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Zufallsexperimente – Beispiele

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Martin Wabnik
Zufallsexperimente – Beispiele
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Zufallsexperimente – Beispiele

Beim Roulette wirft man eine Kugel in den Kessel, ohne zu wissen, auf welcher Zahl die Kugel liegen bleiben wird. Das Roulette kann man also auch als Zufallsversuch (Zufallsexperiment) sehen. Die Ergebnisse sind meistens die Zahlen, auf denen die Kugel liegen bleibt. Die Ergebnismenge ist dann: {0; 00; 1; 2; 3; ... 35; 36} Man könnte aber auch die Farben Rot, Schwarz und Grün als Ergebnisse sehen. Der Münzwurf ist auch ein Zufallsversuch, weil man beim Werfen nicht weiß, welche Seite oben liegen wird. Die Ergebnismenge besteht nur aus "Zahl" und "Kopf". Ebenfalls durch einen Zufallsversuch werden die Lottozahlen ermittelt. Weil man den Behälter dreht, ohne zu wissen, welche Zahl als nächstes herauskommen wird, hängt das Drehen von zufälligen Entscheidungen ab. Die Ergbnismenge besteht aus den Zahlen von 1 bis 49. Es gibt Maschinen, die bestimmten amerikanischen Glücksspielautomaten nachempfunden sind, welche "einarmige Banditen" genannt werden. Darin verbirgt sich ein Mechanismus, von dem man so ohne weiteres nicht weiß, ob diesem ein Zufallsversuch zugrunde liegt. Wie man mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung beurteilen kann, ob es sich tatsächlich um einen Zufallsversuch handelt, wird uns später noch beschäftigen. Ebenfalls nicht eindeutig geklärt werden kann die Frage, ob ein sportlicher Wettkampf ein Zufallsversuch sein kann. Im Alltag fragen wir uns öfter, ob bestimmte, meist ungewöhnliche Vorgäng zufällig sind oder nicht. Diese Situationen können manchmal auch nicht eindeutig geklärt werden. Damit du weißt, was eindeutig ist und was nicht, beschäftigen wir uns im weiteren mit eindeutigen Zufallsversuchen. Die Übertragung des Wissens auf komplexere Situationen geschieht dann fast wie von selbst.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Ich fand es nicht so gut weil er am meisten erklärt wie irgend welche Casino spiele funktionieren :(

    Von Karina A., vor 2 Monaten
  2. Sehr gut gemacht

    Von Klosefamily, vor etwa einem Jahr
  3. Wie hast du das gemacht mit dem unsichtbar werden?!?!?

    Von Niko 96, vor fast 3 Jahren
  4. Es ist sehr gut.

    Von Mura 62, vor fast 3 Jahren
  5. Gutes Video ich fände es klasse

    Von Georg Sirikelas, vor etwa 3 Jahren
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Zufallsexperimente – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zufallsexperimente – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Ergebnisse und die Ergebnismenge beim Beispiel Roulette an.

    Tipps

    Bei einem Zufallsversuch ist der Ausgang nicht vorhersehbar.

    Wenn du einen Würfel wirfst, auf welchem sich nur Zweien befinden, so ist dies kein Zufallsversuch.

    Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang des Zufallsversuchs.

    Das Roulettedrehblatt verfügt über eine oder zwei grüne Flächen mit den Zahlen $0$ und Doppelnull, $00$.

    Lösung

    Roulette ist ein Zufallsexperiment, da beim Werfen der Kugel nicht klar ist, auf welchem Feld die Kugel liegen bleiben wird.

    Die Ergebnisse sind alle Zahlen, auf welchen die Kugel liegen bleiben kann. Dies kann zum Beispiel die Zahl $2$ sein.

    Die Zusammenfassung aller möglichen Ergebnisse ist die Ergebnismenge $\Omega=\{1;...;36;0;00\}$.

  • Beschreibe den Zufallsversuch eines Münzwurfs.

    Tipps

    Ein Ergebnis ist ein möglicher Endzustand eines Zufallsversuchs.

    Eine Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse.

    Lösung

    Beim Münzwurf handelt es sich um ein Zufallsversuch oder auch Zufallsexperiment.

    Ein Ergebnis ist ein möglicher Endzustand eines Zufallsversuchs: Diese sind in diesem Fall Kopf oder Zahl.

    Eine Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse: Diese ist hier $\Omega=\{$Kopf, Zahl$\}$.

  • Entscheide, ob ein Zufallsversuch vorliegt.

    Tipps

    Bei einem Zufallsversuch wird eine zufällige Entscheidung getroffen.

    Das bedeutet, dass der Ausgang des Zufallsversuches nicht vorhersehbar ist.

    Ein Zufallsversuch darf nicht von einem oder mehreren der folgenden Faktoren abhängen:

    • Fähigkeiten
    • Wissen
    • Kraft
    • ...

    Wenn du den Ausgang eines Versuchs kennst und diesen nachweisen willst, so zum Beispiel bei einem physikalischen Versuch, liegt kein Zufallsversuch vor.

    Lösung

    Man kann sich bei jedem Beispiel überlegen, ob der Ausgang vorhersehbar ist oder nicht:

    • Paul spielt Tennis gegen seinen Vater, der viel besser spielen kann als er selbst. Der Ausgang des Spiels ist kein Zufall. Es ist zu erwarten, dass Pauls Vater gewinnt.
    • Paul hat sehr viel für die Mathearbeit gelernt und schreibt eine $1$. Dies ist kein Zufallsversuch, da Pauls Lernen einen Einfluss auf den Ausgang der Arbeit hatte.
    • Die mögliche Matheaufgabe, welche Paul lösen soll, befindet sich in einem Umschlag. Es gibt mehrere solcher Umschläge mit verschiedenen Aufgaben. Dies ist ein Zufallsversuch, da Paul die Entscheidung ohne Wissen, also zufällig, trifft.
    • Paul vereinbart mit seiner Schwester folgendes Spiel: Wer beim Würfeln zuerst ein $6$ würfelt, muss den Müll rausbringen. Dies ist ein Zufallsversuch, da beim Würfeln der Ausgang nicht vorhersehbar ist.
    • Ein Fußballspiel wird im Elfmeterschießen entschieden werden. Dies ist kein Zufallsversuch. Der Ausgang ist zwar nicht vorhersehbar, jedoch hängt er von den Fähigkeiten der einzelnen Schützen ab.
    • Es befinden sich noch $8$ Mannschaften in einem Turnier. Die Paarungen werden durch nicht unterscheidbare Lose in einer Trommel entschieden. Dies ist ein Zufallsversuch. Es wäre kein Zufallsversuch, wenn die Lose durch Tasten unterscheidbar wären.
  • Bestimme die möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs.

    Tipps

    Ein Ergebnis ist ein möglicher Endzustand eines Zufallsversuchs.

    Alle möglichen Ergebnisse werden zu einer Menge zusammengefasst.

    Beachte, dass die Reihenfolge unterschieden wird.

    Lösung

    Bei diesem Zufallsversuch wird eine Münze zweimal geworfen. Beim ersten Wurf sind zwei Ausgänge des Versuchs Möglich: Kopf oder Zahl. Beim zweiten Wurf sind dieselben beiden Ausgänge möglich.

    Insgesamt betrachtet ergeben sich für den Zufallsversuch als Ergebnisse vier Paare:

    • (Kopf|Kopf)
    • (Kopf|Zahl)
    • (Zahl|Kopf)
    • (Zahl|Zahl)
    Die Zusammenfassung dieser Ergebnisse zu einer Menge nennt man Ergebnismenge:

    $\Omega=\{$(Kopf|Kopf);(Kopf|Zahl);(Zahl|Kopf);(Zahl|Zahl)$\}$

  • Ergänze die Beschreibung zu Zufallsversuchen.

    Tipps

    Wie würdest du dir selbst Zufall erklären.

    Weißt du vorher, was herauskommt?

    Das Werfen eines Würfels ist ein Zufallsversuch.

    Das Addieren zweier Zahlen ist kein Zufallsversuch.

    Lösung
    • Eine Entscheidung ohne Wissen ist eine zufällige Entscheidung.
    • Ein Zufallsversuch oder auch Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit einer zufälligen Entscheidung.
    • Ein Ergebnis ist ein möglicher Endzustand des Zufallsversuchs.
    • Eine Ergebnismenge ist die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs.
  • Überprüfe, ob ein Ergebnis des Zufallsexperimentes vorliegt.

    Tipps

    Es wird als Ergebnis das Produkt der Augenzahlen betrachtet.

    Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation.

    Prüfe, ob sich jedes Ergebnis als Produkt zweier Zahlen zwischen $1$ und $6$ darstellen lässt.

    Lösung

    Man könnte als Ergebnis beim zweimaligen Werfen mit einem Würfel die resultierenden Zahlenpaare betrachten:

    $\{(1|1);...;(1|6);...;(6|1);...;(6|6)\}$.

    Dies sind jedoch nicht die gesuchten Ergebnisse. Wir wollen ja die Produkte der Augenzahlen betrachten:

    • $1\cdot 1=1$
    • $1\cdot 2=2$
    • ...
    • $1\cdot 6=6$
    • $2\cdot 1=2$
    • ...
    • $2\cdot 6=12$
    Es ist nun sehr aufwändig, alle Produkte aufzuschreiben. Um diese Aufgabe zu lösen kann man auch schauen, welche Zahlen sich als Produkt zweier Zahlen zwischen $1$ und $6$ schreiben lassen. So gelangt man zu folgender Ergebnismenge:

    $\Omega=\{1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30;36\}$.

    Die richtigen Lösungen der Aufgabe sind also $1, 9, 18$ und $25$.

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