Verknüpfung von Funktionen

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Verknüpfung von Funktionen Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zum Verknüpfen von Funktionen.
TippsDie Gleichung zur Addition zweier Funktionen lautet: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
Immer wenn du Terme vereinfachst, kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Die Differenz $(f-g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ lässt sich nicht berechnen.“
- Auch die Differenz zweier Funktionen lässt sich berechnen. Die Gleichung dafür lautet: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$.
- Beim Verknüpfen zweier Funktionen erhältst du am Ende eine neue Funktion. Setzt du in dieser Funktion etwas für die Variable ein, erhältst du eine Zahl. Natürlich kann es auch mal passieren, dass die resultierende Funktion keine Variable mehr enthält. In so einem Fall handelt es sich um eine konstante Funktion.
„Um die Summe $(f+g)(x)$ der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu bestimmen, kannst du die beiden Funktionen addieren.“
- Die Gleichung zur Addition zweier Funktionen lautet: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Die beiden Funktionen werden also addiert.
- Bei der Berechnung von verknüpften Funktionen musst du Terme vereinfachen. Dabei kannst du gleichartige Terme (z. B. alle Terme, in denen die Variable $x$ zur ersten Potenz erhoben wird) zusammenfassen.
$(f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)$“.
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Berechne die verknüpfte Funktion.
TippsFunktionen kannst du addieren, indem du zuerst aufschreibst, welche Funktionen du addieren möchtest, und anschließend die Funktionen einsetzt.
Beim Subtrahieren von Funktionen solltest du darauf achten, eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, zu schreiben. Anschließend musst du diese Klammer korrekt auflösen.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Die Funktion für die Gesamtkosten $k_{Gesamt}(x)$ kann er durch Addition der beiden Kostenfunktionen bestimmen:
$k_{Gesamt}(x)=k_{Teppich}(x)+k_{Kuppel}(x)$.
Anschließend setzt er die einzelnen Funktionen ein:
$k_{Gesamt}(x)=100x+150+50x+100$“.
- Funktionen kannst du addieren, indem du zuerst aufschreibst, welche Funktionen du addieren möchtest, und anschließend die Funktionen einsetzt.
$k_{Gesamt}(x)=150x+250$“.
- Anschließend fasst du gleichartige Terme zusammen.
$g(x)=e(x)-k_{Gesamt}(x)$
Eingesetzt ergibt das:
$g(x)=250x-750-(150x+250)$“.
- Auch beim Subtrahieren von Funktionen schreibst du diese zunächst auf. Anschließend setzt du ein und rechnest aus. Hier solltest du allerdings darauf achten, eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, zu schreiben. Anschließend musst du diese Klammer korrekt auflösen. Das stellt sicher, dass du alle Teile der Funktion abziehst.
$g(x)=100x - 1~000$“.
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Ermittle die Lösungen der verknüpften Funktionen.
TippsBei den Subtraktionen musst du darauf achten, dass du die korrekte Reihenfolge der Funktionen wählst und beide Teile der Funktion subtrahierst. Schreibe dazu eine Klammer um die Funktion, die du abziehst, und löse sie korrekt auf.
Bei der Multiplikation von Funktionen musst du alle Teile der Funktionen einzeln miteinander multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen.
LösungUm die verschiedenen Verknüpfungen der Funktionen $f(x)=15x-5$ und $g(x)=20x-15$ zu bestimmen, musst du die Funktionen mit den entsprechenden Rechenoperationen verknüpfen und anschließend einsetzen. Dann erhältst du:
$\begin{array}{ll} (f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\ &=15x-5+20x-15\\ &=35x-20\\ \end{array}$
Bei den Subtraktionen musst du darauf achten, dass du die korrekte Reihenfolge der Funktionen wählst und beide Teile der Funktion subtrahierst. Schreibe dazu eine Klammer um die Funktion, die du abziehst und löse sie korrekt auf.
$\begin{array}{ll} (f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\ &=15x-5-(20x-15)\\ &=15x-5-20x+15\\ &=-5x+10\\ \end{array}$
$\begin{array}{ll} (g-f)(x)&=g(x)-f(x)\\ &= 20x-15-(15x-5)\\ &=20x-15-15x+5\\ &=5x-10\\ \end{array}$
Bei der Multiplikation von Funktionen musst du alle Teile der Funktionen einzeln miteinander multiplizieren und das Ergebnis vereinfachen.
$\begin{array}{ll} (g \cdot f)(x)&=g(x) \cdot f(x)\\ &=(20x-15) \cdot (15x-5)\\ &=20x \cdot 15x + 20x \cdot (-5) -15 \cdot 15x -15 \cdot (-5)\\ &=300x^2-100x-225x+75\\ &=300x^2-325x+75 \end{array}$
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Ermittle die Lösungen der Verknüpfungen.
TippsFür die Addition erhältst du:
$\begin{array}{ll} t_{Gesamt}(x)&=t_{Fahrt}(x)+t_{Pause}(x) \\ \end{array}$
Hier musst du noch die Funktionsgleichungen einsetzen und anschließend ausrechnen.
Beachte bei der Subtraktion der Funktionen die Klammer um die zweite Funktion und die Vorzeichen jedes Terms.
LösungDu kannst die Lücken füllen, indem du die Funktionen wie angegeben verknüpfst und anschließend einsetzt. Für die Addition erhältst du:
$\begin{array}{ll} t_{Gesamt}(x)&=t_{Fahrt}(x)+t_{Pause}(x) \\ &=3 \cdot x + 15+x+30 \\ &=4 \cdot x +45 \end{array}$
Bei der Subtraktion ergibt sich Folgendes. Achte auf die Klammer und die Vorzeichen jedes Terms.
$\begin{array}{ll} t_{ohne~ Pause}(x)&=t_{Fahrt}(x)-t_{Pause}(x) \\ &=3 \cdot x + 15-(x+30) \\ &=3 \cdot x + 15-x-30 \\ &=2\cdot x -15 \end{array}$
Um die Funktionen zu multiplizieren, musst du jeden Summanden der Funktionen einzeln multiplizieren.
$\begin{array}{ll} t_{Spaß }(x)&= t_{Fahrt}(x) \cdot t_{Pause}(x) \\ &=(3 \cdot x +15) \cdot(x+30) \\ &=3 x^2 +90x + 15x+450 \\ &=3 x^2+105 x + 450 \end{array}$
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Gib an, welche Rechenoperation verwendet wurde.
TippsWie die verknüpften Funktionen entstanden sind, kannst du herausfinden, indem du die gegebenen Funktionen auf unterschiedliche Weise verknüpfst und anschließend vereinfachst. Dann kannst du überprüfen, ob deine berechnete Funktion einer der hier angegebenen entspricht.
LösungWie die verknüpften Funktionen entstanden sind, kannst du herausfinden, indem du die gegebenen Funktionen auf unterschiedliche Weise verknüpfst und anschließend vereinfachst. Dann kannst du überprüfen, ob deine berechnete Funktion einer der hier angegebenen entspricht. So erhältst du:
- $f(x)=2x+3$
- $g(x)=4x-2$
- $f(x)+g(x)=2x+3 + 4x -2 = 6x+1$
Die Funktionen $e_4(x)$ und $e_7(x)$ sind durch Subtraktion entstanden:
- $f(x)-g(x)=2x+3 -(4x-2) = 2x+3-4x+2= - 2x + 5$
- $g(x)-f(x)=4x-2 - (2x+3)= 4x - 2 - 2x - 3 = 2x - 5$
- $f(x) \cdot g(x)= (2x+3) \cdot (4x -2) = 8x^2 - 4x + 12x -6 = 8x^2 + 8x -6$
- $e_1(x) = 6x+5$
- $e_5(x)=4x^2+4x-6$
- $e_6(x)= -2x-5$
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Entscheide, welche Funktionen korrekt verknüpft wurden.
TippsAuch bei komplexeren Verknüpfungen kannst du die Funktionen einsetzen, berechnen und weiter vereinfachen. Führst du diese Rechnungen durch, kannst du die korrekt berechneten Verknüpfungen bestimmen.
LösungAuch bei komplexeren Verknüpfungen kannst du die Funktionen einsetzen, berechnen und weiter vereinfachen. Führst du diese Rechnungen durch, kannst du die korrekt berechneten Verknüpfungen bestimmen. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch durchgeführt wurden:
- „$g(x) \cdot \left(f(x)-h(x)\right) \neq 12x^2 -32x +10 $“.
$\begin{array}{ll} g(x) \cdot \left(f(x)-h(x)\right)&=(3x-2) \cdot \left(5x-3-(x+2) \right)\\ &=(3x-2) \cdot (4x-5)\\ & = 12x^2-15x-8x+10\\ &=12x^2 -23x +10 \end{array}$
- „$g^2(x)+h(x) \neq 9x^2-11x+3$“
$\begin{array}{ll} g^2(x)+h(x)&=(3x-2)^2+x+2\\ &= 9x^2-12x+4+x+2\\ &= 9x^2-11x+6 \end{array}$
Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:
$\begin{array}{ll} g(x) \cdot \left(f(x)+h(x)\right)&=(3x-2) \cdot \left(5x-3+x+2 \right)\\ &=(3x-2) \cdot (6x-1)\\ & = 18x^2-3x-12x+2\\ &=18x^2-15x+2 \end{array}$
$\begin{array}{ll} f(x) \cdot h(x) -f(x)&=(5x-3) \cdot (x+2) -(5x-3)\\ &= 5x^2 +10x -3x-6 - 5x+3\\ &=5x^2 +2x-3 \end{array}$
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