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Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit – Einführung 06:00 min

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Transkript Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit – Einführung

Endlich! Der große Schulausflug steht an. Wohin es geht, bestimmt das Los! Alle Lehrer und Schüler dürfen aus zwei Vorschlägen ihr Lieblingsziel auswählen. Dafür werfen sie ein Los in eine Urne. Zur Wahl stehen dieses Mal: ein Besuch im Museum oder Lasertag! Wohin wird der Ausflug wohl gehen? Um die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ziele zu bestimmen, nutzen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für zwei Ereignisse. Wenn wir einen Zettel aus der Urne ziehen, kann er entweder von einem Schüler...oder von einem Lehrer ausgefüllt worden sein. Und er ist entweder für das Museum oder für Lasertag. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogener Zettel zum Beispiel für das Museum ist, entspricht diesen beiden Pfaden in dem Baumdiagramm. Aber wie rechnen wir diese Wahrscheinlichkeit genau aus? Ersteinmal schreiben wir kurz S für das Ereignis "Schüler" und M für das Ereignis "Museum". Das Gegenereignis zum Ereignis Schüler bezeichnen wir mit nicht S. Ebenso bezeichnen wir das Gegenereignis zum Museum, als nicht M. An die Pfade des Baumdiagramms kommen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogener Zettel von einem Schüler kommt, ist P von S. Aber was gehört an diesen Pfad? Wenn wir dem ganzen Pfad folgen, ist es klar: Das ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P von M unter der Bedingung S, also die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zettel für das Museum von einem Schüler stammt. Die übrigen Pfade beschriften wir nach dem gleichen Muster. Wie wahrscheinlich es ist, dass wir einen Zettel ziehen, der von einem Schüler stammt, und der für den Museumsbesuch stimmt, können wir mit der ersten Pfadregel ausrechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit von S UND M ist dann also gleich der Wahrscheinlichkeit von S...mal der bedingten Wahrscheinlichkeit von M unter der Bedingung S. Ebenso können wir die Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade berechnen. Und wie wahrscheinlich ist es nun insgesamt, dass wir M ziehen? Dafür brauchen wir die zweite Pfadregel: wir addieren also diese beiden Pfadwahrscheinlichkeiten. Moment mal - wieso geht das eigentlich? Wir betrachten zunächst ein Venndiagramm, um zu identifizieren, woraus sich das Ereignis M zusammensetzt. Wo überall finden wir das Ereignis M? Ein Teil von M liegt in S und ein Teil nicht in S. Deshalb setzt sich P von M zusammen aus... der Schnittmenge von S und M, P von "S und M" sowie der Schnittmenge von nicht S und M, P von "nicht-S und M". Findest du diese Wahrscheinlichkeiten in dem Baumdiagramm? Zu P von S und M gehört dieser Pfad...und zu P von nicht S und M dieser. Wichtig ist, immer alle Pfade zu finden, die im gesuchten Ereignis, bei uns also M, enden. P von "S und M" haben wir bereits mit der ersten Pfadregel bestimmt. Ebenso können wir P von "nicht-S und M" bestimmen. Wenn wir die beiden Ausdrücke durch die Produkte ersetzen, erhalten wir die totale Wahrscheinlichkeit für P von M. Um eine Prognose für das Ausflugsziel abgeben zu können, fehlen uns noch die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade. Wir nehmen an, die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gezogener Zettel von einem Schüler stammt, beträgt 97% Wir schreiben das als Dezimalzahl 0,97. Es ist ziemlich wahrscheinlich, dass ein Schüler nicht für den Museumsbesuch ist - sagen wir 70%. Bei den Lehrern ist es wohl ausgeglichener. 56% der Lehrer wollen ins Museum. Die Pfade zu den Gegenereignissen können wir, so wie hier, über die Gegenwahrscheinlichkeiten berechnen. Genauso können wir die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten angeben. Wohin wird der Ausflug denn nun vermutlich gehen? Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für den Museumsbesuch. Die Wahrscheinlichkeiten übernehmen wir aus dem Baumdiagramm und damit ist P von M rund 0,308, also 30,8 %. Es ist also nicht sehr wahrscheinlich, dass der Ausflug ins Museum geht. Ein Glück! Während die Schüler und Lehrer Loszettel einwerfen, fassen wir nochmal zusammen. Zur Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen zeichnet man zunächst ein Baumdiagramm und identifiziert alle Pfade, die in dem gesuchten Ereignis enden. Dann berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade mit Hilfe der ersten Pfadregel und addieren die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten. Als Ausflugsziel wurde auch tatsächlich Lasertag gezogen! Aber was ist das? Ein Lasertag Museum?!

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