Steigung proportionaler Funktionen – Eigenschaften von Steigungsdreiecken 05:00 min

Hallo! Im letzten Film habe ich gesagt, dass man die Steigung einer proportionalen Funktion oder die Steigung eines Graphen einer proportionalen Funktion wie hier dadurch bestimmen kann, indem man so ein Steigungsdreieck bastelt. Dieses Steigungsdreieck ist hier. Ich sage noch mal, wie es geht, man kann zu irgendeinem Punkt des Graphen gehen, dann geht man irgendeine Strecke parallel zur x-Achse von links nach rechts, von dort aus geht man parallel zur y-Achse bis zum nächsten Punkt des Graphen. Dann teilt man die Streckenlänge parallel zur y-Achse durch die Streckenlänge parallel zur x-Achse. Und das, was da rauskommt, habe ich gesagt, ist die Steigung. Jetzt muss man natürlich klären, ob das auch ein sinnvoller Begriff ist. Und wie macht man das? Wenn das also sinnvoll sein soll, muss das mit unserem Gefühl zusammenpassen und wir haben das Gefühl, dass diese Steigung, dieser Graph hier überall die gleiche Steigung hat, also dass die Steigung überall gleich ist. Das bedeutet, ich habe gesagt, ich kann irgendeinen Punkt vom Graphen nehmen und da losgehen - dann müsste das ja auch für andere Punkte des Graphen funktionieren. Ich mach das dann Mal hier vor und mal gucken, ob das hier funktioniert. Also, ich gehe dann mal hier los, bei dem x-Wert -6 und gehe dann wie hier drei Einheiten nach rechts. Man geht immer von links nach rechts. Das ist von hier bis hier. Bis hierhin gehe ich und dann, von dem Punkt aus, vertikal, also parallel zur y-Achse, zum nächsten Punkt des Graphen. Das ist hier und jetzt kann ich das nachmessen, wie lang die Strecke parallel zur y-Achse ist: Das sind 1,5 Einheiten. Die Strecke parallel zur x-Achse sind 3 Einheiten. Also muss ich 1,5 durch 3 teilen und da kommt wieder 1/2 raus. Das bedeutet also: Dieses Steigungsdreieck bringt die gleiche Steigung wie dieses Steigungsdreieck. Jetzt habe ich aber auch gesagt - ich zeige es noch mal in "schön" hier - nun habe ich auch gesagt, man kann nicht nur von irgendeinem Punkt x des Graphen losgehen parallel zur x-Achse, sondern es ist auch egal, wie weit man geht. Das will ich jetzt auch noch mal überprüfen, ob das überhaupt sinnvoll ist. Und dafür gehe ich zum Beispiel mal hier los, vom Nullpunkt, und mache ein ganz kleines Steigungsdreieck. Also, ich gehe vom Nullpunkt aus - ich male das jetzt nicht genau, weil hier die schwarze Linie ist, dann wird der rote Stift auch schwarz. Das möchte ich nicht, darum fange ich etwas weiter rechts an, aber gemeint ist natürlich, dass ich beim Nullpunkt anfange und dann eine Einheit parallel zur x-Achse von links nach rechts gehe. Eine Einheit, jetzt reine Willkür, dass ich eine Einheit gehe, und dann muss ich von diesem Punkt hier, den ich erreicht habe, parallel zur y-Achse zum nächsten Punkt des Graphen gehen. Das ist hier jetzt eine halbe Einheit. Ich zeig das auch noch mal, das Steigungsdreieck ist jetzt sehr klein, aber ich habe es ja beschrieben, auch wenn Du es nicht siehst. Vielleicht, da ist es, mein kleines Steigungsdreieck. Und ich bin also auf der x-Achse - also, diesmal auf der x-Achse parallel zur x-Achse eine Einheit nach rechts gegangen, eine halbe Einheit nach oben, um zum nächsten Punkt des Graphen zu kommen, parallel zur y-Achse. Also teile ich die Strecke parallel zur y-Achse durch die Strecke parallel zur x-Achse und 1/2 ÷ 1, das ist 1/2. Das bedeutet also, die Steigung ist hier auch 1/2 und daher entspricht also dieser Begriff der Steigung mithilfe des Steigungsdreiecks, entspricht unserem Gefühl von dem, was Steigung sein soll: nämlich dass sie hier überall gleich ist und dass sie auch unabhängig vom konkreten Steigungsdreieck ist. Und wie das bei anderen Funktionen aussieht, das zeige ich im nächsten Film. Bis dahin, tschüss!