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Wahrscheinlichkeit – Definition 08:04 min

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Transkript Wahrscheinlichkeit – Definition

Hallo. Willkommen zur wichtigsten Definition der ganzen Wahrscheinlichkeitsrechnung, nämlich zur Definition der Wahrscheinlichkeit. Und hier ist sie. (Musik) So, wir machen ganz unspektakulär weiter. Wir müssen uns eben angucken, was ein Ereignis ist. In der Mathematik ist ein Ereignis keine spektakuläre Begebenheit, sondern einfach eine Menge von Ergebnissen. Das möchte ich kurz mal zeigen an einem Beispiel. Wir haben hier vier Karten. Das ist Pik Dame, Kreuz Ass, Karo Ass und Karo Bube. Die kann man mischen, vor sich hinlegen und zufällig eine Karte ziehen. Dann haben wir einen Zufallsversuch. Und so sieht dann die Ergebnismenge aus. Nicht wahr, wir haben hier Karo Ass, Kreuz Ass, Pik Dame und Karo Bube. Wir können jetzt die beiden Asse zu einer Menge zusammenfassen und das veranschaulichen hier mit so einer roten Linie. Diese rote Menge ist jetzt eine Menge von Ergebnissen und damit ist sie ein Ereignis. Was wir auch manchen können: wir können Karo Bube als Menge sehen. Diese blaue Menge enthält nur ein Ergebnis. Trotzdem ist diese blaue Menge jetzt ein Ereignis, weil es eine Menge von Ergebnissen ist. Und übrigens ist diese gesamte Ergebnismenge ja auch eine Menge von Ergebnissen. Und damit ist die Ergebnismenge auch ein Ereignis. Sehen wir uns nun die Wahrscheinlichkeit an. “Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge”. Und das können wir uns auch an einem Beispiel verdeutlichen. Wir haben hier wieder diese vier Karten. Zwei dieser Karten sind Asse und zwei dieser Karten sind nicht Asse. Der Anteil der Asse an der gesamten Ergebnismenge ist 2/4, weil zwei von vier Karten Asse sind. 2/4 ist 1/2. Deshalb können wir sagen: Der Anteil der Asse an der Ergebnismenge ist 1/2 und damit auch: die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Ass ist bei diesem Zufallsversuch 1/2. Und das kann man aufschreiben. Das sieht dann ungefähr so aus. Wir haben hier oben die Ergebnismenge. Das sind die vier Karten, die man ziehen kann. Die Ergebnismenge habe ich Omega genannt. Die heißt auch manchmal anders – S oder G. Hier ist eine Menge von Ergebnissen. Die beiden Asse habe ich zu einer Menge zusammengefasst. Das ist ein Ereignis. Dieses Ereignis habe ich „Ass“ genannt. Und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Ass“ ist 1/2. P steht da deshalb, weil „Wahrscheinlichkeit“ im Englischen „probability“ heißt. Und das liest man: P von Ass ist gleich ein Halb. Oder: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Ass“ ist gleich ein Halb. Wir können den Zufallsversuch ein bisschen abändern. Hier sind zwei weitere Karten: Pik 4 und Pik 8. Das sind keine Asse. Und wenn wir die jetzt dazu tun, dann haben wir vier Karten, die keine Asse sind und zwei Karten, die Asse sind. Wenn wir die Karten jetzt also mischen und eine ziehen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Ass“ kleiner geworden. Denn der Anteil der Asse an allen Karten ist geringer geworden. Der Anteil beträgt jetzt 2/6. Weil zwei Karten von sechs Karten Asse sind. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Ass“ ist dann also 2/6 oder eben auch 1/3. Das ist ja das Gleiche. Das kann man noch vernünftig aufschreiben und das sieht dann so aus. Wir haben hier die sechs Karten. Das ist die Ergebnismenge Omega. Hier heißt sie Omega. Manchmal heißt sie auch anders. Wir haben das Ereignis „Ass“. Das ist eine Menge, die die beiden Asse enthält. Und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Ass“ ist 1/3. Man kann auch sagen: P von Ass ist ein Drittel. Weil eben der Anteil der Asse an allen Ergebnissen 1/3 ist. Wir können uns diese Begriffe an einem weiteren Beispiel ansehen. Das ist sehr ähnlich. Jetzt nehme ich drei Karten. Eine Karte ist ein Ass und zwei Karten sind nicht Asse. Wir können uns jetzt das Ereignis vorstellen, das „Ass“ heißt. Dieses Ereignis enthält nur ein einziges Ergebnis, nämlich Kreuz Ass. Wir können dann sagen, dass der Anteil des Ereignisses „Ass“ an allen Ergebnissen 1/3 ist, weil nämlich eine Karte von dreien ein Ass ist. Und damit ist auch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Ass“ gleich 1/3. Und auch das können wir noch vernünftig aufschreiben. Das sieht dann ungefähr so aus: hier ist die Ergebnismenge. Die besteht jetzt nur aus drei Ergebnissen. Das Ereignis „Ass“ besteht nur aus einem Ergebnis. Und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Ass“ ist 1/3. Oder man könnte auch sagen: P von „Ass“ ist gleich ein Drittel. So, das waren die ersten zugegebenermaßen sehr ähnlichen Beispiele zu diesen neuen Begriffen. Jetzt möchte ich noch eine kleine Anmerkung loswerden. Und zwar kann man ja öfter hören, dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein bisschen komisch sei. Denn mit Wahrscheinlichkeiten könnte man ja irgendwie nicht rechnen. Denn, wenn etwas wahrscheinlich ist, dann weiß man eben nicht sicher, ob es so ist oder nicht. Dann ist man unsicher. Und das ist doch komisch, dass man damit rechnen kann – sagen Leute schon mal. Nun, wir dürfen da zwei Sachen nicht durcheinanderwerfen. Wenn wir im täglichen Leben von „wahrscheinlich“ sprechen, dann meinen wir ein Gefühl. Ein Gefühl, dass uns sagt, wie sehr wir etwas erwarten. Zum Beispiel kann man sagen: heute regnet es wahrscheinlich nicht. Oder man kann sagen: in der nächsten Mathearbeit schreibe ich wahrscheinlich eine eins. Oder: wahrscheinlich bekomme ich heute einen Liebesbrief. Dann sagt das etwas darüber aus, welches Gefühl wir haben; wie sehr wir etwas erwarten. Das, was hier an der Tafel steht, ist was völlig Anderes. Hier ist die Wahrscheinlichkeit definiert als Anteil eines Ereignisses an der Ergebnismenge. Ein solcher Anteil ist ein Bruch. Ein Bruch ist eine ganz normale Zahl wie du und ich. Und damit kann man rechnen. Und da kann man auch sehr exakt rechnen. Noch genauer gesagt: diese Wahrscheinlichkeit ist eine Aussage über Teilmengen der Ergebnismenge – über nichts weiter. Hat nichts mit irgendeinem Gefühl zu tun. Und wenn man diese beiden Sachen trennt, dann ist man sicher: mit dem Gefühl kann man nicht rechnen, mit dieser Wahrscheinlichkeit aber kann man rechnen. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

7 Kommentare
  1. Default

    hilfreich

    Von Nick 8, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Nice

    Von Niklas Kaiser10, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Sie sind der Beste!

    Von Iukirschef, vor etwa 2 Jahren
  4. Default

    Interesant gemacht;)

    Von Michael M., vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    lustiger vorspann

    Von Simi 4, vor mehr als 3 Jahren
  1. Default

    verstehe

    Von Flightsoft, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Tolles Video

    Von Gaia B., vor mehr als 4 Jahren
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Wahrscheinlichkeit – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere den Begriff „Wahrscheinlichkeit“.

    Tipps

    In der Ergebnismenge sind alle möglichen Ergebnisse zu einer Menge zusammengefasst.

    Schau dir an, wie viele Elemente sich in dem Ereignis befinden und berechne das Verhältnis ihrer Anzahl zu der Anzahl der Elemente in der Grundmenge. Dies ist dann die Wahrscheinlichkeit für das untersuchte Ereignis.

    Beispielsweise befinden sich in einer Klasse $20$ Schüler, $15$ Mädchen und $5$ Jungen.

    Es wird eine Person zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um ein Mädchen handelt?

    Richtig: $\frac{15}{20}=\frac34=0,75=75\%$.

    Eine Wahrscheinlichkeit wird durch eine Zahl angegeben, die größer oder gleich $0$ ist und kleiner oder gleich $1$ ist.

    Lösung

    Was versteht man unter Wahrscheinlichkeit?

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge.

    Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

  • Fasse Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit zusammen.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Es gilt zum Beispiel $\frac25>\frac27$.

    Wenn in einem Bruch bei gleichbleibendem Zähler der Nenner größer wird, so wird der Wert des Bruches kleiner.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Die Wahrscheinlichkeit hängt laut Definition

    • sowohl von der Anzahl der Elemente des Ereignisses
    • als auch von der Anzahl der Elemente der Grundmenge ab.
    Wenn sich also die Anzahl der Elemente in der Grundmenge vergrößert, die Anzahl der Elemente des Ereignisses aber gleich bleibt, so wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses kleiner.

  • Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge.

    Schau dir an, wie viele Elemente sich in dem Ereignis befinden und berechne das Verhältnis ihrer Anzahl zu der Anzahl der Elemente in der Grundmenge. Dies ist dann die Wahrscheinlichkeit für das untersuchte Ereignis.

    In dieser Aufgabe kannst du so weit kürzen, bis der Zähler $1$ ergibt.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Die Wahrscheinlichkeit hängt laut Definition

    • sowohl von der Anzahl der Elemente in dem Ereignis
    • als auch von der Anzahl der Elemente in der Grundmenge ab.
    Aufgabe 1
    Sei $\Omega=\{\text{KreuzAss, KaroAss, PikDame, KaroBube}\}$ und das Ereignis Ass seien die Karten, welche ein Ass darstellen, dann ist

    $P(\text{Ass})=\frac24=\frac12=0,5=50\%$,

    da sich zwei Elemente in dem Ereignis Ass und vier in der Grundmenge befinden.

    Wahrscheinlichkeiten können als Bruch oder Dezimalzahl oder Prozentsatz angegeben werden.

    Aufgabe 2
    Sei $\Omega=\{\text{KreuzAss, KaroAss, PikDame, KaroBube, Pik4, Pik8}\}$. $\Omega$ ist nun um zwei Elemente vergrößert. Da das Ereignis Ass nach wie vor zwei Elemente beinhaltet, verändert sich die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Es gilt nun

    $P(\text{Ass})=\frac26=\frac13=0,\bar3=33,\bar3\%$.

    Durch die größere Grundmenge verkleinert sich die Wahrscheinlichkeit, bestimmte Karten zu ziehen.

  • Leite die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses her.

    Tipps

    Wie sieht die Grundmenge $\Omega$ aus?

    Die Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind Paare.

    Da das Ergebnis jedes Wurfes direkt aufgeschrieben wird, ist die Reihenfolge von Bedeutung.

    Wie viele Paare gehören zu dem Ereignis $A$.

    Teile die Anzahl der Paare in $A$ durch die der Paare in $\Omega$.

    Lösung

    Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Da die Münze zweimal geworfen wird, sind die Ergebnisse Paare, welche in der Ergebnismenge zusammengefasst werden:

    $\Omega=\{$(K|K),(K|Z),(Z|K),(Z|Z)$\}$.

    Es befinden sich also vier Elemente in $\Omega$.

    Wie sieht das Ereignis $A$ aus?

    $A=\{$(K|Z),(Z|K)$\}$.

    Hier befinden sich zwei Elemente. Nun kann die Anzahl der Elemente in $A$ durch die der Elemente in $\Omega$ geteilt werden:

    $P(A)=\frac24=\frac12=0,5=50\%$.

    Wichtig ist dabei zu beachten, dass

    • (K|Z) und (Z|K) verschiedene Ergebnisse sind sowie,
    • dass jedes der Ergebnisse aus $\Omega$ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $0,25$ eintritt.

  • Überprüfe die folgenden Aussagen über Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Ist die Ergebnismenge endlich, so kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit der Formel von Laplace berechnet werden.

    $\large{P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}}$.

    Dabei gibt der Betrag einer Menge die Anzahl der Elemente einer Menge an.

    Um Aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu machen, muss die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge $\Omega$ größer $0$ sein und die Anzahl der Elemente eines Ereignisses größer oder gleich $0$ sein.

    Weißt du noch, in welchem Intervall sich relative Häufigkeiten befinden?

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Auch die Ergebnismenge selbst ist ein Ereignis und die leere Menge ebenfalls.

    Mehr Elemente als die der Ergebnismenge kann ein Ereignis nicht enthalten und auch nicht weniger als kein Element. Somit ist

    • die größtmögliche Wahrscheinlichkeit $1$ und
    • die kleinstmögliche $0$.
    Das heißt, Wahrscheinlichkeiten
    • sind immer größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$,
    • sind nie negativ.

  • Bestimme die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Du kannst jeweils die Anzahl der Kugeln bestimmen, die zum Ereignis gehören.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dessen Anteil an der Ergebnismenge.

    Es wird jedes Mal durch die Anzahl der Kugeln in der Urne, nämlich $10$, geteilt.

    Lösung

    In einer Urne befindet sich eine gewisse Anzahl Kugeln mit verschiedenen Eigenschaften.

    In diesem Beispiel befinden sich in der Urne $10$ Kugeln:

    • $2$ weiße,
    • $3$ grüne,
    • $4$ rote und
    • $1$ blaue.
    Es liegt ein Zufallsexperiment vor, es kann also erst nach Abschluss des Ziehens festgestellt werden, welche Farbe die Kugel besitzt.

    • Es wird eine rote Kugel gezogen: $P(A)=\frac4{10}=0,4=40\%$.
    • Es wird keine rote Kugel gezogen: $P(B)=\frac6{10}=0,6=60\%$.
    • Es wird eine grüne oder weiße Kugel gezogen: $P(C)=\frac5{10}=0,5=50\%$.
    • Es wird eine grüne oder rote Kugel gezogen: $P(D)=\frac7{10}=0,7=70\%$.