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Satz von Bayes

Der Satz von Bayes ermöglicht die Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Erfahrt, wie er aus Baumdiagrammen abgeleitet wird. Seid ihr interessiert? Das und vieles mehr im folgenden Text!

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
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Mathe-Team
Satz von Bayes
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Satz von Bayes Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz von Bayes kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige das Baumdiagramm.

    Tipps

    Achte auf die Schreibweise der Wahrscheinlichkeiten.

    Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ unter der Bedingung, dass das Ereignis $A$ bereits eingetreten ist.

    Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $P(A\cap B)$ ist äquivalent zu $P(B \cap A)$, da es die Wahrscheinlichkeit ist, dass „$A$ und $B$“ bzw. „$B$ und $A$“ auftreten.

    Lösung

    Wahrscheinlichkeiten beginnen in der Mathematik üblicherweise immer mit einem „P“, welches vom lateinischen probabilitas stammt und eben „Wahrscheinlichkeit“ bedeutet. Die darauffolgenden Klammern lesen sich, wie auch bei Funktionen, als „von“. Wenn wir also die ersten beiden Pfade zu den Ereignissen $A$ und $\bar{A}$ benennen wollen, dann verwenden wir $P(A)$ und $P(\bar{A})$, sprich: „Wahrscheinlichkeit von A bzw. A-Strich“.

    Nun wollen wir den Pfad von $A$ zu $B$ benennen. Das Ereignis $A$ ist bereits aufgetreten (das ist unsere Bedingung) und jetzt suchen wir die Wahrscheinlichkeit, dass danach das Ereignis $B$ auftritt. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit schreiben wir wie folgt auf: $P(B|A)$, sprich: „Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung A“. Analog benennen wir die anderen drei Pfade mit $P(\bar B|A)$, $P(B|\bar A)$ und $P(\bar B|\bar A)$.

    Der komplette linke Pfad stellt die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$ dar. Die Schreibweise kennst du aus der Mengenlehre $P(A\cap B)$, sprich: „Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B“ oder auch „Wahrscheinlichkeit von A und B“.

  • Gib an, wie man den Satz von Bayes zeigen kann.

    Tipps

    Du kannst die einzelnen Schritte am besten am Baumdiagramm nachvollziehen:

    Kannst du eventuell Wahrscheinlichkeiten durch gleichwertige Terme ersetzen?

    Lösung

    Thomas Bayes lebte von $1702$ bis $1761$ und war ein englischer presbyterianischer Geistlicher mit Interesse für Mathematik. Den Satz von Bayes brauchst du nicht auswendig zu lernen. Du kannst ihn jederzeit durch deine Kenntnisse über die bedingten Wahrscheinlichkeiten wie in dieser Aufgabe herleiten.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du den Satz von Bayes anwendest.

    Tipps

    Für die Ereignisse A und B lautet der Satz von Bayes:

    $P(A|B)=\frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A)+P(\bar A) \cdot P(B|\bar A)}$.

    Wie kann man Gegenwahrscheinlichkeiten berechnen?

    Beachte : $P(A)= 0,0813= 8,13$ %

    $P(\bar J| B)= \frac{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)}{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)+P(J)\cdot P(B|J)}$

    Lösung

    Gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten $P(J)=0,5$ und $P(\bar J)=0,5$

    sowie $P(B|J)=0,38$ und $P(\bar B|M)=0,54$.

    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(\bar J| B)$.

    Mithilfe des Satzes von Bayes berechnen wir die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit, wobei wir für $P(B|\bar J)$ die Gegenwahrscheinlichkeit von $P(\bar B|\bar J)$ einsetzen.

    $P(\bar J| B)= \frac{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)}{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)+P(J)\cdot P(B|J)} = \frac{0,5 \cdot (1-0,54)}{0,5 \cdot (1-0,54)+0,5\cdot 0,38}$

    $P(\bar J| B) \approx 0,5476 = 54,76~\%$.

  • Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Summe der Zweigwahrscheinlichkeiten ergibt immer $1$ z.B.

    $P(A)+P(\bar A)=1$

    Um die Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge zu berechnen, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des geforderten Pfades.

    Was besagt die „totale Wahrscheinlichkeit“?

    Wie lautet der Satz von Bayes?

    Lösung

    Im Baumdiagramm haben wir bereits die drei folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

    $P(A)=0,35$, $P(B|A)=0,6$ und $P(B|\bar A)=0,47$.

    $P(A\cap B)$ erhalten wir durch die Multiplikation entlang des geforderten Pfades, also

    $P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B|A)=0,35 \cdot 0,6= 0,21$.

    $P(\bar B|A)$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $P(B|A)$ und beträgt daher

    $P(\bar B|A)=1-P(B|A)=1-0,60=0,40$.

    Analog könnten wir

    $P(\bar B|\bar A)=1-P(B)=1-0,47=0,53$ und

    $P(\bar A)=1-P(A)=1-0,35=0,65$ berechnen.

    $P(B)$ hingegen erhalten wir durch die totale Wahrscheinlichkeit:

    $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A \cap B) = P(A)\cdot P(B|A)+ P(\bar A)\cdot P(B|\bar A)$

    $=0,35 \cdot 0,6 + 0,65 \cdot 0,47 = 0,5155 \approx 0,52$.

    Schlussendlich wenden wir den Satz von Bayes an, um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ zu berechnen:

    $P(A|B)= \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0,6 \cdot 0,35}{0,52} \approx 0,40 $.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person erkrankt ist, wenn der Test positiv ist.

    Tipps

    Wie lautet der Satz von Bayes?

    Setze für $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ die Terme so ein, dass du mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen kannst.

    Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl oder Prozentzahl angeben.

    Lösung

    Die Herleitung des Satzes von Bayes ist nicht schwer: Durch Einsetzen und Umformen gelangen wir zur folgenden Gleichung zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten:

    $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar A) \cdot P(B|\bar A)}$.

    Nun setzen wir die gegebenen Werte ein und berechnen so die bedingte Wahrscheinlichkeit:

    $P(A|B)=\frac{0,01 \cdot 0,99}{0,01 \cdot 0,99 + 0,99 \cdot 0,03}= 0,25$.

    $99~\%$ Trefferquote klingt gut, aber letztendlich existiert nur eine Wahrscheinlichkeit von $25~\%$, dass eine Person auch wirklich krank ist, wenn der Test positiv ist.

  • Entscheide, welche Fragestellung zu welcher Antwort gehört.

    Tipps

    Skizziere ein Baumdiagramm mit den gegebenen Größen.

    Welche bedingten Wahrscheinlichkeiten sind gesucht und wie berechnet man sie?

    Wörter wie „gestern“ und „heute“, sowie „heute“ und „morgen“ verraten dir, welches Ereignis zuerst eintritt, also die Bedingung für das zweite Ereignis ist.

    Lösung

    Nebenstehend siehst du die gegebenen und die mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechneten Größen im Baumdiagramm dargestellt, wobei die Buchstaben folgende Ereignisse darstellen:

    $S$: „Sonniges Wetter“ und $\bar S$: „Kein sonniges, also regnerisches Wetter“.

    $S$ und $\bar S$ sind also die Vorhersagen, welche entweder:

    $R$: „Richtige Vorhersagen“ oder $F$: „Falsche Vorhersagen“ sind.

    Der Wetterbericht besagt, dass es morgen regnen wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Vorhersage falsch?

    $P(F| \bar S) = 1- P(R| \bar S)= 1-0,80 = 0,20 = 20~\%$

    Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird morgen „regnerisches“ Wetter, obwohl heute Sonnenschein vorhergesagt wird?

    $P(F| S) = 1- P(R| S)= 1-0,65 = 0,35 = 35~\%$

    Heute scheint die Sonne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die Wettervorhersage gestern richtig? Mithilfe des Satzes von Bayes können wir die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

    $P(S| R) = \frac{ P(S)\cdot P(R|S)}{P(S)\cdot P(R|S)+P(\bar S) \cdot P(R| \bar S)} = \frac{0,7 \cdot 0,65}{0,7\cdot 0,65 + 0,3 \cdot 0,35} =0,8125 = 81,25~\%$.

    Heute regnet es. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde gestern aber Sonnenschein vorhergesagt? Auch hier hilft uns der Satz von Bayes zur Berechnung:

    $P(\bar S|F)= \frac{ P(\bar S)\cdot P(F|\bar S)}{P(\bar S)\cdot P(F|\bar S)+P(S) \cdot P(F|S)} =\frac{ 0,3 \cdot 0,2}{0,3 \cdot 0,2+0,7 \cdot 0,35} \approx 0,20 = 20~\%$.