Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung

Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung Übung

• Gib an, welche Aussagen zum arithmetischen Mittel und zur mittleren Abweichung zutreffen.

  Tipps

  Betrachte die Formel für die mittlere Abweichung:
  $d = \frac{\text{Summe der Abweichungen}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{|x_{1}-\bar{x}| + |x_{2}-\bar{x}| + |x_{3}-\bar{x}| +...+ |x_{n}-\bar{x}|}{n}$
  Welche Werte benötigst du für die Berechnung?
  Welche Ergebnisse sind denkbar?

  Mittelwert oder Durchschnitt sind andere Begriffe für das arithmetische Mittel.

  Lösung

  • Mittelwert oder Durchschnitt sind andere Begriffe für das arithmetische Mittel.
  • Wenn alle Werte der Datenreihe identisch sind, dann ergibt sich eine mittlere Abweichung von $d = 0$. Zum Beispiel drei Bilder mit je fünf Likes, hier ist das arithmetische Mittel der Likes $\bar{x} = 5$ und für die mittlere Abweichung gilt: $d = \frac{|5 - 5| + |5 - 5| + |5 - 5|}{3} = \frac{0 + 0 +0}{3} = 0$
  • Die mittlere Abweichung gibt die Verteilung um das arithmetische Mittel $\bar{x}$ an. Daher wird für die Berechnung das arithmetische Mittel $\bar{x}$ benötigt. Das erkennst du auch daran, dass $\bar{x}$ Teil der Formel zur Berechnung der mittleren Abweichung ist.

• Vervollständige den Text zur mittleren Abweichung.

  Tipps

  Je näher die Daten beieinanderliegen, desto geringer ist die Abweichung.

  Werte, die besonders weit vom Mittelwert entfernt liegen, vergrößern die mittlere Abweichung.

  Lösung

  Die mittlere Abweichung gibt an, wie weit die Werte durchschnittlich vom arithmetischen Mittel entfernt sind. Dabei wird, wie auch bei der Berechnung des Mittelwerts (arithmetischen Mittels), durch die Anzahl der Werte geteilt.
  Als Streuungsparameter gibt die mittlere Abweichung Auskunft über die Streuung der Werte. Liegen die Werte weit um den Mittelwert verteilt, dann ergibt sich eine große Abweichung/Streuung. Umgekehrt ist die Streuung gering, wenn die Werte nahe am Mittelwert liegen.
  Werte, die ungewöhnlich stark vom arithmetischen Mittel abweichen, werden als Ausreißer bezeichnet. Gibt es solche Werte, dann führt dies zu einer erhöhten mittleren Abweichung, da der Ausreißer selbst eine besonders große Abweichung hat.

• Ermittle die Formeln zur Berechnung des arithmetischen Mittels der Datenreihen.

  Tipps

  Erinnere dich an die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels.
  $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

  Die Zahlen in der Summe im Zähler können auch vertauscht werden. Es gilt das Kommutativgesetz. Dieses besagt, dass bei einer reinen Addition die Summanden vertauscht werden können. Es gilt also zum Beispiel: $a+b=b+a$.

  Das $n$ im Nenner steht für die Anzahl der Werte der jeweiligen Datenreihe.

  Lösung

  Zur Berechnung des arithmetischen Mittels teilst du die Summe der Werte einer Datenreihe durch die Anzahl der Werte in der jeweiligen Datenreihe. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

  $\bar{x} = \frac{\text{Summe der Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

  Dabei ist die Reihenfolge bei der Summe flexibel. Nach dem Kommutativgesetz kannst du bei einer reinen Addition die Summanden vertauschen, das heißt, dass du statt $2 + 3 + 4$ auch $2 + 4 + 3$ oder $4 + 3 + 2$ schreiben kannst. Das Ergebnis bleibt dabei stets gleich.
  Im Nenner steht immer die Anzahl der verwendeten Werte. Dazu kannst du zum Beispiel die Werte, die in der Summe im Nenner stehen, abzählen.

  Beispiel 1: $~20, 7, 8, 15, 12, 7$

  Die Datenreihe besteht aus $6$ Daten, also gilt $n = 6$. Damit folgt:

  $\bar{x} = \frac{20 + 7 + 8 + 15 + 12 + 7}{6} = \frac{69}{6} = 11,5$

  Beispiel 2: $~6, 7, 8, 7, 8$

  Für diese Datenreihe mit $n = 5$ Werten erhalten wir:

  $\bar{x} = \frac{6 + 7 + 8 + 7 + 8}{5}= \frac{36}{5} = 7,2$

  Beispiel 3: $~67, 80, 55, 57$

  Mit $n=4$ erhalten wir folgenden Mittelwert:

  $\bar{x} = \frac{67 + 80 + 55 + 57}{4}= \frac{259}{4} = 64,75$

  Beispiel 4: $~6, 7, 7, 8, 8, 3$

  Wir haben wieder $6$ Daten in der Datenreihe. Es ist also $n=6$ und das arithmetische Mittel berechnet sich wie folgt:

  $\bar{x} = \frac{6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 3}{6}= \frac{39}{6} = 6,5$

• Berechne das arithmetische Mittel $\bar{x}$ der gegebenen Datenwerte.

  Tipps

  Berechne zunächst die Summe der angegebenen Werte.

  Wie viele Werte sind jeweils gegeben?
  Das arithmetische Mittel erhältst du, indem du die Summe der Werte durch die Anzahl der Werte teilst.

  Lösung

  Um das arithmetische Mittel einer Datenreihe zu berechnen, addieren wir zunächst alle Werte und teilen diese Summe dann durch die Anzahl der Werte:
  $\bar{x} = \frac{\text{Summe der Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

  Beispiel 1: $~12, 11, 11, 10, 14, 11 \quad\rightarrow\quad n = 6$

  $\bar{x} = \frac{12 + 11 + 11 + 10 + 14 + 11}{6} = \frac{69}{6} = \frac{23}{2} = 11,5$

  Beispiel 2: $~16, 15, 8, 11, 9 \quad\rightarrow\quad n = 5$

  $\bar{x} = \frac{16 + 15 + 8 + 11 +9}{5} = \frac{59}{5} = 11,8$

  Beispiel 3: $~5, 6, 3, 5, 5, 7, 4, 15 \quad\rightarrow\quad n = 8$

  $\bar{x} = \frac{5 + 6 + 3 + 5 + 5 + 7 + 4 + 5}{8} = \frac{40}{8} = 5$

• Vervollständige die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels.

  Tipps

  Schau dir die Formel für das arithmetische Mittel noch einmal an:
  $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

  Das $n$ im Nenner steht für die Anzahl der Werte. Du kannst also abzählen, wie viele Werte du im Zähler summierst.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels lautet:
  $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$
  Zunächst addieren wir alle Datenwerte und teilen diese Summe dann durch die Anzahl der Werte $n$.
  Für die Summe der Datenwerte erhalten wir hier:
  $16 + 5 + 7 + 3 + 10=41$
  Diese teilen wir nun durch $5$, da wir insgesamt $n = 5$ Datenwerte haben.
  Damit ergibt sich für das arithmetische Mittel:

  $\bar{x} = \frac{16 + 5 + 7 + 3 + 10}{5} = \frac{41}{5} = 8,2$

• Berechne die mittlere Abweichung $d$ der gegebenen Datenwerte.

  Tipps

  Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und berechne:

  $d = \frac{\text{Summe der Abweichungen}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{|x_{1}-\bar{x}| + |x_{2}-\bar{x}| + |x_{3}-\bar{x}| +...+ |x_{n}-\bar{x}|}{n}$

  Die Betragsstriche sorgen dafür, dass jede Abweichung positiv gewertet wird.
  Es gilt zum Beispiel:

  $\quad\left|7\right| = 7$

  $\quad\left|-7\right| = 7$

  Beispiel: $~2, 6, 4$

  Es ist $n = 3 $ und $\bar{x} = 4$.

  $d = \frac{|2 - 4| + |6 - 4| + |4 - 4|}{3} = \frac{2 + 2 + 0}{3} = \frac{4}{3} = 1,\overline{3}$

  Lösung

  Die mittlere Abweichung ergibt sich nach der folgenden Formel:

  $d = \frac{\text{Summe der Abweichungen}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{|x_{1}-\bar{x}| + |x_{2}-\bar{x}| + |x_{3}-\bar{x}| +...+ |x_{n}-\bar{x}|}{n}$

  Es wird zunächst die Summe der Abweichungen vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ bestimmt. Durch die Betragsstriche werden dabei alle Abweichungen positiv gewertet. Im Nenner steht, wie auch bei der Berechnung des arithmetischen Mittels, die Anzahl der Datenwerte.

  Beispiel 1: $~8, 11, 10, 3$

  Mit $n = 4 $ und $\bar{x} = 8$ folgt:

  $d = \frac{\left|8 - 8\right| + \left|11-8\right| + \left|10 - 8\right| + \left|3 - 8\right|}{4} = \frac{\left|0\right| + \left|3\right| + \left|2\right| + \left|-5\right|}{4} = \frac{0 + 3 + 2 + 5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

  Beispiel 2: $~27, 18, 33, 26 $

  Mit $n = 4 $ und $\bar{x} = 26$ folgt:

  $d = \frac{|27-26| + |18-26| + |33-26| + |26-26|}{4} = \frac{1 + 8 + 7 + 0}{4} = \frac{16}{4} = 4$

  Beispiel 3: $~35, 15, 20, 30, 55 $

  Mit $n = 5 $ und $\bar{x} = 31$ folgt:

  $d = \frac{|35-31| + |15-31| + |20-31| + |30-31| + |55-31|}{5} = \frac{4 + 16 + 11 + 1 + 24}{5} = \frac{56}{5} = 11,2$