Wahrscheinlichkeit – Verallgemeinerung

Wahrscheinlichkeit – Verallgemeinerung Übung

• Gib die Eigenschaften an, die eine Wahrscheinlichkeitszuordnung für einen Zufallsversuch mit den Ergebnissen $e_1$ und $e_2$ haben muss.

  Tipps

  Beachte, dass in einem Intervall üblicherweise die kleinere der beiden Zahlen links geschrieben wird.

  Da eine Wahrscheinlichkeit ein Anteil ist, kann sie sicher nicht negativ sein.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge.

  Betrachte als Ereignis die Ergebnismenge selbst.

  Lösung

  Wenn zwei (oder mehreren) Ergebnissen Zahlen zugeordnet werden, die

  1. zwischen $0$ und $1$ liegen und
  2. in ihrer Summe $1$ ergeben,

  spricht man von einer Wahrscheinlichkeitszuordnung $P:~e\rightarrow~[0;1]$. Dabei gilt $P(e_1)+P(e_2)=1$ und allgemein $P(e_1)+...+P(e_n)=1$.

  Die eckigen Klammern bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeiten auch $0$ oder $1$ sein können:

  • $P(\emptyset)=0$: das unmögliche Ereignis
  • $P(\Omega)=1$: das sichere Ereignis

  Dabei ist $\Omega$ die Ergebnismenge. $P(\Omega)$ ist also die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Ergebnisse eintritt. Da dies durch die Definition des Zufallsversuchs gesichert ist, gilt $P(\Omega)=1$.

• Fasse die Definition einer Wahrscheinlichkeit zusammen.

  Tipps

  Schaue dir noch einmal die Definition mit Hilfe der Anteile an:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge.

  Stelle dir vor, du wirfst eine Münze. Dann gilt:

  • $P($Kopf$)=0,5$
  • $P($Zahl$)=0,5$

  Auch für diesen Zufallsversuch gilt die Definition der Wahrscheinlichkeit.

  Lösung

  Wenn man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zuordnet, dass deren Summe $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.

  So sind Wahrscheinlichkeiten oder - genauer - eine Wahrscheinlichkeitszuordnung definiert. Diese Definition ist sicherlich erfüllt, wenn du dir die Definition über die Anteile anschaust:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge.

  Die obere der beiden Definition sagt nichts darüber aus, ob die Zuordnung dem entspricht, was du wohl als Wahrscheinlichkeiten annehmen würdest. Sie ist nur eine theoretische Definition, so wie auch die Wahrscheinlichkeiten theoretische Größen sind, mittels derer im Zusammenhang mit Zufall und auch Zufallsversuchen gerechnet werden soll.

• Berechne die jeweilige Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Die Ergebnismenge ist $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.

  Schaue dir jeweils an, welche Augenzahlen in dem Ereignis liegen.

  Dividiere die Anzahl der Elemente, welche in dem Ereignis liegen, durch die Anzahl aller Elemente (das sind übrigens $6$).

  Lösung

  Die Ergebnismenge beim einmaligen Werfen eines Würfels ist gegeben durch:

  $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.

  Darin befinden sich $6$ Elemente. Nun musst du bei jedem der obigen Ereignisse die Anzahl der Elemente bestimmen und diese Anzahl durch $6$ dividieren.

  • A: Die Augenzahl ist $2$. Dies ist genau ein Element. Damit ist $P(A)=\frac16$.
  • B: Die Augenzahl ist größer als $1$. Das sind fünf Elemente: $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Damit ist $P(B)=\frac56$.
  • C: Die Augenzahl ist gerade. Das sind drei Elemente: $2$, $4$ und $6$. Damit ist $P(C)=\frac36=\frac12$.
  • D: Die Augenzahl ist kleiner oder gleich $4$. Das sind $4$ Elemente: $1$, $2$, $3$ und $4$. Die Wahrscheinlichkeit ist somit $P(D)=\frac46=\frac23$.

• Prüfe, wann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vorliegen könnte.

  Tipps

  Alle Zahlen müssen größer oder gleich $0$ sein.

  Die Summe aller Zahlen muss gleich $1$ sein.

  Mache dir keine Gedanken darüber, ob diese Zuordnung realistisch sein könnte oder nicht. Es geht ausschließlich um die Definition.

  Lösung

  Wenn man allen Elementen einer Menge Zahlen zwischen $0$ und $1$ so zuordnet, dass deren Summe $1$ ist, sind diese Zahlen Wahrscheinlichkeiten.

  Das bedeutet, dass alle Zahlen größer oder gleich $0$ sowie kleiner oder gleich $1$ sein müssen. Darüber hinaus muss die Summe der Zahlen $1$ sein. Dies schauen wir uns nun einmal bei den gegebenen Zahlen an und prüfen, ob es sich tatsächlich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

  • $P(e_1)=0$, $P(e_2)=0,4$, $P(e_3)=0,6$: Alle Zahlen liegen zwischen $0$ und $1$ und zusätzlich gilt $0+0,4+0,6=1$. Dies ist eine Wahrscheinlichkeitszuordnung. ✓
  • $P(e_1)=P(e_2)=0,3$, $P(e_3)=0,5$: Auch diese Zahlen liegen zwischen $0$ und $1$. Allerdings ist $0,3+0,3+0,5=1,1\neq 1$. Dies ist keine Wahrscheinlichkeitszuordnung.
  • $P(e_1)=0,2$, $P(e_2)=0,3$, $P(e_3)=0,5$: Alle Zahlen liegen zwischen $0$ und $1$. Es ist $0,2+0,3+0,5=1$. Dies ist eine Wahrscheinlichkeitszuordnung. ✓
  • $P(e_1)=0,8$, $P(e_2)=0,1$, $P(e_3)=0,1$: Wieder liegen alle Zahlen zischen $0$ und $1$ und es ist $0,8+0,1+0,1=1$. Dies ist ebenfalls eine Wahrscheinlichkeitszuordnung. ✓
  • $P(e_1)=-0,1$, $P(e_2)=0,4$, $P(e_3)=0,7$: Da $-0,1<0$ ist, kann keine Wahrscheinlichkeitsverteilung vorliegen.
  • $P(e_1)=0,2$, $P(e_2)=0,4$, $P(e_3)=0,6$: Hier liegen wieder alle Zahlen zwischen $0$ und $1$. Es ist allerdings $0,2+0,4+0,6=1,2$. Somit liegt keine Wahrscheinlichkeitszuordnung vor.

• Beschreibe, wie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Anteil definiert wird.

  Tipps

  Eine Wahrscheinlichkeit ist

  • zum einen größer oder gleich $0$ und
  • zum anderen kleiner oder gleich $1$.

  Anzahlen können auch größer als $1$ sein wie zum Beispiel $2$, $3$, $4$, ...

  Ein Beispiel: Ein Würfel wird einmal geworfen. Das Ereignis sei „gerade Augenzahl“.

  • In dem Ereignis befinden sich $3$ Elemente: $2$, $4$ und $6$.
  • In der Ergebnismenge befinden sich $6$ Elemente, die Zahlen zwischen $1$ und $6$.

  Damit ist $P(E)=\frac36=\frac12$.

  Lösung

  Eine Wahrscheinlichkeit ist als ein Anteil definiert. Damit ist bereits klar, dass eine Wahrscheinlichkeit

  • zum einen größer oder gleich $0$ und
  • zum anderen kleiner oder gleich $1$ sein muss.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge.

  Dies kannst du dir an einem Beispiel klarmachen: In einer Urne befinden sich $20$ Kugeln. Davon sind jeweils $8$ rot und grün sowie $4$ blau. Damit kannst du die folgenden Wahrscheinlichkeiten bestimmen:

  • $P($rot$)=P($grün$)=\frac8{20}=0,4$
  • $P($blau$)=\frac4{20}=0,2$

  Du dividierst also jeweils die Anzahl der entsprechenden (roten/grünen/blauen) Kugeln durch die Gesamtzahl.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Es gibt $2^4=16$ solcher Quadrupel.

  Jedes dieser Quadrupel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit $\frac1{16}$.

  Schaue dir an, wie viele Quadrupel kein, ein, zwei, drei oder vier „K“ enthalten.

  Hier siehst du zum Beispiel die Quadrupel mit einmal „K“:

  • $($K,Z,Z,Z$)$
  • $($Z,K,Z,Z$)$
  • $($Z,Z,K,Z$)$
  • $($Z,Z,Z,K$)$

  Beachte: Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du $1$.

  Lösung

  Da es insgesamt $2^4=16$ solcher Quadrupel gibt, musst du jeweils schauen, wie viele Quadrupel die entsprechende Anzahl „K“ enthält:

  • $e_0$: Es wird nie „K“ geworfen. Dies ist das Quadrupel $($Z,Z,Z,Z$)$. Damit ist $P(e_0)=\frac1{16}=0,0625$.
  • $e_1$: Es wird einmal „K“ geworfen. Dies sind vier Quadrupel $($K,Z,Z,Z$)$, $($Z,K,Z,Z$)$, $($Z,Z,K,Z$)$ sowie $($Z,Z,Z,K$)$. Damit ist $P(e_1)=\frac4{16}=\frac14=0,25$.
  • $e_2$: Es wird zweimal „K“ geworfen. Dies sind sechs Quadrupel $($K,K,Z,Z$)$, $($K,Z,K,Z$)$, $($K,Z,Z,K$)$, $($Z,K,K,Z$)$, $($Z,K,Z,K$)$ sowie $($Z,Z,K,K$)$. Damit ist $P(e_2)=\frac6{16}=\frac38=0,375$.
  • $e_3$: Es wird dreimal „K“ geworfen. Dies sind vier Quadrupel $($Z,K,K,K$)$, $($K,Z,K,K$)$, $($K,K,Z,K$)$ sowie $($K,K,K,Z$)$. Damit ist $P(e_3)=\frac4{16}=\frac14=0,25$.
  • $e_4$: Es wird viermal „K“ geworfen. Dies ist das Quadrupel $($K,K,K,K$)$. Damit ist $P(e_4)=\frac1{16}=0,0625$.

  Alle diese Zahlen liegen zwischen $0$ und $1$. Nun prüfen wir noch, ob die Summe dieser Zahlen tatsächlich $1$ ergibt:

  $0,0625+0,25+0,375+0,25+0,0625=1$ ✓

  Dies ist somit eine Wahrscheinlichkeitszuordnung.