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Textaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen

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Thekla Haemmerling
Textaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Textaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen

Hallo, In diesem Video wiederholst du die Eigenschaften von proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen. Du lernst außerdem, wie du systematisch Textaufgaben lösen kannst, die sich auf diese speziellen Zuordnungen bezieht. Dabei verwenden wir den sogenannten Dreisatz. Mithilfe des Dreisatzes kannst du auch im Alltag schnell und richtig rechnen. Viel Spaß!

Transkript Textaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen

Hallo ich bin Thekla und heute geht es um Textaufgaben zu proportionalen und antiproportionale Zuordnungen.

Wir wiederholen, was eine proportionale Zuordnung und was eine antiproportionale Zuordnung ist. Dann schauen wir uns zwei Textaufgaben an, bei denen einmal eine proportionale und dann eine antiproportionale Zuordnung zugrunde liegt. Wir lösen die Aufgaben mit dem Dreisatz.

Zum Schluss fassen wir alles zusammen.

Weißt du noch, was eine proportionale Zuordnung ist? Eine proportionale Zuordnung x nach y hat drei wesentliche Eigenschaften: 1. Dem doppelten (dreifachen, n-fachen) Wert von x wird der doppelte, dreifache oder n-fache Wert von y zugeordnet. 2. Der Quotient y/x ist für alle Wertepaare (x|y) gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor. k gleich y/x. 3. Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet: y = k mal x., wobei k der errechnete Proportionalitätsfaktor ist.

Was ist nun aber eine antiproportionale Zuordnung x nach y? Ein wesentlicher Unterschied ist erstens, dass dem n-fachen, also zum Beispiel doppelten oder dreifachen, Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Zweitens betrachtet man das Produkt x mal y. Dieses ist für alle Wertepaare (x|y) gleich groß und heißt Produktgröße. p = x mal y. 3. Die Gleichung einer antiproportionalen Zuordnung lautet: y gleich p durch x., wobei p die berechnete Produktgröße ist. Behalten wir diese Informationen im Hinterkopf und schauen uns jetzt unsere Textaufgabe 1 an. Laura und Steffi gehen gern auf den Markt. Dort werden ihnen viele frische Waren, wie Obst und Gemüse angeboten. Heute wollen sie Erdbeeren kaufen. Auf dem Schild steht: 2 Kilo für 6 € .

Laura und Steffi brauchen aber nur ein halbes Kilo, also 500 Gramm. Wie viel müssen sie bezahlen?

Das Gewicht der Erdbeeren wird dem Preis zugeordnet. Die Zuordnung ist proportional, denn je mehr Erdbeeren man kaufen möchte, desto mehr muss man auch zahlen. Lösen wir unser Problem mithilfe des Dreisatz und einer Tabelle.

2 Kilo Erdbeeren kosten 6 Euro. Zuerst könntest du den Preis von 100 Gramm bzw. 0,1 kg Erdbeeren berechnen. Dazu rechnest du die 2 Kilo zuerst in Gramm um. 2 Kilogramm sind 2000 Gramm. Nun musst du berechnen, wie viel 100 Gramm Erdbeeren kosten. Hierfür musst du 2 kg durch 20 teilen. Auf der anderen Seite musst du ebenfalls durch 20 teilen. Also 6 Euro geteilt durch 20 ist gleich 0,30 € oder auch 30 Cent. Laura und Steffi wollten 500 Gramm kaufen; dazu müssen wir 0,1 kg mal 5 rechnen, und auf der anderen Seite 0,30 € mal 5 rechnen. Das ergbit 1,50 Euro.

Also müssen die beiden 1,50 Euro für ihre Erdbeeren bezahlen.

Du kannst für diese Zuordnung eine Gleichung aufstellen. Die allgemeine Gleichung hatte ich dir vorhin gezeigt: y gleich k mal x, wobei x die Menge in Kilogramm, y der Preis in € und k der Proportionalitätsfaktor sind. Er berechnet sich, indem du einen y-Wert durch den entsprechenden x-Wert teilst. Hier ist k zum Beispiel 6 durch 2, also 3. Die Gleichung lautet dann: y gleich 3 mal x.

Kommen wir nun zu Textaufgabe 2. Bauer Heinrichs Pferde sind verrückt nach Karotten. Ein Karottenvorrat reicht für 6 Pferde 30 Tage lang.

Stell dir vor, Bauer Heinrich schafft sich noch drei weitere Pferde an. Wie lange reicht dann der Vorrat an Karotten? Hierbei wird vorausgesetzt, dass der Appetit der Pferde gleich bleibt.

Zuerst überlegst du dir, was eigentlich wem zugeordnet wird. Hier wird die Anzahl der Pferde der Anzahl der Tage zugeordnet, für die der Vorrat reicht. Je mehr Pferde Bauer Heinrich füttern muss, desto schneller geht der Karrottenvorrat zur Neige. Die Zuordnung ist also antiproportional. Um die Frage nach dem Vorrat zu beantworten, benutzen wir wieder den Dreisatz und schreiben die Werte in eine Tabelle. Du schreibst zuerst auf, für wie viele Pferde der Vorrat wie lange reicht: Für 6 Pferde reicht der Vorrat 30 Tage. Nun kommt der Dreisatz ins Spiel. Wir berechnen zuerst, für wie lange die Karotten für ein Pferd reichen würden. Dazu teilen wir die Anzahl der Pferde durch 6. Nun aufgepasst! Auf der anderen Seite kommt die Antiproportionalität ins Spiel: Hier müssen wir mit 6 multiplizieren. Also 30 mal 6 gleich 180 Tage. Hätte der Bauer nur ein Pferd, würde der Vorrat also für 180 Tage reichen!

Nun müssen wir im dritten Schritt die Anzahl der Pferde auf 9 erhöhen. Wir rechnen mal 9 auf dieser Seite und teilen durch 9 auf der anderen Seite.

Als Ergebnis erhalten wir, dass der Karottenvorrat für 9 Pferde 20 Tage reicht.

Wir können auch für diese Zuordnung eine Gleichung aufstellen. Die allgemeine Gleichung einer antiproportionalen Zuordnung lautet: y gleich p durch x, wobei p die Produktgröße darstellt. Überleg nochmal, wie kannst du p berechnen?

Genau, indem du dir ein Wertepaar (x|y) aussuchst und x mal y nimmst.

Nehmen wir zum Beispiel das erste Wertepaar aus unserer Textaufgabe (6|30).

p ist dann 6 mal 30 also 180.

Deine Gleichung lautet dann: y gleich 180 durch x. Fassen wir nun alles zusammen.

Um Textaufgaben zu proportionalen oder antiproportionalen Zuordnungen zu lösen, solltest du den Dreisatz verwenden. Du berechnest dabei den gesuchten Wert durch geeignete Zwischenschritte. Die Gleichung für proportionale Zuordnungen lautet y = k mal x, wobei k der Proportionalitätsfaktor ist. Die Gleichung für antiproportionale Zuordnungen lautet y = p durch x, wobei p die Produktgröße ist.

Mir haben die Textaufgaben heute viel Spaß gemacht. Ich hoffe, wir sehen uns bald wieder!

Tschüss!

32 Kommentare

32 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt !!☺👍

    Von Mailin Huelse, vor 28 Tagen
  2. Sehr gut erklärt

    Von Deleted User 1405917, vor 5 Monaten
  3. Habe eine 6 bekommen leider

    Von Andreas Glatz, vor 5 Monaten
  4. Hello

    Dreisatz hab ich jetzt verstanden

    LG burnenstein

    Von Punktsymmetrie2018, vor mehr als einem Jahr
  5. Leider zu spät aber ich habe eine Gute Note Inder Arbeit

    Ne 3-

    Von Punktsymmetrie2018, vor mehr als einem Jahr
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Textaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Textaufgaben zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ordne die Eigenschaften den Begriffen „proportionale“ und „antiproportionale Zuordnung“ zu.

    Tipps

    Bei einer proportionalen Zuordnung, wird dem n-fachen Wert von $x$ auch der n-fache Wert von $y$ zugeordnet.

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung wird dem n-fachen Wert von $x$ der n-te Teil von $y$ zugeordnet.

    Lösung

    Proportionale Zuordnung: Proportionalitätsfaktor, $y = k \cdot x$, $k = \frac {y}{x}$

    Dem n-fachen Wert von $x$ wird der n-fache Wert von $y$ zugeordnet. Das bedeutet, dass der $y$-Wert bei steigendem $x$-Wert größer wird. Die Gleichung $y = k \cdot x$ gehört somit zu dieser Zuordnung. Denn der Faktor (sofern er größer als $1$ ist) bewirkt, dass auch $y$ größer wird.

    Dieser Faktor $k$ wird Proportionalitätsfaktor genannt. Er wird dadurch berechnet, dass man ein beliebiges Wertepaar $(x|y)$ in die Formel $k = \frac {y}{x}$ einsetzt. Dieser Wert ist für alle Wertepaare gleich.

    Antiproportionale Zuordnung: Produktgröße , $y = \frac {p} {x}$ , $x \cdot y = p $

    Dem n-fachen Wert von $x$ wird der n-te Teil von $y$ zugeordnet. Das bedeutet, dass der $y$-Wert bei steigendem $x$-Wert kleiner wird. Deshalb gehört die Gleichung $y = \frac {p} {x}$ zu dieser Zuordnung.

    Der Parameter $p$ ist die sogenannte Produktgröße. Sie ist für alle Wertepaare $(x|y)$ gleich groß und wird mit der Formel $x \cdot y = p $ berechnet.

  • Vervollständige die Textaufgabe.

    Tipps

    Überlege, welche Größe (Preis, Gewicht) von der anderen abhängt und versuche, eine Zuordnung aufzustellen. Was wird wem zugeordnet?

    Muss man mehr oder weniger bezahlen, wenn man anstatt 2 kg Erdbeeren 4 kg kaufen will?

    Lösung

    Laura und Steffi möchten einen Obstkuchen backen. Dafür brauchen sie 500 g Erdbeeren. Auf dem Markt kosten 2 kg Erdbeeren 6 €. Wie viel müssen die beiden bezahlen?

    Es liegt die Zuordnung Gewicht $\to$ Preis vor. Die Zuordnung ist proportional, denn je mehr Erdbeeren man kaufen möchte, desto mehr muss man bezahlen.

    Die Aufgabe kann man mit dem Dreisatz mittels einer Tabelle lösen. 2 kg Erdbeeren kosten 6 €. Zuerst kann man den Preis von 100 g Erdbeeren errechnen, wenn man die 2 kg = 2000 g durch 20 teilt, und die 6 € durch 20 teilt.

    100 g Erdbeeren kosten demnach 30 Cent. Um den Preis von 500 g Früchten zu errechnen, musst du nun sowohl die 100 g als auch die 30 Cent mit 5 multiplizieren. Die beiden müssen insgesamt 1,50 € für ihre Erdbeeren bezahlen und können nun einen leckeren Erdbeerkuchen backen.

    Für diese Zuordnung kann man eine Gleichung aufstellen: $y = k \cdot x$, wobei $y$ der Preis in €, $x$ das Gewicht der Erdbeeren in kg und $k$ der Proportionalitätsfaktor ist. $k$ lässt sich mit der Formel $ k = \frac {y}{x}$ berechnen, wobei $x$ und $y$ ein beliebiges Wertepaar, also zum Beispiel (2|6), sind. Hier lautet die Gleichung $y = 3 \cdot x$.

  • Ermittle, wo der Dreisatz richtig angewandt wurde.

    Tipps

    Versuche, aus den Zuordnungen Sätze zu formulieren, die „je mehr...desto mehr“ bzw. „je mehr...desto weniger“ enthalten, und überlege, welche Zuordnungen dann proportional bzw. antiproportional sind.

    Vergleiche die zweite und letzte Zeile und überlege, welche Dreisatzumformungen rein logisch falsch sein müssen.

    In zwei der vier Tabellen wurden richtige Umformungen verwendet.

    Lösung

    Zuordnung 1: Alter eines Baumes $\to$ Höhe eines Baumes (falsch)

    Diese Zuordnung ist proportional, da man sagen kann: „Je älter ein Baum ist, desto größer ist er.“

    (Irgendwann ist seine Höhe natürlich konstant, aber in den Jahren seines Wachstums vergrößert sich seine Höhe proportional.)

    Die Dreisatzumformung ist allerdings nicht richtig durchgeführt worden. Bei proportionalen Zuordnungen führt man mit beiden Größen dieselben Operationen durch. Das heißt, dass man auf beiden Seiten gleichzeitig multiplizieren bzw. dividieren muss.

    Richtig gewesen wäre, die 2,5 m ebenfalls durch 2 zu teilen und dann das Zwischenergebnis 1,25 m (Höhe nach einem Jahr) mit 4 zu multiplizieren. Das Gesamtergebnis würde dann 5 m lauten.

    Zuordnung 2: Anzahl der Ziegel $\to$ Gewicht in kg (richtig)

    Diese Zuordnung ist ebenfalls proportional, denn je mehr Ziegel man zum Beispiel für ein Haus verwendet, desto mehr Gewicht muss man transportieren.

    Die Dreisatzumformungen sind korrekt.

    Zuordnung 3: Anzahl der Lottogewinner $\to$ Gewinn in € (falsch)

    Diese Zuordnung ist antiproportional. Je mehr Leute im Lotto gewinnen, desto geringer ist der Gewinn pro Person.

    Die Dreisatzumformung ist hier nicht richtig durchgeführt worden. Bei antiproportionalen Zuordnungen führt man mit beiden Größen entgegengesetzte Operationen durch. Das heißt, dass man auf der einen Seite multiplizieren bzw. dividieren und auf der anderen Seite dementsprechend dividieren bzw. multiplizieren muss.

    Richtig gewesen wäre, die 300 000 € mit 15 zu multiplizieren und dann das Zwischenergebnis 4500000 (Gewinn für eine Person) durch 20 zu teilen. Das Gesamtergebnis würde dann 225 000 € lauten.

    Zuordnung 4: Anzahl Bagger $\to$ Zeit in Stunden (richtig)

    Diese Zuordnung ist wie Zuordnung 3 antiproportional, da man folgenden Satz formulieren kann: „Je mehr Bagger zur Verfügung stehen, desto weniger Zeit benötigen die Arbeiter, zum Beispiel eine Kiesgrube auszuheben.“

    Die Dreisatzumformungen sind korrekt.

  • Entscheide, welche Zuordnungen proportional und welche antiproportional sind.

    Tipps

    Versuche, die Zuordnungen zu „je...desto“-Sätzen umzuformulieren.

    Bsp: Je mehr Flaschen Saft ich kaufe, desto mehr Geld muss ich ausgeben. (Proportionale Zuordnung)

    Je mehr Tiere ich zu füttern habe, desto weniger lange reicht mein Futtervorrat. (Antiproportionale Zuordnung)

    Lösung

    Um zu entscheiden, ob eine Zuordnung proportional oder antiproportional ist, bietet es sich an, „je...desto“-Sätze zu formulieren.

    Zuordnung 1:

    6 Arbeiter benötigen für den Aufbau eines Gerüstes einen Tag. Die Zuordnung Arbeiter $\to$ Zeit ist antiproportional.

    Je mehr Arbeiter man zur Verfügung hat, desto schneller ist das Gerüst aufgebaut, d.h., desto weniger Zeit benötigt man.

    Zuordnung 2:

    3 Personen zahlen für ihre Ferienwohnung jeweils 120 €. Die Zuordnung Anzahl Personen $\to$ Kosten ist antiproportional.

    Je mehr Personen zusammen in eine Ferienwohnung ziehen (sofern dafür Platz ist), desto weniger muss jeder einzelne bezahlen.

    Zuordnung 3:

    Für den Anstrich einer 200 m² großen Fläche benötigt man 45 l Farbe. Die Zuordnung Fläche $\to$ Liter Farbe ist proportional.

    Je größer die zu streichende Fläche ist, desto mehr Farbe wird benötigt.

    Zuordnung 4:

    5 Pumpen benötigen 3 Tage um einen Stausee leer zu pumpen. Die Zuordnung Anzahl Pumpen $\to$ Zeit ist antiproportional.

    Je mehr Pumpen man zur Verfügung hat, desto kürzer braucht man, um den Stausee leer zu pumpen.

    Zuordnung 5:

    1 Liter Benzin kostete 2014 durchschnittlich 152,83 Cent. Die Zuordnung Liter $\to$ Kosten ist proportional.

    Je mehr Liter Benzin man kauft, desto mehr Geld muss man ausgeben.

  • Vervollständige die Tabelle mit dem Dreisatz.

    Tipps

    Welche Informationen (Zuordnung, Ausgangssituation) kannst du aus der Aufgabenstellung herauslesen?

    Die Zuordnung ist antiproportional. Welche Rechenoperationen des Dreisatzes gehören dann jeweils zusammen?

    Lösung

    Die Aufgabe beinhaltet eine antiproportionale Zuordnung. Die Anzahl der Pferde wird der Anzahl der Tage, für die der Karottenvorrat reicht, zugeordnet.

    Je mehr Pferde Bauer Heinrich verpflegen muss, desto weniger reicht sein Vorrat an Karotten.

    In die erste Zeile gehören also die Begriffe Anzahl der Pferde und Anzahl der Tage.

    Aus dem Eingangstext kann man außerdem ein Wertepaar der Zuordnung entnehmen: $(6|30)$. Das heißt, dass für $6$ Pferde der Vorrat $30$ Tage reicht. $6$ und $30$ gehören also in die zweite Zeile. Diese Zeile ist der erste Schritt beim Dreisatz.

    Nun bringt man die Anzahl der Pferde auf $1$, indem man die $6$ durch $6$ teilt. Auf der anderen Seite muss man die Anzahl der Tage mit $6$ multiplizieren, was $180$ ergibt. Bei antiproportionalen Zuordnungen führt man bei den Dreisatzschritten immer gegenteilige Operationen durch. In die dritte Zeile gehören also folgende Elemente (in dieser Reihenfolge):

    $: 6 ~~~~~~~~~~ 1 ~~~~~~~~~~ 180 ~~~~~~~~~ ~ \cdot~6$.

    Nun folgt der dritte und letzte Schritt des Dreisatzes. Die Anzahl der Pferde muss auf $9$ erweitert werden. Dazu multipliziert man sie mit $9$. Auf der anderen Seite muss die gegenteilige Operation $:~9$ durchgeführt werden. Man muss also die $180$ durch $9$ teilen und erhält $20$.

    Die Antwort auf die Frage Wie lange reicht dann sein Vorrat? lautet also:

    Der Vorrat reicht für $9$ Pferde $20$ Tage.

  • Prüfe die folgenden Zuordnung auf Proportionalität oder Anitporportionalität.

    Tipps

    Überlege, zu welchen Zuordnungen die Merksätze je mehr...desto mehr bzw. je mehr...desto weniger gehören.

    je mehr...desto mehr $\to$ proportionale Zuordnung

    je mehr...desto weniger $\to$ antiproportionale Zuordnung

    Lösung

    Aufgabe $1$:

    Sieben Zwerge können an einem Tag $99$ Plätzchen backen. Wie viele Plätzchen könnten sie backen, wenn Schneewittchen ihnen hilft? (Schneewittchen ist im Backen genauso gut wie jeder einzelne Zwerg.)

    Die Zuordnung ist proportional. Man kann nämlich sagen: „Je mehr Bäcker zur Verfügung stehen, desto mehr Plätzchen können gebacken werden.

    Aufgabe $2$:

    Auf einer $5 000~m²$ großen Fläche steht bereits ein Häuserblock mit einer Grundfläche von $1 000~m²$. Eine Baufirma möchte noch zwei weitere Häuserblocks mit derselben Grundfläche bauen.

    Die Zuordnung Anzahl an Häuserblocks $\to$ verfügbare Fläche ist antiproportional. Je mehr Gebäude gebaut werden, desto weniger Fläche steht zur Verfügung.

    Aufgabe $3$:

    Philipp ist verrückt nach Gummibärchen. Im Monat bekommt er $20$ € Taschengeld und gibt es ausschließlich für die Süßigkeiten aus. Je mehr Gummibärchenpackungen er kauft, desto weniger Taschengeld hat ein am Ende des Monats.

    Deshalb ist die Zuordnung Anzahl Gummibärchenpackungen $\to$ Taschengeldmenge antiproportional.

    Aufgabe $4$:

    Die Klasse $7$ a möchte mit insgesamt $28$ Schülern an die Ostsee verreisen. Zwei Lehrer kommen als Begleitpersonen mit. Die Fahrt kostet für alle zusammen $3000~€$. Die $7$ a beschließt, mit der Parallelklasse zusammen zu fahren. Dabei kommen $30$ Schüler und $2$ Lehrer hinzu. Wie viel müssen nun alle zusammen, also 62 ( zweiundsechzig) Personen bezahlen?

    Je mehr Personen auf die Reise mitfahren, desto mehr muss insgesamt bezahlt werden. Die Zuordnung ist also proportional.

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