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Satz von Bayes 09:44 min

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Transkript Satz von Bayes

Hallo. Heute lernst Du den Satz von Bayes kennen. Man benutzt ihn beim Berechnen von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Nicht lange gefackelt, hier ist er. Sei Omega A P ein Wahrscheinlichkeitsraum und B Element A ein Ereignis, nein, so natürlich nicht, keine Angst. Wir entwickeln diesen Satz Schritt für Schritt und anschaulich. Zunächst werden wir wiederholen, was man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht. Dann machen wir den Schritt zum Satz von Bayes und abschließend rechnen wir noch eine kleine Beispielaufgabe. Mit durchaus überraschendem Ausgang. Im Satz von Bayes geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Darunter verstehen wir die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis A bereits eingetreten ist. Die Situation lässt sich mit einem Baumdiagramm gut illustrieren. Die erste Stufe enthält das Ereignis A und sein Gegenereignis A quer mit den Wahrscheinlichkeiten P von A und P von A quer. A ist also jetzt eingetreten oder nicht. Nun tritt Ereignis B ein oder auch nicht. Das heißt, von jedem Knoten gehen zwei Pfade ab. Der eine jeweils zu B, der andere zum Gegenereignis B quer. Der oberste Pfad beschreibt das Eintreten von A und B. Hier notieren wir also die Wahrscheinlichkeit P von A geschnitten B. Und was schreiben wir an den Pfad zu B? Nun, das ist genau die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung, dass A eingetreten ist. Kurz P von B unter der Voraussetzung A. Wir wissen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren. Also können wir nun direkt ablesen. P von A • P von B unter der Bedingung A = P von A und B, das heißt, P von B unter der Bedingung A ist P von A und B geteilt durch P von A. In diesem Sinne können wir nun das Baumdiagramm vervollständigen und die bedingten Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade eintragen. Was passiert, wenn wir jetzt die Sache umdrehen? Also, nach der Wahrscheinlichkeit von A fragen unter der Bedingung, dass B eingetreten ist? Nun, wir erhalten ein Baumdiagramm in dem überall A durch B ersetzt ist. Aus dem obersten Pfad lesen wir jetzt ab P von B • P von A unter der Bedingung B = P von B und A. Beziehungsweise P von A unter der Bedingung B = P von B und A durch P von B. Damit nähern wir uns schon sehr stark dem Satz von Bayes. Wir hatten ihn eigentlich schon an der Tafel stehen. Notieren wir noch einmal, was der jeweils oberste Pfad des Baumdiagramms und seiner Umkehrung lieferte. Zum einen P von A • P von B unter der Bedingung A = P von A geschnitten B. Zum anderen P von B • P von A unter der Bedingung B = P von B geschnitten A. Auf der rechten Seite steht jedoch jeweils dasselbe, denn die Schnittmenge von A und B ist dasselbe wie die Schnittmenge von B und A. Also können wir gleichsetzen. P von A • P von B unter der Bedingung A = P von B • P von A unter der Bedingung B. Beziehungsweise P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von B. Da A und sein Gegenereignis A quer den Ereignisraum vollständig zerlegen gilt P von B = P von A geschnitten B + P von A quer geschnitten B. Das ist die sogenannte totale Wahrscheinlichkeit. Wie sieht das am Mengendiagramm aus? A und A quer bilden den Ereignisraum. Hier ist B, das ist A geschnitten B und hier ist A quer geschnitten B. Die Menge A geschnitten B und A quer geschnitten B ergeben B. Erster und dritter Pfad ergeben summiert also P von B, das heißt P von B = P von A • P von B unter der Bedingung A + P von A quer • P von B unter der Bedingung A quer. Eingesetzt in die Formel P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von B erhalten wir den Satz von Bayes. Der Satz von Bayes lautet somit: Sind zusätzlich zu P von A die bedingten Wahrscheinlichkeiten P von B unter der Bedingung A und P von B unter der Bedingung A quer bekannt und ist mindestens einer der beiden von null verschieden, so kann man P von A unter der Bedingung B berechnen durch P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von A • P von B unter der Bedingung A + P von A quer • P von B unter der Bedingung A quer. Ein typisches Anwendungsbeispiel von Bayes sind medizinische Tests. Wir haben das Ereignis A, die Person ist krank. Und wir haben das Ereignis B, der Test ist positiv. Nehmen wir an, ein neuer Test wurde entwickelt, der bei einer Testperson zu 99 Prozent positiv ausfällt, falls die Person die Krankheit besitzt. Also ist P von B unter der Bedingung A = 0,99. Aber auch bei gesunden Personen, also, Ereignis A quer schlägt der Test mit 3 Prozent Wahrscheinlichkeit an. Grundsätzlich ist jede Testperson mit ein Prozent Wahrscheinlichkeit von der Krankheit betroffen. Also P von A = 0,01 und damit P von A quer = 0,99. Wie groß ist nur die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person auch wirklich die Krankheit hat, wenn der Test anschlägt. Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P von A unter der Bedingung B. Wir setzen die Bayessche Formel ein. P von A unter der Bedingung B = 0,01 • 0,99 geteilt durch 0,01 • 0,99 + 0,99 • 0,03 = 0,25. Eigentlich enttäuschend gering, oder? Das kleine Beispiel hat gezeigt, dass man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Überraschungen erleben kann. 99 Prozent Trefferquote klingt gut, aber letztendlich existiert nur eine Wahrscheinlichkeit von 25 Prozent, dass eine Person auch wirklich krank ist, wenn der Test anschlägt. Wir fassen zusammen. Wir haben heute den Satz von Bayes kennengelernt und können nun die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, das unter der Bedingung B eingetreten ist berechnen. Wir verwenden hierfür die Formel P von A unter der Bedingung B = P von A • P von B unter der Bedingung A geteilt durch P von A • P von B unter der Bedingung A + P von A quer • P von B unter der Bedingung A quer.

7 Kommentare
  1. Default

    Das ist das beste Video zu diesem Thema! Großartig! Vielen Dank!

    Von Alex 61, vor 3 Monaten
  2. Default

    Hallo,
    ich bin Studentin und verstehe nicht warum dir Professoren nicht auch so erklären. In Sekunden sitzt das Thema. Danke.
    Allerdings würde ich mir viel mehr Übungen wünschen, da ich immernoch nicht fehlerfrei die Aufgaben löse.

    Von Katharina 2n, vor 9 Monaten
  3. Default

    Top!!

    Von Fieser Furz2, vor mehr als einem Jahr
  4. Felix

    @Wipulasinhe: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Super Erklärung aber verstanden habe ich nichts

    Von Wipulasinhe, vor etwa 2 Jahren
  1. Default

    Mann kommt sehr schnell durcheinander

    Von Korr, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Die Übungen sind spitze!

    Von Johannes Meier96, vor fast 4 Jahren
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