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Ziegen-Problem

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Martin Wabnik
Ziegen-Problem
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Grundlagen zum Thema Ziegen-Problem

Inhalt

Das Ziegenproblem – Einführung

Hinter dem Ziegenproblem (auch Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma) verbirgt sich eine bekannte Fragestellung aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dabei darf der Kandidat in einer Show eines von drei Toren auswählen. Hinter einem der Tore ist ein Preis, zum Beispiel ein Auto, hinter den anderen beiden befindet sich jeweils eine Ziege. Daher auch der Name Ziegenproblem. Nachdem sich der Kandidat für ein Tor entschieden hat, öffnet der Moderator eines der beiden anderen Tore, hinter dem eine Ziege steht. Im Anschluss hat der Kandidat erneut die Wahl: Er kann bei dem Tor bleiben, das er ursprünglich ausgewählt hatte, oder er kann zu dem verbleibenden Tor wechseln. Wir werden untersuchen, welche Strategie aus mathematischer Sicht die höhere Gewinnchance beim Ziegenproblem hat.

Das Ziegenproblem – Lösung

Voraussetzungen:

  • Hinter den drei Toren befinden sich, zufällig verteilt, ein Auto und zwei Ziegen.
  • Der Kandidat, der nicht weiß, wo sich das Auto befindet, wählt eines der Tore aus.
  • Eines der beiden freien Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet, wird vom Moderator geöffnet.
  • Der Kandidat hat erneut die Wahl: Er kann bei seinem Tor bleiben oder zu dem zweiten noch verschlossenen Tor wechseln.
  • Das Tor, für welches sich der Kandidat in der zweiten Auswahl entschieden hat, wird geöffnet. Befindet sich dort das Auto, dann hat er es gewonnen.

Vermutung:

Die häufige Vermutung, dass der Kandidat bei der zweiten Auswahl in jedem Fall eine Gewinnwahrscheinlichkeit von $50$% hat, ist falsch. Er hat hier zwar die Wahl zwischen zwei Toren, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das Auto dahinter verbirgt, ist aber aufgrund des Spielaufbaus für die beiden Tore nicht identisch.

Erklärung

Bei der ersten Wahl des Kandidaten zwischen drei Toren ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ für den Gewinn und von $\frac{2}{3}$ für eine Ziege, da hinter einem der drei Tore der Gewinn, hinter den anderen beiden Ziegen stehen. Diese Wahrscheinlichkeiten bleiben auch nach dem Öffnen eines Tores durch den Moderator erhalten.

Die folgenden Tabellen zum Ziegenproblem zeigen die Ausgangssituation nach der ersten Wahl und die verbleibenden Möglichkeiten, nachdem der Moderator eins der freien Tore geöffnet hat.

Erste Wahl Freies Tor 1 Freies Tor 2
Auto Ziege A Ziege B
Ziege A Auto Ziege B
Ziege B Auto Ziege A
Erste Wahl Wechselmöglichkeit Moderator öffnet
Auto Ziege A Ziege B
Ziege A Auto Ziege B
Ziege B Auto Ziege A

In der zweiten Tabelle sehen wir, dass ein Wechsel des Tores durch den Kandidaten dazu führt, dass sich der Ausgang ändert:

  • Hatte der Kandidat ursprünglich das Tor mit dem Auto gewählt, so führt der Wechsel zu einem Tor mit einer Ziege dahinter. Dabei spielt es keine Rolle, welches der beiden freien Tore der Moderator zuvor geöffnet hat, da sich hinter jedem eine Ziege befindet.
  • Liegt hinter der ursprünglichen Wahl des Kandidaten eine Ziege, so gelangt er durch den Wechsel immer zu dem Tor mit dem Auto, da der Moderator das freie Tor mit der Ziege eliminiert hat.

Daraus ergibt sich ohne Wechsel eine Gewinnwahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ und mit Wechsel eine Gewinnchance von $\frac{2}{3}$. Das zeigen auch die Baumdiagramme für die beiden Strategien.

Baumdiagramm Ziegenproblem

Anders ausgedrückt liegt beim Ziegenproblem die bedingte Wahrscheinlichkeit für den Gewinn ohne Wechsel bei $\frac{1}{3}$ und mit Wechsel bei $\frac{2}{3}$. Diese Wahrscheinlichkeiten ergeben sich, da ohne Wechsel nur ein Gewinn erfolgt, wenn die erste Wahl des Kandidaten das Auto war, also in einem von drei Fällen. Mit Wechsel gewinnt der Kandidat dagegen immer dann, wenn seine erste Wahl ein Tor mit einer Ziege war, also in zwei von drei Fällen.

Dieses Video zum Ziegenproblem …

… stellt dir ein bekanntes Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor. Außerdem erklären wir dir, mit welcher Strategie der Kandidat die optimale Gewinnchance erreicht.

Die im Video vorgestellte Methode mit den drei Boxen kannst du auch selbst für eine Simulation des Ziegenproblems nutzen. Dazu führst du das Spiel zum Beispiel 10-mal mit und 10-mal ohne Wechsel durch und vergleichst, wie oft der Kandidat jeweils gewinnt.

Transkript Ziegen-Problem

Hallo! Es geht um das 3-Türenproblem, das Ziegenproblem oder das Monty-Hall-Dilemma. Und ich möchte mal einen Lösungsansatz zeigen, der auf Christina Frönt zurück geht. Worum geht es dabei? Wir haben eine Fernsehshow, da gibt es einen Moderator und einen Kandidaten. Es gibt 3 Türen, die ich jetzt hier mal mit diesen Boxen veranschauliche. Der Kandidat und alle anderen wissen, dass hinter einer dieser beiden Türen ein Hauptgewinn ist und hinter den anderen beiden Türen eine Niete ist,  zum Beispiel eine Ziege. Die Ziege zählt als Niete und hinter einer der Türen ist zum Beispiel ein Auto. Jetzt darf sich der Kandidat für eine der Türen entscheiden und das, was da hinter ist, darf er mitnehmen. Angenommen er sagt: Ich nehme diese Tür. Dann geht der Moderator hin und öffnet eine der Türen, für die sich der Kandidat nicht entschieden hat. Wir alle wissen, und der Kandidat auch, dass der Moderator eine Tür öffnen wird, hinter der der Hauptgewinn nicht ist. Dann, nachdem der Moderator das gemacht hat, fragt er den Kandidaten wieder: Möchtest du bei deiner Entscheidung für diese Tür bleiben, oder möchtest du wechseln und mitnehmen, was hinter dieser Tür ist. Und der gesunde Menschenverstand sagt einem normalerweise an dieser Stelle: Naja ich hab doch jetzt 2 Türen, ich weiß nicht, wo der Hauptgewinn ist, nach wie vor nicht. Ob ich nun bei meiner Tür bleibe oder die andere nehme, ist doch völlig egal, ich weiß es doch von beiden nicht. Und genau diese Überlegung ist falsch. Warum ist die falsch? Folgende Situation: Wenn wir das mal nachvollziehen. Wir haben 3 Türen und der Kandidat weiß nicht, wo der Hauptgewinn ist. Er kann sich für eine dieser 3 Türen entscheiden und die Wahrscheinlichkeit, dass hinter der Tür, für die er sich entscheiden hat, der Hauptgewinn ist, ist 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptgewinn hinter diesen beiden Türen ist, ist 2/3. Ich glaube, da sind wir uns einig, brauchen wir nicht zu diskutieren. Jetzt geht der Moderator hin und öffnet eine Niete, zum Beispiel die hier. Jetzt wird der Kandidat gefragt: Möchtest du bei deiner Entscheidung bleiben oder möchtest du zur anderen Tür wechseln? Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jetzt hier der Hauptgewinn ist, ist 2/3, denn in diesem Bereich ist die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn 2/3. Aber wir wissen ja jetzt schon, dass hier der Hauptgewinn nicht ist. Aber in diesem Bereich bleibt ja weiter die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn 2/3. Wir haben ja zwischendurch nichts geändert. Naja, und dann ist es natürlich klar, es wäre besser, wenn der Kandidat wechselt, weil ja hier die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Hauptgewinn drin ist, 2/3 ist und hier 1/3. Und stellen wir uns vor, er wechselt und voilà, da ist der Hauptgewinn, das Herz. Das ist immer der Hauptgewinn. Das war es dazu. Viel Spaß damit, tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Was ist denn da am Fenster los? ;D

    Von Christo1997, vor mehr als 6 Jahren
  2. Super Video :-)

    Von Einfach Simon, vor fast 9 Jahren
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