Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz

Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz Übung

• Fasse den Ablauf bei einer Dreisatzaufgabe zusammen.

  Tipps

  Überlege zunächst, was bei einer Dreisatzaufgabe gegeben ist.

  Das Ziel ist die Berechnung der Kosten einer beliebigen anderen Anzahl an Bonbons.

  Wir rechnen immer zunächst auf die Einheit um.

  Lösung

  Beim Dreisatz betrachten wir zunächst, was gegeben ist.

  $1)$ $6$ Bonbons ($\text{B}$) kosten $12$ Cent ($\text{ct}$).

  Verschriftlicht sieht das so aus:

  $2)$ $6\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }12\text{ ct}$.

  Im ersten Schritt rechnen wir auf die Einheit um.

  $3)$ Um zu berechnen, was $1$ Bonbon kostet, teilen wir beide Seiten durch die Gesamtanzahl $6$.

  Also:

  $4)$ $1\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }2\text{ ct}$.

  Im letzten Schritt berechnen wir die Kosten für eine gewünschte Anzahl an Bonbons.

  $5)$ Für die Berechnung der Kosten einer ganzen Tüte mit $80$ Bonbons multiplizieren wir beide Seiten mit $80$.

  Die Rechnung lautet:

  $6)$ $80\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }160\text{ ct}=1,60\text{ €}$.

• Gib an, wie man beim Aufstellen einer proportionalen Funktion vorgeht.

  Tipps

  Gehe von der allgemeinen Formel aus und spezifiziere diese Schritt für Schritt.

  Beachte, dass du stets auf beiden Seiten der Gleichung multiplizierst, dividierst oder Ähnliches.

  Lösung

  Um aus einer Textaufgabe eine Rechnung mit einer proportionalen Funktion zu machen, betrachte zunächst, was gegeben ist, und spezifiziere die allgemeine Funktionsgleichung Schritt für Schritt.

  $1)$ Zunächst benötigt Jakob die allgemeine Funktionsgleichung für eine proportionale Funktion.

  $\begin{array}{rll} y&=&m\cdot x\\ \end{array}$

  $2)$ Das gegebene Wertepaar $(6|12)$ setzt Jakob nun in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

  $\begin{array}{rll} 12&=&m\cdot 6 \\ \end{array}$

  $3)$ Als Nächstes bestimmt er den Proportionalitätsfaktor $m$, indem er auf beiden Seiten der Gleichung durch $6$ teilt.

  $\begin{array}{rll} 12&=&m\cdot 6 &|&:6 \\ 2&=&m \end{array}$

  $4)$ Mit dem zuvor bestimmten $m$ kann Jakob die konkrete Funktionsgleichung aufstellen.

  $\begin{array}{rll} y&=&2\cdot x \\ \end{array}$

  $5)$ Jakob kann nun bestimmen, wie viel $80$ Bonbons kosten, indem er in seine aufgestellte Funktionsgleichung $x=80$ einsetzt.

  $\begin{array}{rll} y&=&2\cdot 80 \\ y&=&160\\ \end{array}$

  Damit kosten $80$ Bonbons $160 \text{ ct}$, also $1,60 \text{ €}$, und er kann von seinem Taschengeld eine ganze Tüte kaufen.

• Leite aus der proportionalen Funktion eine Dreisatzaufgabe her.

  Tipps

  Rechne zunächst auf die Einheit um.

  Lösung

  In der Tabelle findest du die vollständige Lösung für eine Dreisatzaufgabe, entwickelt aus der proportionalen Funktion.

  Für die erste Zeile unserer Tabelle nutzen wir das gegebene Wertepaar aus der Aufgabenstellung. Da die 7 € schon eingetragen waren, müssen nur die 4 Muffins zu diesem Preis ergänzt werden.

  Bei der proportionalen Funktion dividieren wir durch $4$, um die Steigung zu erhalten. Ebenso dividieren wir beim Dreisatz im ersten Schritt in beiden Spalten durch $4$, um den Preis für $1$ Muffin zu erhalten. Dieser beträgt $1,75\text{ €}$.

  Oben wird die Berechnung für $x=27$ durchgeführt. Daher möchten wir den Preis für $27$ Muffins berechnen. Dazu multiplizieren wir analog zum Einsetzen in die proportionale Funktion den Preis für einen Muffin mit $27$. Der Preis für $27$ Muffins beträgt $47,25\text{ €}$.

• Bestimme die zugehörige proportionale Funktion.

  Tipps

  Überlege zunächst, welches Wertepaar gegeben ist.

  Lösung

  $1.$ Wir nutzen die allgemeine Gleichung für proportionale Funktionen: $y=m\cdot x$.

  $2.$ $5$ Kühe produzieren $42,5$ Liter Milch. Wir haben also das Wertepaar $(5|42,5)$ gegeben und daraus folgt $x=5$ und $y=42,5$. Es ergibt sich durch Einsetzen unseres Wertepaares:

  $42,5=m\cdot 5$.

  $3.$ Wir bestimmen die Steigung, indem wir nach $m$ auflösen. Dazu dividieren wir auf beiden Seiten durch $5$:

  $m=\frac{42,5}{5}$.

  $4.$ Es ergibt sich die dazugehörige Funktion:

  $y=\frac{42,5}{5}\cdot x$.

  $5.$ Zur Berechnung der Milchmenge für $x=5+3=8$ Kühe berechnen wir:

  $y=\frac{42,5}{5}\cdot 8=68$.

  Somit hätte Bauer Josef täglich $68$ Liter Milch zur Verfügung, wenn er drei weitere Kühe kaufen würde.

• Zeige die Gemeinsamkeiten von Dreisatz und proportionalen Funktionen auf.

  Tipps

  Beide Verfahren sind sehr ähnlich. Eine Funktionsgleichung stellt einen Zusammenhang nur wesentlich abstrakter dar.

  Erinnere dich daran, wie Wertepaare notiert werden. $(7|9)$ bedeutet $x=7$.

  Die allgemeine Formel für eine proportionale Funktion lautet $y=m\cdot x$. Diese wird im ersten Schritt nach $m$ umgestellt.

  Lösung

  Die folgenden drei Aussagen sind korrekt:

  • Die beiden Ansätze beschreiben die gleiche Aufgabe:

  Proportionale Funktion: Nutze die allgemeine Gleichung $y=m\cdot x$ und das Wertepaar $(6|12)$. Bestimme $y$ für $x=80$.

  Dreisatz: $6$ Bonbons kosten $12$ Cent. Berechne den Preis für $80$ Bonbons.

  • Zur Berechnung von $m$ wird bei der proportionalen Funktion durch $x$ dividiert, ebenso rechnet man beim Dreisatz im ersten Schritt auf die Einheit um.

  • Wir nutzen sowohl beim Dreisatz als auch bei proportionalen Funktionen die proportionale Abhängigkeit zweier Größen.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Bei einer Dreisatzaufgabe multipliziere ich zunächst in beiden Spalten mit $100$, um ein Ganzes zu erhalten. Das Gleiche mache ich bei der proportionalen Funktion, um $m$ zu bestimmen.

  Begründung: Es wird zunächst auf die Einheit umgerechnet.

  • Die beiden Ansätze beschreiben die gleiche Aufgabe:

  Proportionale Funktion: Nutze die allgemeine Gleichung $y=m\cdot x$ und das Wertepaar $(12|6)$. Bestimme $y$ für $x=80$.

  Dreisatz: $6$ Bonbons kosten $12$ Cent. Berechne den Preis für $80$ Bonbons.

  Begründung: Hier liefert der Tipp zur genauen Betrachtung des Wertepaares den Hinweis. Aus $(12|6)$ ergibt sich $x=12$ und $y=6$ und daher die proportionale Funktion $6=m\cdot 12$. Wir erhalten also für $m=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Für $x=80$ erhalten wir $y=\frac{1}{2}\cdot 80=40$.

  Rechnen wir dagegen mit dem Dreisatz, dann teilen wir beide Werte durch 6 und erhalten $1\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }2\text{ ct}$. Um den Preis für $80$ Bonbons herauszufinden, multiplizieren wir: $2 \cdot 80=160$. Wir erhalten also zwei unterschiedliche Ergebnisse.

  • Wir nutzen sowohl beim Dreisatz als auch bei proportionalen Funktionen die emotionale Abhängigkeit zweier Größen.

  Begründung: Mathematische Größen können nicht emotional voneinander abhängen. Wir sprechen in unserem Fall von einer proportionalen Abhängigkeit, das heißt, beide Größen nehmen mit demselben Faktor zu oder ab.

• Entscheide zu welcher Aufgabe die Abschnitte gehören.

  Tipps

  Stelle die proportionalen Funktionen zu beiden Aufgaben auf.

  Überlege dazu zunächst, welche Wertepaare gegeben sind.

  Lösung

  Wir beginnen mit der Aufgabe:

  Marie liest $8$ Bücher in $6$ Tagen. Wie lange braucht sie für $4$ Bücher?

  Dort haben wir also das Wertepaar $(8|6)$ gegeben und setzen dies in unsere allgemeine Funktionsgleichung $y=m\cdot x$ ein:

  • $6=m\cdot 8$.

  Um die Steigung $m$ zu ermitteln, dividieren wir durch $8$:

  • $m=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

  Es soll nun berechnet werden, wie lange sie für $4$ Bücher braucht, daher setzen wir $m$ und $x=4$ in unsere Gleichung ein:

  • $y=\frac{6}{8}\cdot 4=3$.

  Wir erhalten als Ergebnis $3$. Um $4$ Bücher zu lesen, braucht sie also $3$ Tage.

  • $3~\text{Tage}$

  Bei der anderen Aufgabe können wir wie folgt zuordnen:

  $5$ Brötchen kosten beim Bäcker $1,50\text{ €}$. Wie viel kosten $9$ Brötchen?

  Hier haben wir also das Wertepaar $(5|1,50)$ gegeben und setzen dies in unsere allgemeine Funktionsgleichung $y=m\cdot x$ ein:

  • $1,50=m\cdot 5$.

  Um die Steigung $m$ zu ermitteln, dividieren wir durch $5$ und erhalten:

  • $m=0,30$.

  Wir erhalten also für unsere Brötchen die proportionale Funktion:

  • $y=0,30\cdot x$.

  Es soll nun berechnet werden, wie viel $9$ Brötchen kosten, daher setzen $x=9$ in unsere Gleichung ein:

  • $y=0,30\cdot 9=2,70$.

  Wir erhalten also einen Preis von $2,70\text{ €}$ für $9$ Brötchen.

  • $2,70\text{ €}$

  Alle übrigen nicht genannten Ausdrücke werden dieser Kategorie zugeordnet.

  Passt zu keiner der beiden Aufgaben.

  • $5=7x+3$

  • $12~\text{Tage}$

  • $m=\frac{1}{5}$

  • $2,80\text{ €}$

  • $y=\frac{4}{9}\cdot 3=12$