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Satz von Bayes 09:44 min

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Transkript Satz von Bayes

Hallo. Heute lernst Du den Satz von Bayes kennen. Man benutzt ihn beim Berechnen von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Nicht lange gefackelt, hier ist er. Sei Omega A P ein Wahrscheinlichkeitsraum und B Element A ein Ereignis, nein, so natürlich nicht, keine Angst. Wir entwickeln diesen Satz Schritt für Schritt und anschaulich. Zunächst werden wir wiederholen, was man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht. Dann machen wir den Schritt zum Satz von Bayes und abschließend rechnen wir noch eine kleine Beispielaufgabe. Mit durchaus überraschendem Ausgang. Im Satz von Bayes geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Darunter verstehen wir die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Situation lässt sich mit einem Baumdiagramm gut illustrieren. Die erste Stufe enthält das Ereignis A und sein Gegenereignis A quer mit den Wahrscheinlichkeiten P von A und P von A quer. A ist also jetzt eingetreten oder nicht. Nun tritt Ereignis B ein oder auch nicht. Das heißt, von jedem Knoten gehen zwei Pfade ab. Der eine jeweils zu B, der andere zum Gegenereignis B quer. Der oberste Pfad beschreibt das Eintreten von A und B. Hier notieren wir also die Wahrscheinlichkeit P von A geschnitten B. Und was schreiben wir an den Pfad zu B? Nun, das ist genau die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung, dass A eingetreten ist. Kurz P von B unter der Voraussetzung A. Wir wissen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. Also können wir nun direkt ablesen. P von A • P von B unter der Bedingung A = P von A und B, das heißt, P von B unter der Bedingung A ist P von A und B geteilt durch P von A. In diesem Sinne können wir nun das Baumdiagramm vervollständigen und die bedingten Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade eintragen. Was passiert, wenn wir jetzt die Sache umdrehen? Also, nach der Wahrscheinlichkeit von A fragen unter der Bedingung, dass B eingetreten ist? Nun, wir erhalten ein Baumdiagramm in dem überall A durch B ersetzt ist. Aus dem obersten Pfad lesen wir jetzt ab P von B • P von A unter der Bedingung B = P von B und A. Beziehungsweise P von A unter der Bedingung B = P von B und A durch P von B. Damit nähern wir uns schon sehr stark dem Satz von Bayes. Wir hatten ihn eigentlich schon an der Tafel stehen. Notieren wir noch einmal, was der jeweils oberste Pfad des Baumdiagramms und seiner Umkehrung lieferte. Zum einen P von A • P von B unter der Bedingung A = P von A geschnitten B. Zum anderen P von B • P von A unter der Bedingung B = P von B geschnitten A. Auf der rechten Seite steht jedoch jeweils dasselbe, denn die Schnittmenge von A und B ist dasselbe wie die Schnittmenge von B und A. Also können wir gleichsetzen. P von A • P von B unter der Bedingung A = P von B • P von A unter der Bedingung B. Beziehungsweise P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von B. Da A und sein Gegenereignis A quer den Ereignisraum vollständig zerlegen gilt P von B = P von A geschnitten B + P von A quer geschnitten B. Das ist die sogenannte totale Wahrscheinlichkeit. Wie sieht das am Mengendiagramm aus? A und A quer bilden den Ereignisraum. Hier ist B, das ist A geschnitten B und hier ist A quer geschnitten B. Die Menge A geschnitten B und A quer geschnitten B ergeben B. Erster und dritter Pfad ergeben summiert also P von B, das heißt P von B = P von A • P von B unter der Bedingung A + P von A quer • P von B unter der Bedingung A quer. Eingesetzt in die Formel P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von B erhalten wir den Satz von Bayes. Der Satz von Bayes lautet somit: Sind zusätzlich zu P von A die bedingten Wahrscheinlichkeiten P von B unter der Bedingung A und P von B unter der Bedingung A quer bekannt und ist mindestens einer der beiden von null verschieden, so kann man P von A unter der Bedingung B berechnen durch P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von A • P von B unter der Bedingung A + P von A quer • P von B unter der Bedingung A quer. Ein typisches Anwendungsbeispiel von Bayes sind medizinische Tests. Wir haben das Ereignis A, die Person ist krank. Und wir haben das Ereignis B, der Test ist positiv. Nehmen wir an, ein neuer Test wurde entwickelt, der bei einer Testperson zu 99 Prozent positiv ausfällt, falls die Person die Krankheit besitzt. Also ist P von B unter der Bedingung A = 0,99. Aber auch bei gesunden Personen, also, Ereignis A quer schlägt der Test mit 3 Prozent Wahrscheinlichkeit an. Grundsätzlich ist jede Testperson mit ein Prozent Wahrscheinlichkeit von der Krankheit betroffen. Also P von A = 0,01 und damit P von A quer = 0,99. Wie groß ist nur die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person auch wirklich die Krankheit hat, wenn der Test anschlägt. Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P von A unter der Bedingung B. Wir setzen die Bayessche Formel ein. P von A unter der Bedingung B = 0,01 • 0,99 geteilt durch 0,01 • 0,99 + 0,99 • 0,03 = 0,25. Eigentlich enttäuschend gering, oder? Das kleine Beispiel hat gezeigt, dass man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Überraschungen erleben kann. 99 Prozent Trefferquote klingt gut, aber letztendlich existiert nur eine Wahrscheinlichkeit von 25 Prozent, dass eine Person auch wirklich krank ist, wenn der Test anschlägt. Wir fassen zusammen. Wir haben heute den Satz von Bayes kennengelernt und können nun die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, das unter der Bedingung B eingetreten ist berechnen. Wir verwenden hierfür die Formel P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von A • P von B unter der Bedingung A + P von A quer • P von B unter der Bedingung A quer.

10 Kommentare
  1. cool

    Von Champions Eros, vor 9 Monaten
  2. top

    Von Champions Eros, vor 9 Monaten
  3. ehhh siebscht alex

    Von Itslearning Nutzer 2535 50315, vor 10 Monaten
  4. Das ist das beste Video zu diesem Thema! Großartig! Vielen Dank!

    Von Alex 61, vor mehr als einem Jahr
  5. Hallo,
    ich bin Studentin und verstehe nicht warum dir Professoren nicht auch so erklären. In Sekunden sitzt das Thema. Danke.
    Allerdings würde ich mir viel mehr Übungen wünschen, da ich immernoch nicht fehlerfrei die Aufgaben löse.

    Von Katharina 2n, vor fast 2 Jahren
  1. Top!!

    Von Fieser Furz2, vor mehr als 2 Jahren
  2. @Wipulasinhe: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor etwa 3 Jahren
  3. Super Erklärung aber verstanden habe ich nichts

    Von Wipulasinhe, vor etwa 3 Jahren
  4. Mann kommt sehr schnell durcheinander

    Von Korr, vor mehr als 3 Jahren
  5. Die Übungen sind spitze!

    Von Johannes Meier96, vor fast 5 Jahren
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Satz von Bayes Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz von Bayes kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige das Baumdiagramm.

    Tipps

    Achte auf die Schreibweise der Wahrscheinlichkeiten.

    Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ unter der Bedingung, dass das Ereignis $A$ bereits eingetreten ist.

    Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $P(A\cap B)$ ist äquivalent zu $P(B \cap A)$, da es die Wahrscheinlichkeit ist, dass „$A$ und $B$“ bzw. „$B$ und $A$“ auftreten.

    Lösung

    Wahrscheinlichkeiten beginnen in der Mathematik üblicherweise immer mit einem „P“, welches vom lateinischen probabilitas stammt und eben „Wahrscheinlichkeit“ bedeutet. Die darauffolgenden Klammern lesen sich, wie auch bei Funktionen, als „von“. Wenn wir also die ersten beiden Pfade zu den Ereignissen $A$ und $\bar{A}$ benennen wollen, dann verwenden wir $P(A)$ und $P(\bar{A})$, sprich: „Wahrscheinlichkeit von A bzw. A-Strich“.

    Nun wollen wir den Pfad von $A$ zu $B$ benennen. Das Ereignis $A$ ist bereits aufgetreten (das ist unsere Bedingung) und jetzt suchen wir die Wahrscheinlichkeit, dass danach das Ereignis $B$ auftritt. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit schreiben wir wie folgt auf: $P(B|A)$, sprich: „Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung A“. Analog benennen wir die anderen drei Pfade mit $P(\bar B|A)$, $P(B|\bar A)$ und $P(\bar B|\bar A)$.

    Der komplette linke Pfad stellt die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$ dar. Die Schreibweise kennst du aus der Mengenlehre $P(A\cap B)$, sprich: „Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B“ oder auch „Wahrscheinlichkeit von A und B“.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person erkrankt ist, wenn der Test positiv ist.

    Tipps

    Wie lautet der Satz von Bayes?

    Setze für $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ die Terme so ein, dass du mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen kannst.

    Du kannst die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl oder Prozentzahl angeben.

    Lösung

    Die Herleitung des Satzes von Bayes ist nicht schwer: Durch Einsetzen und Umformen gelangen wir zur folgenden Gleichung zur Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten:

    $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar A) \cdot P(B|\bar A)}$.

    Nun setzen wir die gegebenen Werte ein und berechnen so die bedingte Wahrscheinlichkeit:

    $P(A|B)=\frac{0,01 \cdot 0,99}{0,01 \cdot 0,99 + 0,99 \cdot 0,03}= 0,25$.

    $99~\%$ Trefferquote klingt gut, aber letztendlich existiert nur eine Wahrscheinlichkeit von $25~\%$, dass eine Person auch wirklich krank ist, wenn der Test positiv ist.

  • Gib an, wie man den Satz von Bayes zeigen kann.

    Tipps

    Du kannst die einzelnen Schritte am besten am Baumdiagramm nachvollziehen:

    Kannst du eventuell Wahrscheinlichkeiten durch gleichwertige Terme ersetzen?

    Lösung

    Thomas Bayes lebte von $1702$ bis $1761$ und war ein englischer presbyterianischer Geistlicher mit Interesse für Mathematik. Den Satz von Bayes brauchst du nicht auswendig zu lernen. Du kannst ihn jederzeit durch deine Kenntnisse über die bedingten Wahrscheinlichkeiten wie in dieser Aufgabe herleiten.

  • Entscheide, welche Fragestellung zu welcher Antwort gehört.

    Tipps

    Skizziere ein Baumdiagramm mit den gegebenen Größen.

    Welche bedingten Wahrscheinlichkeiten sind gesucht und wie berechnet man sie?

    Wörter wie „gestern“ und „heute“, sowie „heute“ und „morgen“ verraten dir, welches Ereignis zuerst eintritt, also die Bedingung für das zweite Ereignis ist.

    Lösung

    Nebenstehend siehst du die gegebenen und die mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechneten Größen im Baumdiagramm dargestellt, wobei die Buchstaben folgende Ereignisse darstellen:

    $S$: „Sonniges Wetter“ und $\bar S$: „Kein sonniges, also regnerisches Wetter“.

    $S$ und $\bar S$ sind also die Vorhersagen, welche entweder:

    $R$: „Richtige Vorhersagen“ oder $F$: „Falsche Vorhersagen“ sind.

    Der Wetterbericht besagt, dass es morgen regnen wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Vorhersage falsch?

    $P(F| \bar S) = 1- P(R| \bar S)= 1-0,80 = 0,20 = 20~\%$

    Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird morgen „regnerisches“ Wetter, obwohl heute Sonnenschein vorhergesagt wird?

    $P(F| S) = 1- P(R| S)= 1-0,65 = 0,35 = 35~\%$

    Heute scheint die Sonne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die Wettervorhersage gestern richtig? Mithilfe des Satzes von Bayes können wir die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen:

    $P(S| R) = \frac{ P(S)\cdot P(R|S)}{P(S)\cdot P(R|S)+P(\bar S) \cdot P(R| \bar S)} = \frac{0,7 \cdot 0,65}{0,7\cdot 0,65 + 0,3 \cdot 0,35} =0,8125 = 81,25~\%$.

    Heute regnet es. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde gestern aber Sonnenschein vorhergesagt? Auch hier hilft uns der Satz von Bayes zur Berechnung:

    $P(\bar S|F)= \frac{ P(\bar S)\cdot P(F|\bar S)}{P(\bar S)\cdot P(F|\bar S)+P(S) \cdot P(F|S)} =\frac{ 0,3 \cdot 0,2}{0,3 \cdot 0,2+0,7 \cdot 0,35} \approx 0,20 = 20~\%$.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du den Satz von Bayes anwendest.

    Tipps

    Für die Ereignisse A und B lautet der Satz von Bayes:

    $P(A|B)=\frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A)+P(\bar A) \cdot P(B|\bar A)}$.

    Wie kann man Gegenwahrscheinlichkeiten berechnen?

    Beachte : $P(A)= 0,0813= 8,13$ %

    $P(\bar J| B)= \frac{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)}{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)+P(J)\cdot P(B|J)}$

    Lösung

    Gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten $P(J)=0,5$ und $P(\bar J)=0,5$

    sowie $P(B|J)=0,38$ und $P(\bar B|M)=0,54$.

    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P(\bar J| B)$.

    Mithilfe des Satzes von Bayes berechnen wir die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit, wobei wir für $P(B|\bar J)$ die Gegenwahrscheinlichkeit von $P(\bar B|\bar J)$ einsetzen.

    $P(\bar J| B)= \frac{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)}{P(\bar J)\cdot P(B|\bar J)+P(J)\cdot P(B|J)} = \frac{0,5 \cdot (1-0,54)}{0,5 \cdot (1-0,54)+0,5\cdot 0,38}$

    $P(\bar J| B) \approx 0,5476 = 54,76~\%$.

  • Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Summe der Zweigwahrscheinlichkeiten ergibt immer $1$ z.B.

    $P(A)+P(\bar A)=1$

    Um die Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge zu berechnen, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des geforderten Pfades.

    Was besagt die „totale Wahrscheinlichkeit“?

    Wie lautet der Satz von Bayes?

    Lösung

    Im Baumdiagramm haben wir bereits die drei folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben:

    $P(A)=0,35$, $P(B|A)=0,6$ und $P(B|\bar A)=0,47$.

    $P(A\cap B)$ erhalten wir durch die Multiplikation entlang des geforderten Pfades, also

    $P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B|A)=0,35 \cdot 0,6= 0,21$.

    $P(\bar B|A)$ ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $P(B|A)$ und beträgt daher

    $P(\bar B|A)=1-P(B|A)=1-0,60=0,40$.

    Analog könnten wir

    $P(\bar B|\bar A)=1-P(B)=1-0,47=0,53$ und

    $P(\bar A)=1-P(A)=1-0,35=0,65$ berechnen.

    $P(B)$ hingegen erhalten wir durch die totale Wahrscheinlichkeit:

    $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar A \cap B) = P(A)\cdot P(B|A)+ P(\bar A)\cdot P(B|\bar A)$

    $=0,35 \cdot 0,6 + 0,65 \cdot 0,47 = 0,5155 \approx 0,52$.

    Schlussendlich wenden wir den Satz von Bayes an, um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ zu berechnen:

    $P(A|B)= \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0,6 \cdot 0,35}{0,52} \approx 0,40 $.