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Vom Dreisatz zur proportionalen Funktion

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Martin Wabnik

Vom Dreisatz zur proportionalen Funktion

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Vom Dreisatz zur proportionalen Funktion

In diesem Video schauen wir uns eine typische Dreisatzaufgabe an. Dann schreiben wir in Form einer Gleichung auf, was wir gemacht haben und haben schon die Gleichung einer proportionalen Funktion da stehen. Mit dieser Gleichung können wir dann alle möglichen Dreisatzaufgaben lösen. Am Ende schauen wir uns noch an, wie wir das graphisch aufbereiten können.

Transkript Vom Dreisatz zur proportionalen Funktion

Hi! Wenn du den Dreisatz kennst, dann kennst du auch schon fast proportionale Funktionen. Wir können uns jetzt einmal eine typische Dreisatzaufgabe ansehen, uns beim Rechnen beobachten und dann sehen, wohin es führt. Eine typische Dreisatzaufgabe sieht zum Beispiel so aus. Wir haben 6 Bonbons und wir wissen, dass diese 6 Bonbons 12 Cent kosten. Und wir fragen uns, wie viel kosten 80 Bonbons? Wir überlegen zunächst, wie viel 1 Bonbon kostet. Und dann müssen wir, um von 6 Bonbons auf einen Bonbon zu kommen, teilen wir durch 6. Und dann teilen wir auf der anderen Seite auch durch 6 und erhalten 2 Cent: 12/6 = 2. Jetzt wollen wir wissen, wie viel 80 Bonbons kosten. Und um von 1 Bonbon auf 80 Bonbons zu kommen, multiplizieren wir mit 80. Das machen wir auf der anderen Seite auch, mit 80 multiplizieren, das sind 160 Cent. Und das schreiben wir so nicht auf, sondern wir schreiben, dass das dann 1,60 € ist. Jetzt können wir uns überlegen, wie wir auf diesen Preis hier gekommen sind. Wir haben den Preis für 1 Bonbon genommen, nämlich 2 Cent und haben multipliziert mit der Anzahl der Bonbons. Ja? Statt Anzahl der Bonbons könnte ich hier x hinschreiben. Ja, das ist kürzer als Anzahl der Bonbons. Was haben wir erhalten? Wir haben den Preis für diese Anzahl Bonbons erhalten und das ist auch lang, deshalb schreibe ich hier einfach y hin. Das, was wir hier stehen haben, ist schon die Gleichung einer proportionalen Funktion. Mit dieser Gleichung können wir die Preise aller möglichen Bonbonanzahlen bestimmen. Wir könnten zum Beispiel für x 2 einsetzen. Dann haben wir den Preis für 2 Bonbons. Der ist nämlich 4 Cent. Und wir könnten für x auch 3 einsetzen, dann haben wir den Preis für 3 Bonbons. Der ist 6. Oder wir könnten für x 4 einsetzen, dann haben wir den Preis für 4 Bonbons, der ist 8. Wenn wir keine Bonbons kaufen, ja, 0 Bonbons, dann rechnen wir 2 * 0. Das ist 0. Dann müssen wir auch nichts bezahlen. Das ist gut. Wir können auch den Preis für, was weiß ich, 17 Bonbons bestimmen. Auch nicht schlecht. Die kosten dann zusammen 34 Cent. Wir können nun diese Werte in ein Koordinatensystem eintragen. Ja, wir haben hier die x-Achse und da haben wir die y-Achse. Und wenn x = 2 ist, also hier, dann ist y = 4. Können wir hier eintragen. Wenn x = 3 ist, ist y = 6. Und wenn wir 4 Bonbons kaufen möchten, müssen wir 8 Cent bezahlen und dann können wir das hier eintragen. Und den Preis für 1 Bonbon kennen wir auch schon, der ist 2 Cent. Und das tragen wir dann hier ein. Wir können diese Kreuzchen nun mit einem Lineal verbinden, dann erhalten wir eine Gerade und das hier ist schon der Graph einer proportionalen Funktion. So, das war auf die Schnelle mal der Weg vom Dreisatz zur proportionalen Funktion, deren Gleichung und Graphen wir gerade gesehen haben. Das kann man alles auch noch viel genauer und ausführlicher begründen. Hier ging es aber nur darum, zu zeigen, wie man das aufschreibt. Und damit sind wir fertig. Ciao!

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. lol das ist ja unfassbar

    Von K Neitzel, vor 3 Monaten
  2. lol

    Von Tobiasarndt, vor 6 Monaten
  3. Gutes Video

    Von Schmat, vor mehr als einem Jahr
  4. öde

    Von Paul G., vor mehr als einem Jahr
  5. Hallo Paolafly,
    schade, dass dir das Video nicht geholfen hat. Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor fast 2 Jahren
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Vom Dreisatz zur proportionalen Funktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vom Dreisatz zur proportionalen Funktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Tabelle zum Dreisatz.

    Tipps

    Die Zuordnung der Größen „Produkt“ und „Preis“ ist proportional. Das bedeutet, dass die eine Größe steigt, wenn die andere steigt.

    Berechne zunächst den Preis für einen Bonbon. Hierzu teilst du $6$ Bonbon durch $6$. Das Gleiche machst du mit dem Preis von $6$ Bonbons.

    Lösung

    Die Zuordnung der Größen „Produkt“ und „Preis“ ist proportional. Das bedeutet: Wenn eine Größe um einen Faktor steigt, steigt die andere Größe um denselben Faktor. Wenn wir mit einem Dreisatz fehlende Größen einer proportionalen Zuordnung berechnen, führen wir rechts und links von der Tabelle jeweils die gleiche Rechenoperation durch. So erhalten wir folgende Wertepaare:

    • $6$ Bonbons $\hat{=}$ $12$ Cent
    Wir dividieren beide Seiten jeweils durch $6$, um den Preis für einen Bonbon zu erhalten:

    • $6$ Bonbons $:6=1$ Bonbon $\hat{=}$ $12$ Cent $:6=2$ Cent
    Nun multiplizieren wir beide Seiten jeweils mit $80$, um den Preis für $80$ Bonbons zu erhalten:

    • $1$ Bonbon $\cdot 80=80$ Bonbons $\hat{=}$ $2$ Cent $\cdot 80=160$ Cent
  • Stelle die zutreffende Funktionsgleichung auf und berechne die gesuchten Wertepaare.

    Tipps

    Die Steigung $m$ der gesuchten linearen Funktion $y=mx$ erhältst du durch folgende Überlegung:

    Um wie viel Cent steigt der Preis $y$ pro Bonbon $x$?

    Du erhältst die Wertepaare, indem du die jeweiligen $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzt und $y$ berechnest.

    $5$ Bonbons kosten $10$ Cent und $9$ Bonbons kosten $18$ Cent.

    Lösung

    Wir suchen eine lineare Funktion der Form $y=mx$. Hierbei ist $m$ die Steigung der Funktion, die wir durch folgende Überlegung erhalten:

    • Um wie viel Cent steigt der Preis $y$ pro Bonbon $x$?
    Die Steigung entspricht also dem Preis für einen Bonbon, nämlich $2$ Cent. Damit erhalten wir die folgende Funktionsgleichung:

    • $y=2x$
    Nun setzen wir die $x$-Werte in diese Funktionsgleichung ein und erhalten die folgenden Wertepaare:

    • Für $x=2$ folgt: $~y=2\cdot 2=4$
    • Für $x=3$ erhalten wir: $~y=2\cdot 3=6$
    • Für $x=4$ gilt: $~y=2\cdot 4=8$
    • Für $x=0$ folgt: $~y=2\cdot 0=0$
    • Für $x=17$ erhalten wir: $~y=2\cdot 17=34$
  • Ermittle die jeweiligen Wertepaare mithilfe des Dreisatzes.

    Tipps

    Bestimme erst, wie lange die Fahrt einer $1$ Kilometer langen Strecke dauert. Ausgehend von diesem Wertepaar kannst du dann den Rest berechnen.

    Es gilt: $~1~\text{km}\ \hat{=}\ 1000~\text{m}$

    Wenn du herausgefunden hast, wie lange eine $1$ Kilometer lange Fahrt dauert, so kannst du die zugehörige proportionale Gleichung wie folgt aufstellen:

    • $y=$ Fahrtdauer pro Kilometer in Minuten $\cdot \ x$
    Dabei gelten folgende Bezeichnungen:

    • $x$ ist eine Strecke in Kilometern
    • $y$ ist die zugehörige Fahrtdauer in Minuten
    Lösung

    Anwendung des Dreisatzes

    Wir berechnen zunächst, wie lange die Fahrt einer $1$ Kilometer langen Strecke dauert. Ausgehend von diesem Wertepaar können wir dann die übrigen Paare berechnen. Wir wissen, dass Lukas für $4$ Kilometer $16$ Minuten benötigt. Damit folgt:

    • $4$ Kilometer $:4=1$ Kilometer $\hat{=}$ $16$ Minuten $:4=4$ Minuten
    Damit wissen wir nun, dass er für einen Kilometer $4$ Minuten benötigt. Damit berechnen wir nun die übrigen Wertepaare:

    • $1$ Kilometer $\cdot\ 6=6$ Kilometer $\hat{=}$ $4$ Minuten $\cdot\ 6=24$ Minuten
    • $1$ Kilometer $\cdot\ 8=8$ Kilometer $\hat{=}$ $4$ Minuten $\cdot\ 8=32$ Minuten
    Da $1$ Kilometer $1000$ Metern entspricht, gilt: $~500~\text{m}\hat{=}0,5~\text{km}$. Damit folgt:

    • $1$ Kilometer $:2=0,5$ Kilometer $\hat{=}$ $4$ Minuten $:2=2$ Minuten
    Vom Dreisatz zur proportionalen Gleichung

    Wir können aber auch die zugehörige proportionale Gleichung aufstellen und mit dieser die gesuchten Wertepaare bestimmen. Die Gleichung setzt sich dann wie folgt zusammen:

    • $y=$ Fahrtdauer pro Kilometer in Minuten $\cdot \ x$
    Dabei gelten folgende Bezeichnungen:

    • $x$ ist eine Strecke in Kilometern
    • $y$ ist die zugehörige Fahrtdauer in Minuten
    Auch hierfür benötigen wir also zuerst die Fahrtdauer pro Kilometer in Minuten, also folgende Zuordnung:

    • $4$ Kilometer $:4=1$ Kilometer $\hat{=}$ $16$ Minuten $:4=4$ Minuten
    Damit können wir nun die proportionale Gleichung wie folgt aufstellen:

    • $y=4x$
    Nun können wir in $x$ die jeweiligen Strecken in Kilometern einsetzen und die zugehörigen Fahrtdauer in Minuten berechnen:

    • $4\cdot 6=24$
    • $4\cdot 1=4$
    • $4\cdot 8=32$
    • $4\cdot 0,5=2$
  • Bestimme die Wertepaare der jeweiligen proportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Du kannst für die gegebenen proportionalen Zuordnungen die jeweiligen Gleichungen aufstellen. Mit diesen kannst du dann weitere Wertepaare $(x\vert y)$ berechnen.

    Die allgemeine Form der Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet $y=mx$. Die Steigung $m$ einer proportionalen Zuordnung entspricht dem $y$-Wert zu $x=1$.

    Berechne also für jede Zuordnung zunächst den $y$-Wert zu $x=1$ mit Hilfe des Dreisatzes.

    Lösung

    Wir stellen zunächst für die gegebenen proportionalen Zuordnungen die jeweiligen Gleichungen auf. Mit diesen können wir dann weitere Wertepaare $(x\vert y)$ berechnen.

    Die allgemeine Form der Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet $y=mx$. Dabei gilt für die Steigung $m$ allgemein:

    • $m=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Wir benötigen für die Berechnung der Steigung also zwei Punkte der Zuordnung. Jede proportionale Zuordnung besitzt den Punkt $(0\vert 0)$. Damit vereinfacht sich diese Beziehung wie folgt:

    • $m=\frac {y_2-0}{x_2-0}=\frac {y_2}{x_2}$
    Für die Steigung einer proportionalen Zuordnung genügt also bereits ein Wertepaar der Zuordnung außer $(0\vert 0)$.

    Wir können mit Hilfe des Dreisatzes aber auch jeweils den $y$-Wert zu $x=1$ bestimmen, denn dieser entspricht dann der Steigung $m$. Damit erhalten wir die folgenden Gleichungen und Wertepaare:

    Zuordnung 1

    Wir kennen den Punkt $(4\vert 9)$ und können damit den $y$-Wert zu $x=1$ wie folgt bestimmen:

    • $4:4=1 ~\rightarrow~ 9:4=2,25$
    Es gilt also: $~y=2,25x$

    Diese Gleichung wird durch die folgenden Wertepaare erfüllt:

    • $(16\vert 36)$, denn es gilt $y=2,25\cdot 16=36$.
    • $(8\vert 18)$, denn es gilt $y=2,25\cdot 8=18$.
    • $(12\vert 27)$, denn es gilt $y=2,25\cdot 12=27$.
    • $(20\vert 45)$, denn es gilt $y=2,25\cdot 20=45$.
    Zuordnung 2

    Wir kennen den Punkt $(2\vert 8)$ und erhalten damit: $~m=\frac 82=4$

    Diese Steigung erhalten wir auch mit Hilfe des Dreisatzes:

    • $2:2=1 ~\rightarrow~ 8:2=4$
    Es gilt also: $~y=4x$

    Dieser Gleichung ordnen wir folgende Wertepaare zu:

    • $(16\vert 64)$
    • $(8\vert 32)$
    • $(14\vert 56)$
    • $(1\vert 4)$
    • $(10\vert 40)$
    Zuordnung 3

    Mit dem Punkt $(2\vert 4)$ erhalten wir:

    • $2:2=1~\rightarrow~ 4:2=2$
    Es gilt also: $~y=2x$

    Damit ordnen wir hier die folgenden Wertepaare zu:

    • $(8\vert 16)$
    • $(1\vert 2)$
    • $(16\vert 32)$
    • $(14\vert 28)$
    • $(20\vert 40)$
  • Gib die Graphen der proportionalen Funktion $y=2x$ an.

    Tipps

    Die Gerade einer proportionalen Funktion verläuft immer durch den Koordinatenursprung.

    Nutze die Gleichung der proportionalen Funktion, um einige Punkte der Geraden zu berechnen.

    Hier siehst du die Gerade zu der proportionalen Gleichung $y=\frac 12x$.

    Lösung

    Die Gerade einer proportionalen Funktion verläuft immer durch den Koordinatenursprung. Wir kennen zusätzlich den Punkt $(6\vert 12)$. Durch diesen muss die Funktion ebenfalls verlaufen. Damit suchen wir also eine Gerade, die durch die beiden Punkte $(0\vert 0)$ und $(6\vert 12)$ verläuft.

    Diese Bedingungen werden durch die Gerade 1 und Gerade 4 erfüllt. Die Darstellungen unterscheiden sich nur durch die Skalierung der Koordinatenachsen.

  • Ermittle den gesuchten Wert.

    Tipps

    Folgende Wertetabelle gibt einige Wertepaare zu Annas Korb-Geschäft an.

    $ \begin{array}{c|c} \text{Anzahl verkaufter} & \text{Einkommen} \\ \text{K}\ddot{\text{o}}\text{rbe} & \\ \hline 0 & 0,00\ € \\ 1 & 8,00\ € \\ 2 & 16,00\ € \end{array} $

    Die Steigung der Gleichung einer proportionalen Zuordnung ist wie folgt definiert:

    • $m=\frac yx$
    Hier setzt du einen Punkt der Zuordnung außer $(0\vert 0)$ ein. Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet:
    • $y=mx$
    Lösung

    Aus der Aufgabenstellung kennen wir das Wertepaar $(1\vert 8)$. Mit diesem können wir die Steigung $m$ der proportionalen Zuordnung wie folgt berechnen:

    • $m=\frac{y}{x}=\frac{8}{1}=8$
    Das Einkommen $y$ in Abhängigkeit von der Anzahl verkaufter Körbe $x$ kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

    • $y=8\cdot x$
    Diese Gleichung kann mittels Äquivalenzumformung nach der Anzahl verkaufter Körbe $x$ umgestellt werden. Es folgt:

    • $x=\frac{y}{8}$
    Für ein Einkommen von $128\ €$ liefert die Gleichung dann folgenden $x$-Wert:

    • $x=\frac{128}{8}=16$
    Demnach muss Anna mindestens $16$ Körbe verkaufen, um sich den Rucksack leisten zu können.

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