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Warum gilt die erste binomische Formel?

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Martin Wabnik
Warum gilt die erste binomische Formel?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Warum gilt die erste binomische Formel?

Der Inhalt dieses Videos geht über den Schulstoff hinaus, denn in der Schule werden dir die binomischen Formeln meistens einfach nur vorgestellt, sodass du die Anwendung nachmachen kannst. Begründet werden diese Formeln in der Regel nicht. Also, warum gilt die erste binomische Formel? Rein formal kann man die Formel auf das ausmultiplizieren von Klammern zurückführen und dieses wiederum kann man auf das Distributivgesetz zurückführen. Dieses kann man nicht mehr von noch Einfacherem herleiten. Letztlich gilt also die erste binomische Formel auch deshalb, weil die Zahlen so sind, wie sie sind bzw. weil wir uns darauf geeinigt haben, auf eine bestimmte Art und Weise mit den Zahlen zu rechnen. Es lässt sich dann feststellen, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche herauskommt, wenn man für a und b Zahlen einsetzt. Bisher ist kein Gegenbeispiel aufgetaucht.

Im Video wird auch der Frage nachgegangen, warum die erste binomische Formal auch dann gilt, wenn du für a und b Terme einsetzt.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Hallo Jörg B.,
    vielen dank für deinen Hinweis. Ich habe den Fehler korrigiert.
    Viel Spaß noch und liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  2. Im Ergebnis der ersten Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen, es muss heißen 4vhoch2, nicht 4uhoch2, da der 2. Faktor 2v in der Aufgabenstellung lautet.

    Von Jörg B., vor mehr als 2 Jahren
  3. Hallo
    In der Arbeitsblätter zum dieses Video
    Aufgabe 4
    (3x^2+2x)^2=9x^4+12x^3+4x^2
    warum 12^3 ?

    Von Tiktak Taktik, vor mehr als 3 Jahren
  4. alles gut. :) Danke

    Von marion b., vor mehr als 4 Jahren
  5. @Ivab0308: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
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Warum gilt die erste binomische Formel? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Warum gilt die erste binomische Formel? kannst du es wiederholen und üben.
  • Löse die Klammern ohne Anwendung der binomischen Formel.

    Tipps

    Beachte, dass Punktrechnung vor Strichrechnung ausgeführt werden muss.

    Dank des Kommutativgesetzes gilt auch $a\cdot b = b \cdot a$.

    Das Quadrat einer Zahl entspricht dem Produkt dieser Zahl mit sich selbst, kurz: $x^2=x \cdot x$.

    Lösung

    Wie du Klammern richtig auflöst, hast du schon gelernt. Falls du dich nicht mehr genau an das Distributivgesetz erinnerst, kannst du dir die Videos zu diesem Thema noch einmal zur Wiederholung anschauen. Dabei solltest du dir merken, dass du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizierst.

    Ein Beispiel:

    • $2(2x + 3) = 4x + 6$
    Wenn du zwei Klammern multiplizierst, musst du jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer multiplizieren. Für unseren Term $(a+b)^2$ gilt also:

    • $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2$.
    Ein Beispiel anhand konkreter Terme könnte folgendermaßen aussehen:

    • $(x +1)(2x + 2)$ = $x\cdot 2x + x\cdot 2 + 1\cdot 2x + 1\cdot 2$ = $2x^{2} + 4x + 2$ .
  • Bestimme, welche Aussagen zur 1. binomischen Formel stimmen.

    Tipps

    Werden $\large{a = 3}$ und $\large{b =2}$ in den Term $\large{(a + b)^{2} = a^{2} +2ab + b^{2}}$ eingesetzt, erhalten wir: $\large{(3 + 2)^{2} = 3^{2} +2\cdot 3\cdot 2 + 2^{2} = 25}$.

    Der Term $\large{a+b}$ nimmt für $\large{a=2\cdot x}$ und $\large{b=y}$ die Form $\large{2 \cdot x + y}$ an.

    Lösung
    • Die Aussage $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ist falsch, da hier die Klammern nicht richtig aufgelöst wurden. Richtig ist $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Dies liegt unter anderem am Distributivgesetz.
    • Die Aussage, dass $(a + b)^{2}$ für $a = 2x$ und $b =y$ gleich $(2x + y)^{2}$ wäre, ist genau richtig. Die anderen beiden Ergebnisse sind somit falsch. Schaue dir die Terme genau an und beachte bei der Umformung die Klammerregeln. Letztlich dürfen die beiden Terme, welche gleichgesetzt sind, nicht doppelt vorkommen oder sich überschneiden.
    • Wenn wir $(a + b)^{2} = a^{2} +2ab + b^{2}$ mit $a = 2$ und $b = 1$ einsetzen, erhalten wir $(2 + 1)^{2} = 2^{2} +2\cdot 2 \cdot 1 + 1^{2} = (3)^{2} = 9$.
  • Entscheide, welche Terme ergebnisgleich sind.

    Tipps

    Schaue dir die Terme genau an und vergleiche sie mit der allgemeinen Form der 1. binomischen Formel.

    Ähnliche Überlegungen kannst du auch beim Satz des Pythagoras anstellen. Um zu überprüfen, ob ein bestimmtes Dreieck rechtwinklig ist, setzt du auch Werte wie $a=3$, $b=4$ und $c=5$ in die Gleichung ein. Es ergibt sich dann $3^2+4^2=5^2$.

    Die Terme sind eindeutig lösbar. Allerdings ist es nicht entscheidend, welcher der beiden Teilterme in der binomischen Formel nun $a$ und welcher $b$ ist.

    Lösung

    Für $a$ und $b$ kannst du beliebige Terme einsetzen. Zum Beispiel kann $a$ eine beliebige Zahl sein, oder auch ein komplizierter Term.

    Wichtig ist, dass du, wenn $a$ und $b$ quadriert werden, die Klammern beachtest. Du musst jeden Faktor einzeln quadrieren.

    • $(2a)^{2} = 4a^{2}$
    • $(3a^{2})^{2} = 9a^{4}$
    • $(2ab)^{2} = 4a^{2}b^{2}$
    Ebenso lassen sich die Terme durch die 1. binomische Formel ausrechnen:

    • $(3u + 2v)^2 = 9u^2 + 12uv + 4v^2$
    • $(5 + 4)^2 = 25 + 40 + 16 = 81$
    • $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$
    • $(3x^2 + 2x)^2 = 9x^4 + 12x^3 + 4x^2$
    • $(3uv + 2)^2 = 9u^2v^2 + 12uv + 4$
  • Ermittle die Ergebnisse der Terme.

    Tipps

    Die erste binomische Formel lautet:

    $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

    Für $a$ und $b$ kannst du beliebige Zahlen oder auch Terme einsetzen.

    $2(a + b)^2 = 2(a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 4ab + 2b^2$

    Lösung

    Wir lösen die Gleichungen mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

    • $(3a + b)^2 = (3a)^2 + 2\cdot 3a \cdot b + b^2 = 9a^2 + 6ab + b^2$
    • $2(a + 7)^2 = 2(a^2 + 14a +49) = 2a^2 + 28a + 98$
    • $(3x + 2x)^2 = (3x)^2 + 2\cdot 3x\cdot 2x + (2x)^2 = 9x^2 + 12x^2 + 4x^2 = 25x^2$
    • $(nf + 3v)^2 = (nf)^2 + 2 \cdot nf\cdot 3v + (3v)^2 = n^2f^2 + 6nfv + 9v^2$

  • Ermittle die richtigen Terme.

    Tipps

    Die 1. binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    In der Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ kannst du auch $a$ durch $x$ und $b$ durch $y$ ersetzen. Dann erhältst du:

    $(x + y)^{2}=x^2+2xy+y^2$

    Das Ergebnis des nur aus Zahlen bestehenden Terms ist $529$.

    Lösung

    Gegeben ist der Term: $(a + b)^{2}=a^2 + 2 \cdot ab + b^2$.

    Wenn wir nun $a$ durch $3u$ ersetzen und $b$ durch $2v$, erhalten wir $(3u + 2v)^{2}$. Multiplizieren wir dies aus, so ergibt sich $(3u + 2v)^{2} = (3u)^2 + 2 \cdot 3u \cdot 2v + (2v)^2$.

    Wir können nun $u = 5$ und $v = 4$ einsetzen, dann erhalten wir $(3 \cdot 5 + 2 \cdot 4)^2 = (15 + 8)^2 = 15^2 + 2 \cdot 15 \cdot 8 + 8^2$.

    Das Ergebnis dieses Terms lautet $529$.

  • Ermittle den faktorisierten Term mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

    Tipps

    Faktorisieren heißt hier, die ursprüngliche Form der binomischen Formel wiederherzustellen.

    Es gilt ja $a^2 +2ab + b^2 = (a + b)^2$.

    Ebenso lässt sich der Term $4x^2 + 8x + 1$ umformen. Wichtig ist zu verstehen, dass in unserem Term $4x^2$ die Rolle von $a^2$ übernimmt und $1$ die Rolle von $b^2$.

    Lösung

    Hier soll die erste binomische Formel rückwärts angewendet werden. Dafür müssen wir den Term faktorisieren.

    $a^2 +2ab + b^2 = (a + b)^2$

    Ebenso lässt sich der Term $4x^2 + 12x + 9$ vereinfachen.

    Anhand der ersten binomischen Formel erkennen wir, dass $a^2 = 4x^2$ und $b^2 = 9$ sein muss. Um $a$ und $b$ bestimmen zu können, müssen wir jeweils die Wurzel ziehen und erhalten somit: $a = 2x$ und $b = 3$.

    Wir können unser Ergebnis kontrollieren, indem wir den Term aufstellen und ausmultiplizieren:

    • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
    • $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 ~~\checkmark$
    Schauen wir uns nun den Term $9u^2 + 30uv + 25v^2$ an.

    Anhand der ersten binomischen Formel erkennen wir, dass $a^2 = 9u^2$ und $b^2 = 25v^2$ sein muss. Um $a$ und $b$ bestimmen zu können, müssen wir jeweils die Wurzel ziehen und erhalten: $a = 3u$ und $b = 5v$.

    Wir können unser Ergebnis kontrollieren, indem wir den Term aufstellen und ausmultiplizieren:

    • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
    • $(3u + 5v)^2 = 9u^2 + 30uv + 25v^2 ~~\checkmark$
    Letztlich wollen wir noch ein Auge auf den etwas schwierigeren Term $8x^2 + 24x + 18$ werfen.

    Anhand der ersten binomischen Formel würden wir erkennen, dass $a^2 = 8x^2$ und $b^2 = 18$ sein muss. Um $a$ und $b$ bestimmen zu können, müssen wir jeweils die Wurzel ziehen. Aus den Zahlen $8$ und $18$ können wir aber nicht bequem die Wurzel ziehen. Wenn wir uns den Term genau angucken, fällt auf, dass wir $2$ ausklammern können und somit Folgendes erhalten:

    • $8x^2 + 24x + 18 = 2(4x^2 + 12x + 9)$.
    Wir erhalten für $a^2 = 4x^2$ und für $b^2 = 9$. Nun können wir die Wurzel problemlos ziehen und erhalten: $a = 2x$ und $b = 3$.

    Wir können unser Ergebnis kontrollieren, indem wir den Term aufstellen und ausmultiplizieren:

    • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
    • $2(2x + 3)^2 = 2(4x^2 + 6x + 9) = 8x^2 + 24x + 18 ~~\checkmark$

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