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Bedingte Wahrscheinlichkeit und Abhängigkeit

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann der Ausgang in der einen Stufe eine Auswirkung auf die folgende Stufe haben. Man spricht dann von bedingten Wahrscheinlichkeiten.

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Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung spricht man von bedingten Wahrscheinlichkeiten, wenn ein Ereignis von einem anderen abhängt. Um das genauer zu untersuchen, schauen wir uns ein Beispiel an.

Marie und Tom spielen ein Spiel. Zuerst dreht Marie ein Glücksrad mit vier gleich großen Feldern. Davon sind drei rot und eines weiß eingefärbt. Dreht Marie ein rotes Feld, so zieht Tom eine Kugel aus einer Urne mit drei grünen und drei blauen Kugeln. Andernfalls zieht Tom eine Kugel aus einer Urne mit zwei grünen und vier blauen Kugeln.

Der Ausgang des Zufallsexperimentes in der ersten Stufe hat eine Auswirkung auf den Ausgang des Zufallsexperimentes in der zweiten Stufe. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Tom eine blaue Kugel zieht, hängt also davon ab, welche Farbe Marie gedreht hat. Man spricht dann von bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Hier siehst du ein Baumdiagramm zu dem dargestellten zweistufigen Zufallsexperiment. Die Buchstaben $r$ und $w$ stehen für die Farben rot und weiß des Glücksrads. Die Buchstaben $g$ und $b$ stehen für die Farben grün und blau der Kugeln.

3064_Baumdiagramm.jpg

Schauen wir uns einmal ein Beispiel für eine bedingte Wahrscheinlichkeit in diesem Baumdiagramm an. Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel unter der Voraussetzung, dass Marie ein weißes Feld gedreht hat, beträgt $\frac23$. Es gilt $P(b|w)=\frac23$. Du liest dies so:

„Die Wahrscheinlichkeit von $b$ unter der Voraussetzung, dass $w$ bereits eingetreten ist, beträgt $\frac23$.“

Ebenso ist $P(b|r)=\frac12$. Dies ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel unter der Voraussetzung, dass Marie ein rotes Feld gedreht hat.

Du kannst nun verschiedene Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dabei verwendest du die 1. Pfadregel (auch Produktregel genannt) sowie die 2. Pfadregel (auch Summenregel genannt). Dies schauen wir uns nun im Bezug auf das Beispiel an.

Der Multiplikationssatz und der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Marie ein rotes Feld dreht und Tom eine blaue Kugel zieht, ergibt sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Dies ist der Multiplikationssatz:

$P(r\cap b)=P(r )\cdot P(b|r)=\frac34\cdot \frac12=\frac38$

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel ohne festzulegen, was Marie im ersten Durchgang gedreht hat. Hierfür verwendest du den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Du addierst die Wahrscheinlichkeiten $P(r\cap b)$ sowie $P(w\cap b)$:

$P(b)=P(r )\cdot P(b|r)+P(w )\cdot P(b|w)=\frac34\cdot \frac12+\frac14\cdot \frac23=\frac38+\frac16=\frac{13}{24}$

Wenn für zwei Ereignisse $A$ und $B$ die Gleichung $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ gilt, heißen die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig. Dies ist dann der Fall, wenn die Ereignisse sich nicht gegenseitig bedingen.

Der Satz von Bayes

Du kannst dich nun umgekehrt auch fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Marie ein rotes Feld gedreht hat, wenn bereits bekannt ist, dass Tom eine blaue Kugel gezogen hat. Dieses Mal ist nach der bedingten Wahrscheinlichkeit $P(r|b)$ gefragt, welche im Allgemeinen nicht gleich $P(b|r)$ ist. Die Wahrscheinlichkeit $P(r|b)$ kannst du mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnen.

Merke dir für bedingte Wahrscheinlichkeiten:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Im Zähler steht immer die Wahrscheinlichkeit für das verknüpfte Ereignis $A\cap B$. Im Nenner steht immer die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das bereits eingetreten ist.

Vierfeldertafel

Eine weitere Möglichkeit bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen sind Vierfeldertafeln. In diese werden Anzahlen, Anteile oder Wahrscheinlichkeiten eingetragen.