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Verkettete Funktionen - Definition und Beispiele 09:20 min

2 Kommentare
  1. @Flowerbird:
    Wenn bei der Übung f(g(x)) gesucht ist, ist wichtig, dass du die komplette Funktion g(x) überall einsetzt, wo in f(x) ein x ist: f(g(x))=3*(x-1)²-(x-1). Da musst du nun noch ausmultiplizieren und vereinfachen, um das gesuchte Ergebnis zu erhalten.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 12 Monaten
  2. Lieber Herr Wabnik,
    Das Video war sehr schön aufgebaut und verständlich erklärt. Man könnte Ihnen gut folgen. Die Übung fällt mir dennoch schwer und ich wollte sie darum bitten, mir eventuell den Rechenweg der Übung zu schicken!
    Vielen lieben Dank

    Von Flowerbird 1, vor 12 Monaten

Verkettete Funktionen - Definition und Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Verkettete Funktionen - Definition und Beispiele kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine verkettete Funktion ist.

    Tipps

    Es gilt: $~(u\circ v)(x)=u(v(x))$

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    Verkettet man die Funktionen

    • $g(x)=\sqrt{x}$ und
    • $h(x)=2x~$,
    erhält man
    • $f(x)=g(h(x))=\sqrt{2x}~$.

    Lösung

    Werden zwei Funktionen miteinander verkettet, so wird der Funktionsterm der einen Funktion an Stelle der Variablen des Funktionsterms der anderen Funktion eingesetzt:

    • $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
    Beim linken Term sagen wir: $f$ nach $g$, weil wir zunächst $g$ auf $x$ anwenden und dann $f$.

    Auf der rechten Seite sprechen wir es als: $f$ von $g$ von $x$ aus.

    In diesem Fall ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Denn der Funktionsterm von $g$ wird in die Funktion $f$ eingesetzt. Für $g(x)=3x+4$ und $f(x)=x^2$ ergibt sich dann:

    • $h(x)=(f\circ g)(x)=(3x+4)^2$
    Wir setzen also den Funktionsterm $3x+4$ an der Stelle $x$ des anderen Funktionsterms, also $x^2$ ein.

  • Gib die jeweiligen verketteten Funktionen an.

    Tipps

    Es gilt: $~(s\circ t)(x)=s(t(x))$

    Du setzt also den Funktionsterm der Funktion $t$ an Stelle der Variablen des Funktionsterms der Funktion $s$ ein.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    • $a(x)=x+1$
    • $b(x)=\cos(x)$
    • $(a\circ b)(x)=\cos(x)+1$
    • $(b\circ a)(x)=\cos(x+1)$
    Lösung

    Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

    • $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
    • $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$
    In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt.

    Wir erhalten folgende Verkettungen:

    • $(f\circ k)(x)=f(k(x))=f(3x+4)=(3x+4)^2$
    • $(g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2^2+x^2)=\sqrt{2^2+x^2}$
    • $(u\circ v)(x)=u(v(x))=u(2x^2)=3^{2x^2}$
    • $(s\circ t)(x)=s(t(x))=s(x^4)=\sin(x^4)$
  • Erschließe die Funktionen, die miteinander verkettet wurden.

    Tipps

    Verkettest du die Funktion $h(x)=x-1$ mit $k(x)=\frac 1x$, so erhältst du:

    • $(h\circ k)(x)=\frac 1x-1$
    Lösung

    Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

    • $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
    • $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$
    In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt. In der zweiten Variante ist es genau umgekehrt.

    Wir erhalten hier die folgenden Verkettungen $(t\circ s)(x)$:

    Funktion 1: $~f(x)=\sqrt{x^2-1}$

    Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=\sqrt{x}$ mit $s(x)=x^2-1$ verketten.

    Funktion 2: $~g(x)=\dfrac{1}{x-1}$

    Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=\frac 1x$ mit $s(x)=x-1$ verketten.

    Funktion 3: $~h(x)=(x+1)^2$

    Diese Funktion erhalten wir, indem wir die Funktion $t(x)=x^2$ mit $s(x)=x+1$ verketten.

  • Ermittle die verketteten Funktionen.

    Tipps

    Die Funktion $f(g(x))=\sqrt{\sin(x)}$ hat die innere Funktion $g(x)=\sin(x)$ und die äußere Funktion $f(x)=\sqrt{x}$.

    Beim Sinus gilt: $(\sin(x))^2=\sin^2(x)$. Beides sind äquivalente Schreibweisen.

    Lösung

    Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

    • $f(g(x))$
    • $g(f(x))$
    In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt.

    Wir erhalten hier folgende Verkettungen:

    • Die Funktion $g(f(x))=\sin^2(x+1)$ hat die innere Funktion $f(x)=\sin(x+1)$ und die äußere Funktion $g(x)=x^2$.
    • Die Funktion $k(p(x))=e^x-1$ hat die innere Funktion $p(x)=e^x$ und die äußere Funktion $k(x)=x-1$.
    • Die Funktion $t(s(x))=\sin(x+1)$ hat die innere Funktion $s(x)=x+1$ und die äußere Funktion $t(x)=\sin(x)$.
  • Gib die allgemeine mathematische Schreibweise für die Verkettung von Funktionen an.

    Tipps

    $(f\circ g)(x)$ bedeutet, dass der Funktionsterm der Funktion $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt wird.

    Wir sagen für $(s\circ t)(x)$ auch: $s$ nach $t$.

    Lösung

    Die Verkettung von Funktionen drücken wir allgemein wie folgt aus:

    • $~(f\circ g)(x)=f(g(x))$
    • $~(g\circ f)(x)=g(f(x))$
    In der ersten Variante ist $g$ die innere und $f$ die äußere Funktion. Es wird der Funktionsterm von $g$ in die Funktion $f$ eingesetzt.

    In der zweiten Variante ist es genau umgekehrt. Für die Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$ erhalten wir zum Beispiel die folgenden Verkettungen:

    • $(f\circ g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2$
    • $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x^2+1$
  • Bestimme die Funktionen $t$, $u$, $v$ und $w$ so, dass $f(x) =t(u(v(w(x))))$ gilt.

    Tipps

    Bei der Verkettung $t(u(v(w(x))))$ ist $w(x)$ die innerste Funktion.

    Überlege, welchen Term du zuerst berechnen würdest, um den Funktionsterm von $f$ für einen gegebenen $x$-Wert zu berechnen. Dieser Term ist der Funktionsterm der innersten Funktion.

    Lösung

    Bei der Verkettung $f(x)=t(u(v(w(x))))$ ist $w(x)$ die innerste Funktion.

    Wir überlegen, welchen Term wir zuerst berechnen würden, um den Funktionsterm von $f$ für einen gegebenen $x$-Wert zu berechnen. Dieser Term ist der Funktionsterm der innersten Funktion.

    Überlege dir, wie du Schritt für Schritt mit dem $x$ vorgehst:

    1. Zunächst addierst du $1$. So erhalten wir: $f(x) =t(u(v(w(x))))=t(u(v(x+1)))$
    2. Dann wendest du darauf den Sinus an: $f(x) =t(u(v(x+1)))=t(u(\sin(x+1)))$
    3. Nun ziehst du die Wurzel: $f(x) =t(u(\sin(x+1)))= t(\sqrt{\sin(x+1)})$
    4. Im letzten Schritt teilst du $1$ durch den Term: $f(x) =t(\sqrt{\sin(x+1)})=\dfrac{1}{\sqrt{\sin(x+1)}}$
    Damit folgt:
    • $w(x)=x+1$
    • $v(x)=\sin(x)$
    • $u(x)=\sqrt{x}$
    • $t(x)=\frac 1x$