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Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz

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Martin Wabnik
Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz

Wir können proportionale Funktionen als verallgemeinerten Dreisatz auffassen, d.h.: Wenn du eine proportionale Funktion gegeben hast, kannst du damit direkt alle möglichen Dreisatzaufgaben lösen. Wir können auf diese Weise erkennen, wie der Schulstoff angeordnet ist: Es gibt eine mathematische Idee, die über die Jahre immer wieder kommt. Hier ist es die Abhängigkeit zweier mathematischer Größen. Früher hast du diese Abhängigkeit also Rechenmethode (Dreisatz) kennengelernt, jetzt hast du proportionale Funktionen und kannst damit die Abhängigkeit der Größen präziser und mit weniger Rechenaufwand erkennen.

Transkript Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz

Hi! Als du proportionale Funktionen kennengelernt hast, hast du dir vielleicht gedacht "Mensch, sowas Ähnliches habe ich doch schon mal gesehen". Das könnte daran liegen, dass du vorher den Dreisatz gehabt hast. Die beiden haben nämlich viel gemeinsam. Und was das ist, können wir uns jetzt mal ansehen. Wenn wir eine proportionale Funktion gegeben haben, dann haben wir typischerweise eine Funktionsgleichung der Form y = m × x. Und die beiden Größen x und y sind dann auf diese Weise einander zugeordnet. Wir könnten nun ein Wertepaar gegeben haben, zum Beispiel sei x = 6 und dann ist y = 12. Wenn wir das gegeben haben, suchen wir m und teilen auf beiden Seiten durch 6 und haben dann hier 2 = m × 1 dastehen, × 1 schreibt man meist nicht hin. Also wir haben 2 = m. Das, was hier steht, ist typisch für eine Dreisatzaufgabe. Da haben wir zum Beispiel eine Situation dieser Form hier: 6 Bonbons kosten 12 Cent und wir möchten wissen, wie viel eine bestimmte andere Anzahl von Bonbons kostet und rechnen zunächst mal auf die Einheit um und teilen also durch 6. Das Gleiche, was wir hier gemacht haben, und erhalten hier 1 Bonbon. Und teilen auf der anderen Seite durch 6. Hier haben wir auch auf der Seite und auf der Seite durch 6 geteilt. Und haben hier 2 Cent. Hier haben wir auch zwei Größen, die einander zugeordnet sind. Da wir hier nun m kennen, können wir die konkrete Funktionsgleichung hinschreiben und die lautet dann y = 2x. Mit dieser Funktionsgleichung können wir für verschiedene x die verschiedenen y ausrechnen. Zum Beispiel können wir für x 80 einsetzen und erhalten dann y = 160. Ja, weil 2 × 80 = 160. Im Dreisatz gehen wir sehr ähnlich vor. Wir möchten jetzt wissen, wie viel 80 Bonbons kosten. Ja, und vielleicht sind 80 Bonbons in einer Tüte. Wir möchten wissen, wie viel kostet die ganze Tüte Bonbons. Was machen wir? Wir überlegen uns, wir sind ja von 1 zu 80 gekommen. Wir haben mit 80 multipliziert. Dann machen wir das auf der anderen Seite auch, × 80. Und, ja, wenn wir hier schon mit Preisen rechnen, dann schreiben wir nicht 160 Cent hin, sondern wir schreiben 1,60 € hin. Und damit wissen wir, wie viel eine Tüte Bonbons kostet. Wir haben in beiden Fällen das Gleiche gerechnet. Hier haben wir 2 × 80 gerechnet und hier haben wir auch 2 × 80 gerechnet und sind beides Mal auf dieses Ergebnis gekommen. Wir haben also in beiden Fällen die gleichen Rechnungen. Hier haben wir eine abstrakte Funktionsgleichung. Wir können einfach was für x einsetzen und den Wert für y ausrechnen. Das ist viel weniger Schreibarbeit, als das, was wir hier haben. Diese Funktionsgleichung ist wesentlich abstrakter als dieser Dreisatz. Die Idee dahinter nämlich, die proportionale Abhängigkeit zweier Größen ist in beiden Fällen dieselbe. So, was haben wir gesehen? Wir haben gesehen, dass zwei Größen voneinander abhängen. Wenn die eine mehr wird, wird die andere auch mehr und umgekehrt. Das ist eine Idee, die in der Schulmathematik immer wieder vorkommt. Je weiter wir vorankommen, desto abstrakter werden die Ideen behandelt. Und je abstrakter es ist, desto einfacher kommt uns das vor, was wir vorher gemacht haben. Gut, oder? Ciao!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Leon S., vor 5 Monaten
  2. @Nechy4u Inwiefern könnte denn der Ton besser sein?
    Technisch ist der Ton allerdings nicht verbesserbar, da wir mit dem besten Equipment aufnehmen, welches am Markt verfügbar ist.

    Von Martin Wabnik, vor mehr als einem Jahr
  3. Der Ton könnte ein bisschen besser sein
    aber sonst gut

    Von Nechy4u, vor mehr als einem Jahr

Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Von der proportionalen Funktion zum Dreisatz kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse den Ablauf bei einer Dreisatzaufgabe zusammen.

    Tipps

    Überlege zunächst, was bei einer Dreisatzaufgabe gegeben ist.

    Das Ziel ist die Berechnung der Kosten einer beliebigen anderen Anzahl an Bonbons.

    Wir rechnen immer zunächst auf die Einheit um.

    Lösung

    Beim Dreisatz betrachten wir zunächst, was gegeben ist.

    $1)$ $6$ Bonbons ($\text{B}$) kosten $12$ Cent ($\text{ct}$).

    Verschriftlicht sieht das so aus:

    $2)$ $6\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }12\text{ ct}$.

    Im ersten Schritt rechnen wir auf die Einheit um.

    $3)$ Um zu berechnen, was $1$ Bonbon kostet, teilen wir beide Seiten durch die Gesamtanzahl $6$.

    Also:

    $4)$ $1\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }2\text{ ct}$.

    Im letzten Schritt berechnen wir die Kosten für eine gewünschte Anzahl an Bonbons.

    $5)$ Für die Berechnung der Kosten einer ganzen Tüte mit $80$ Bonbons multiplizieren wir beide Seiten mit $80$.

    Die Rechnung lautet:

    $6)$ $80\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }160\text{ ct}=1,60\text{ €}$.

  • Gib an, wie man beim Aufstellen einer proportionalen Funktion vorgeht.

    Tipps

    Gehe von der allgemeinen Formel aus und spezifiziere diese Schritt für Schritt.

    Beachte, dass du stets auf beiden Seiten der Gleichung multiplizierst, dividierst oder Ähnliches.

    Lösung

    Um aus einer Textaufgabe eine Rechnung mit einer proportionalen Funktion zu machen, betrachte zunächst, was gegeben ist, und spezifiziere die allgemeine Funktionsgleichung Schritt für Schritt.

    $1)$ Zunächst benötigt Jakob die allgemeine Funktionsgleichung für eine proportionale Funktion.

    $\begin{array}{rll} y&=&m\cdot x\\ \end{array}$

    $2)$ Das gegebene Wertepaar $(6|12)$ setzt Jakob nun in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

    $\begin{array}{rll} 12&=&m\cdot 6 \\ \end{array}$

    $3)$ Als Nächstes bestimmt er den Proportionalitätsfaktor $m$, indem er auf beiden Seiten der Gleichung durch $6$ teilt.

    $\begin{array}{rll} 12&=&m\cdot 6 &|&:6 \\ 2&=&m \end{array}$

    $4)$ Mit dem zuvor bestimmten $m$ kann Jakob die konkrete Funktionsgleichung aufstellen.

    $\begin{array}{rll} y&=&2\cdot x \\ \end{array}$

    $5)$ Jakob kann nun bestimmen, wie viel $80$ Bonbons kosten, indem er in seine aufgestellte Funktionsgleichung $x=80$ einsetzt.

    $\begin{array}{rll} y&=&2\cdot 80 \\ y&=&160\\ \end{array}$

    Damit kosten $80$ Bonbons $160 \text{ ct}$, also $1,60 \text{ €}$, und er kann von seinem Taschengeld eine ganze Tüte kaufen.

  • Leite aus der proportionalen Funktion eine Dreisatzaufgabe her.

    Tipps

    Rechne zunächst auf die Einheit um.

    Lösung

    In der Tabelle findest du die vollständige Lösung für eine Dreisatzaufgabe, entwickelt aus der proportionalen Funktion.

    Für die erste Zeile unserer Tabelle nutzen wir das gegebene Wertepaar aus der Aufgabenstellung. Da die 7 € schon eingetragen waren, müssen nur die 4 Muffins zu diesem Preis ergänzt werden.

    Bei der proportionalen Funktion dividieren wir durch $4$, um die Steigung zu erhalten. Ebenso dividieren wir beim Dreisatz im ersten Schritt in beiden Spalten durch $4$, um den Preis für $1$ Muffin zu erhalten. Dieser beträgt $1,75\text{ €}$.

    Oben wird die Berechnung für $x=27$ durchgeführt. Daher möchten wir den Preis für $27$ Muffins berechnen. Dazu multiplizieren wir analog zum Einsetzen in die proportionale Funktion den Preis für einen Muffin mit $27$. Der Preis für $27$ Muffins beträgt $47,25\text{ €}$.

  • Bestimme die zugehörige proportionale Funktion.

    Tipps

    Überlege zunächst, welches Wertepaar gegeben ist.

    Lösung

    $1.$ Wir nutzen die allgemeine Gleichung für proportionale Funktionen: $y=m\cdot x$.

    $2.$ $5$ Kühe produzieren $42,5$ Liter Milch. Wir haben also das Wertepaar $(5|42,5)$ gegeben und daraus folgt $x=5$ und $y=42,5$. Es ergibt sich durch Einsetzen unseres Wertepaares:

    $42,5=m\cdot 5$.

    $3.$ Wir bestimmen die Steigung, indem wir nach $m$ auflösen. Dazu dividieren wir auf beiden Seiten durch $5$:

    $m=\frac{42,5}{5}$.

    $4.$ Es ergibt sich die dazugehörige Funktion:

    $y=\frac{42,5}{5}\cdot x$.

    $5.$ Zur Berechnung der Milchmenge für $x=5+3=8$ Kühe berechnen wir:

    $y=\frac{42,5}{5}\cdot 8=68$.

    Somit hätte Bauer Josef täglich $68$ Liter Milch zur Verfügung, wenn er drei weitere Kühe kaufen würde.

  • Zeige die Gemeinsamkeiten von Dreisatz und proportionalen Funktionen auf.

    Tipps

    Beide Verfahren sind sehr ähnlich. Eine Funktionsgleichung stellt einen Zusammenhang nur wesentlich abstrakter dar.

    Erinnere dich daran, wie Wertepaare notiert werden. $(7|9)$ bedeutet $x=7$.

    Die allgemeine Formel für eine proportionale Funktion lautet $y=m\cdot x$. Diese wird im ersten Schritt nach $m$ umgestellt.

    Lösung

    Die folgenden drei Aussagen sind korrekt:

    • Die beiden Ansätze beschreiben die gleiche Aufgabe:
    Proportionale Funktion: Nutze die allgemeine Gleichung $y=m\cdot x$ und das Wertepaar $(6|12)$. Bestimme $y$ für $x=80$.

    Dreisatz: $6$ Bonbons kosten $12$ Cent. Berechne den Preis für $80$ Bonbons.

    • Zur Berechnung von $m$ wird bei der proportionalen Funktion durch $x$ dividiert, ebenso rechnet man beim Dreisatz im ersten Schritt auf die Einheit um.
    • Wir nutzen sowohl beim Dreisatz als auch bei proportionalen Funktionen die proportionale Abhängigkeit zweier Größen.

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Bei einer Dreisatzaufgabe multipliziere ich zunächst in beiden Spalten mit $100$, um ein Ganzes zu erhalten. Das Gleiche mache ich bei der proportionalen Funktion, um $m$ zu bestimmen.
    Begründung: Es wird zunächst auf die Einheit umgerechnet.

    • Die beiden Ansätze beschreiben die gleiche Aufgabe:
    Proportionale Funktion: Nutze die allgemeine Gleichung $y=m\cdot x$ und das Wertepaar $(12|6)$. Bestimme $y$ für $x=80$.

    Dreisatz: $6$ Bonbons kosten $12$ Cent. Berechne den Preis für $80$ Bonbons.

    Begründung: Hier liefert der Tipp zur genauen Betrachtung des Wertepaares den Hinweis. Aus $(12|6)$ ergibt sich $x=12$ und $y=6$ und daher die proportionale Funktion $6=m\cdot 12$. Wir erhalten also für $m=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Für $x=80$ erhalten wir $y=\frac{1}{2}\cdot 80=40$.

    Rechnen wir dagegen mit dem Dreisatz, dann teilen wir beide Werte durch 6 und erhalten $1\text{ B}\text{ }\hat{=}\text{ }2\text{ ct}$. Um den Preis für $80$ Bonbons herauszufinden, multiplizieren wir: $2 \cdot 80=160$. Wir erhalten also zwei unterschiedliche Ergebnisse.

    • Wir nutzen sowohl beim Dreisatz als auch bei proportionalen Funktionen die emotionale Abhängigkeit zweier Größen.
    Begründung: Mathematische Größen können nicht emotional voneinander abhängen. Wir sprechen in unserem Fall von einer proportionalen Abhängigkeit, das heißt, beide Größen nehmen mit demselben Faktor zu oder ab.

  • Entscheide zu welcher Aufgabe die Abschnitte gehören.

    Tipps

    Stelle die proportionalen Funktionen zu beiden Aufgaben auf.

    Überlege dazu zunächst, welche Wertepaare gegeben sind.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Aufgabe:

    Marie liest $8$ Bücher in $6$ Tagen. Wie lange braucht sie für $4$ Bücher?

    Dort haben wir also das Wertepaar $(8|6)$ gegeben und setzen dies in unsere allgemeine Funktionsgleichung $y=m\cdot x$ ein:

    • $6=m\cdot 8$.
    Um die Steigung $m$ zu ermitteln, dividieren wir durch $8$:

    • $m=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
    Es soll nun berechnet werden, wie lange sie für $4$ Bücher braucht, daher setzen wir $m$ und $x=4$ in unsere Gleichung ein:

    • $y=\frac{6}{8}\cdot 4=3$.
    Wir erhalten als Ergebnis $3$. Um $4$ Bücher zu lesen, braucht sie also $3$ Tage.

    • $3~\text{Tage}$
    Bei der anderen Aufgabe können wir wie folgt zuordnen:

    $5$ Brötchen kosten beim Bäcker $1,50\text{ €}$. Wie viel kosten $9$ Brötchen?

    Hier haben wir also das Wertepaar $(5|1,50)$ gegeben und setzen dies in unsere allgemeine Funktionsgleichung $y=m\cdot x$ ein:

    • $1,50=m\cdot 5$.
    Um die Steigung $m$ zu ermitteln, dividieren wir durch $5$ und erhalten:

    • $m=0,30$.
    Wir erhalten also für unsere Brötchen die proportionale Funktion:

    • $y=0,30\cdot x$.
    Es soll nun berechnet werden, wie viel $9$ Brötchen kosten, daher setzen $x=9$ in unsere Gleichung ein:

    • $y=0,30\cdot 9=2,70$.
    Wir erhalten also einen Preis von $2,70\text{ €}$ für $9$ Brötchen.

    • $2,70\text{ €}$
    Alle übrigen nicht genannten Ausdrücke werden dieser Kategorie zugeordnet.

    Passt zu keiner der beiden Aufgaben.

    • $5=7x+3$
    • $12~\text{Tage}$
    • $m=\frac{1}{5}$
    • $2,80\text{ €}$
    • $y=\frac{4}{9}\cdot 3=12$
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