30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Wahrscheinlichkeit – Beispiele mit Länge und Fläche 05:08 min

Textversion des Videos

Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiele mit Länge und Fläche

Hallo. Wenn du weißt, was Zufallsversuche sind und Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten, dann können wir uns jetzt mal zwei Beispiele dazu angucken. Das hier ist so eine Art Glücksrad. Wenn dir das nicht ganz geläufig ist, ich zeige es noch mal. Hier habe ich mal sowas ähnliches wie ein Glücksrad aufgemalt. Ja, es ist rund. Man dreht das. Und meistens ist oben so ein Zeiger. Und wenn das Glücksrad gedreht wird, dann bleibt es irgendwann stehen und der Zeiger oben zeigt auf einen Sektor dieses Glücksrades. Wenn er ihr auf „Bööp!“ zeigt, dann habt ihr wahrscheinlich gar nichts gewonnen. Wenn man „Joker“ dreht, so sagt man das, dann hat man alles gewonnen vielleicht. Und wenn man andere Zahlen hat, hier wie „2“ oder so – weiß nicht, was dann passiert. So ähnlich funktioniert das Glücksrad. Und hier ist das auch so. Das ist nicht unbedingt ein Glücksrad, sondern eher ein Sand-Stein-Garten, ja, für die kleine Meditation zwischendurch. Dieses Rad kann man drehen. Und wenn man dann den Finger hier dranhält, wird das irgendwann anhalten. Und der Finger wird auf irgendeine Stelle zeigen, wenn das Rad angehalten hat. Wenn man das so sachte macht wie ich jetzt, dann weiß man nicht beim Drehen, wo das Rad anhalten wird, auf welche Stelle der Finger zeigen wird. Deshalb dreht man hier zufällig. Die Ergebnisse sind die Stellen auf dem Rand dieses Rades, auf die der Finger zeigen kann. Und jetzt könnten wir uns noch für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit interessieren. Ja, hier haben wir einen Würfel, da sind zwei Würfel. Da können wir sagen, okay, das hier ist Sektor eins, ja, dieses Stück hier. Und da ist Sektor zwei. Von zwei Würfel bis drei Würfel ist Sektor zwei. Und hier ist Sektor drei. Und dann ist entsprechend hier Sektor sieben. Und da ist Sektor acht. Wir könnten uns fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Sektor acht? Ja, also dass der Finger auf Sektor acht zeigen wird. Das habe ich jetzt natürlich mit Absicht gemacht. Dann müssten wir nachmessen, wie lang dieser Kreisbogen ist und den ins Verhältnis setzen zum gesamten Umfang dieses Kreises. Das heißt, wir messen einfach nach und sagen okay, diese Länge geteilt durch Kreisumfang ist die Wahrscheinlichkeit für Sektor acht. Und das Ganze habe ich auch noch aufgeschrieben. Wir haben den Zufallsversuch. Das ist das Anhalten des sich drehenden Rades beziehungsweise des Meditationsgartens. Wir haben die Ergebnismenge. Das sind die Randpunkte des Rades. Und wir haben die Wahrscheinlichkeit von Sektor acht P(Sektor 8): “P von Sektor acht”. Nicht wahr, so schreibt man das und so sagt man das. Und dazu müssen wir die Kreisbogenlänge von Sektor acht teilen durch den Umfang des Rades. Und damit haben wir dann den Anteil des Ereignisses an der Ergebnismenge berechnet. Heißt natürlich: Wenn wir da jetzt konkrete Zahlen einsetzen würden. Für den zweiten Zufallsversuch brauchen wir hier eine Vorlage. Hier sind mehrere Einbahnstraßenschilder. Das heißt also, ein Teil dieser weißen Fläche ist mit Einbahnstraßenschildern bedeckt. Und ein anderer Teil der Fläche ist weiß. Man könnte jetzt irgendwo auf eine Stelle dieser Fläche hier tippen und sich dann überlegen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man ein Einbahnstraßenschild trifft. Wenn man da drauf tippt, kann man das natürlich nicht so machen. Dann sieht man ja, wo man hin tippt. Sondern man muss das natürlich mit verbundenen Augen machen. So, jetzt sehe ich nichts mehr. Und jetzt werde ich auch gedreht, damit ich nicht weiß, wo ich bin und wo das Blatt ist. Okay. Und jetzt kann ich irgendwo hin tippen. Und zwar hier. Das war so ein Zufallsversuch. Und hier ist das ganze nochmal in schriftlich. Der Zufallsversuch besteht aus dem Tippen auf eine Stelle dieser Fläche. Die Ergebnismenge beinhaltet alle Stellen, auf die man tippen kann. Und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Tippen auf eine Einbahnstraße“ ist gleich dem Quotienten aus „Fläche der Einbahnstraßen“ und „Gesamtfläche“. Das waren also zwei Zufallsversuche mit Ergebnismengen, deren Elemente man nicht einfach so abzählen kann. Und auf beide Zufallsversuche konnten wir diese Definition der Wahrscheinlichkeit anwenden. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare
  1. gut aber gibt besseres

    Von B Lona, vor fast 3 Jahren
  2. gutes video

    Von Marla S., vor fast 5 Jahren

Wahrscheinlichkeit – Beispiele mit Länge und Fläche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Beispiele mit Länge und Fläche kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Wahrscheinlichkeit für den Sektor $8$ an.

    Tipps

    Verwende diese Definition einer Wahrscheinlichkeit:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge.

    Da eine Wahrscheinlichkeit als Anteil definiert ist, muss die Zahl im Zähler sicher kleiner sein als die im Nenner.

    Die Wahrscheinlichkeit wird in diesem Beispiel über Längen berechnet.

    Lösung

    Wir verwenden diese Definition der Wahrscheinlichkeit:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge.

    Das Ereignis ist hier der Sektor $8$, genauer: die Punkte auf dem Rand dieses Sektors. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses gegeben durch:

    $P($„Sektor $8$“$)=\frac{\text{Kreisbogenlänge von Sektor } 8}{\text{Umfang des Rades}}$.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit, zufällig auf eine Einbahnstraße zu zeigen.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit wird als Anteil berechnet.

    Die Zahl im Zähler muss kleiner sein als die im Nenner.

    Es werden Flächen in Relation zueinander betrachtet.

    Lösung

    Wenn du mit einem Finger (ohne Hinzuschauen, also ohne Wissen) auf diese Fläche tippst, liegt ein Zufallsversuch vor.

    Die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsversuchs sind alle möglichen Stellen der Gesamtfläche. Diese Stellen zusammen sind also die Ergebnismenge.

    Du möchtest wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass du auf einen blauen Pfeil, also eine Einbahnstraße, tippst: Das ist ein Ereignis.

    Verwende nun die folgende Definition:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge.

    Damit ist $P($Einbahnstraße$)=\frac{\text{Fläche der Einbahnstraßen}}{\text{Gesamtfläche}}$.

  • Ermittle die jeweilige Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von „rot“.

    Tipps

    Anstatt die Längen miteinander zu vergleichen, kannst du auch die Flächen miteinander vergleichen. Das Verhältnis ist das gleiche.

    Es sind alle Sektoren gleich groß.

    Zähle, wie viele Sektoren das Glücksrad insgesamt hat.

    Dividiere dann die Zahl der roten Sektoren durch die Gesamtzahl. Kürze, sofern möglich.

    Lösung

    An diesem Beispiel kannst du recht gut die Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nachvollziehen: Es ist der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge.

    Hier ist die Ergebnismenge

    • der gesamte Umfang, wenn du Längen zugrundelegst, oder
    • die gesamte Fläche, wenn du die Flächen zugrundelegst.
    Egal, von welchen Verhältnissen du ausgehst, die Wahrscheinlichkeiten ändern sich dadurch nicht.

    Da alle Sektoren (dies sind insgesamt acht) gleich groß sind, dividierst du die Zahl der roten Sektoren durch $8$.

    Bei dem abgebildeten Glücksrad führt dies zu $P($rot$)=\frac48=\frac12$.

    Alle übrigen Wahrscheinlichkeiten der Glücksräder (von links nach rechts) kannst du ebenso bestimmen:

    • $P($rot$)=\frac58$
    • $P($rot$)=\frac38$
    • $P($rot$)=\frac28=\frac14$
  • Leite die Wahrscheinlichkeiten durch den Anteil der Flächen an der Gesamtfläche her.

    Tipps

    Du kannst deine Rechnung kontrollieren: Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten addierst, kommt $1$ heraus.

    Alle Quadrate sind gleich groß. Du kannst von einer Flächeneinheit pro Quadrat ausgehen.

    Die Wahrscheinlichkeit, ein Quadrat mit einer bestimmten Farbe zu treffen, berechnet sich als Quotient aus der Fläche aller Quadrate mit dieser Farbe und der Gesamtfläche.

    Du kannst auch jeweils die Anzahl der Quadrate in der entsprechenden Farbe zählen und diese Zahl durch die Gesamtzahl der Quadrate dividieren.

    Lösung

    Dieser Teppich besteht aus insgesamt $20$ Quadraten. Wenn jedes dieser Quadrate eine Flächeneinheit (FE) groß ist, sind das insgesamt $20$ FE.

    Nun schauen wir uns an, welche Fläche die einzelnen Farben abdecken:

    • Rot: $6$ FE, also ist $P_\text{rot}=\frac{6\text{ FE}}{20\text{ FE}}=0,3$.
    • Blau: $7$ FE, also ist $P_\text{blau}=\frac{7\text{ FE}}{20\text{ FE}}=0,35$.
    • Grün: $3$ FE, also ist $P_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}=\frac{3\text{ FE}}{20\text{ FE}}=0,15$.
    • Rosa: $4$ FE, also ist $P_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}=\frac{4\text{ FE}}{20\text{ FE}}=0,2$.
    Du kannst deine Ergebnisse noch kontrollieren. In der Summe müssen die Wahrscheinlichkeiten $1$ ergeben:

    $0,3+0,35+0,15+0,2=1$ ✓

  • Definiere die Wahrscheinlichkeit als Anteil.

    Tipps

    Was ist eigentlich eine Ergebnismenge?

    Schauen wir uns dies an einem Beispiel an. Ein Spielwürfel wird einmal geworfen und die Augenzahl betrachtet. Welche Zahl liegt oben?

    Dann ist die Ergebnismenge

    $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$

    die Menge, welche alle möglichen Ergebnisse enthält.

    Das Ereignis A „Gerade Augenzahl“ lässt sich wie folgt schreiben:

    $A=\{2;4;6\}$.

    Sei A das Ereignis „Gerade Augenzahl“, dann ist

    $P(A)=\frac36=\frac12$.

    Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen $0$ und $1$.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann in Form eines Anteils definiert werden:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Anteil dieses Ereignisses an der Ergebnismenge. Dies drücken wir häufig in Form eines Bruches aus.

    Was ist eigentlich ein Ereignis? Ein Ereignis ist eine Menge an Ergebnissen. Ergebnisse sind die möglichen Ausgänge eines Zufallsversuchs.

  • Berechne die Anzahl der roten Felder, damit das Spiel fair ist.

    Tipps

    Forme die gegebene Gleichung nach $p$ um.

    Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu drehen, ist zum Beispiel bei drei roten Feldern gegeben durch $P($rot$)=\frac38$.

    Da die Anzahl der roten Felder $a$ unbekannt ist, musst du die Gleichung $p=\frac a8$ nach $a$ umformen.

    Lösung

    In dieser Aufgabe ist sowohl die Wahrscheinlichkeit als auch die Anzahl der roten Felder unbekannt.

    Es ist aber bekannt, dass das Spiel für Paul (und somit auch für den Anbieter des Spiels) fair sein soll. Das bedeutet, dass die erwartete Auszahlung dem Einsatz entsprechen muss:

    $p\cdot 5~€+(1-p)\cdot 1~€=2~€$.

    Diese Gleichung kann nach $p$ (jeweils ohne die Einheit $€$) umgeformt werden:

    $\begin{array}{rclll} p\cdot 5+(1-p)\cdot 1&=&2\\ 5p+1-p&=&2\\ 4p+1&=&2&|&-1\\ 4p&=&1&|&:4\\ p&=&\frac14 \end{array}$

    Da nun die Wahrscheinlichkeit für das Treffen eines roten Sektors bekannt ist, musst du noch die Anzahl der Felder bestimmen. Seien $a$ von acht Feldern rot, dann muss gelten:

    $P($rot$)=\frac14=\frac{a}8$.

    Multipliziere mit $8$, so erhältst du $a=2$. Dies ist die gesuchte Anzahl der roten Sektoren.