbar sind, ist es Zufall, für welchen Lukas sich entscheiden wird. Wenn allerdings mehrere Schüler die gleiche Aufgabe lösen, ist die erzielte Note kein Zufall, da sie von den einzelnen Fähigkeiten abhängt.