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Statistische Kennwerte – Social App 07:05 min

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Transkript Statistische Kennwerte – Social App

Hallo! Wenn du eine neue App für dein Smartphone entdeckst, gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten, erstens du lädst die App runter, egal ob du sie brauchst oder nicht, zweite Möglichkeit, du schaust dir erstmal an, wie andere Nutzer mit dieser App zurechtkommen und überlegst dir dann, ob du sie vielleicht brauchst oder eben nicht. Und damit du nicht mit jedem Einzelnen sprechen musst, kannst du dir einfach auch eine Statistik dazu ansehen. Hier siehst du so eine Statistik. Sie beschreibt, wie Nutzer von Smartphones die App eines großen sozialen Netzwerks, die letztens herausgekommen ist, bewertet haben. Fünf Sterne ist die beste Bewertung, ein Stern ist die schlechteste Bewertung. Und um nun unsere Schlüsse aus einer solchen Grafik ziehen zu können gibt es die statistischen Kennwerte. Es gibt das arithmetische Mittel x quer oder einfach Durchschnitt genannt. Es gibt den Modalwert xmod, den Median xmed, der wird auch Zentralwert genannt, und es gibt die Spannweite xsp. Und wie man diese Werte berechnet und wie sie dir helfen die Social App zu beurteilen, das schauen wir uns jetzt im Folgenden an. Das arithmetische Mittel x quer berechnest du, indem du die Summe aller Werte bildest und die durch die Anzahl aller Werte teilst. Für unseren Fall bedeutet das, x quer ist gleich, da brauchen wir erstmal einen ziemlich langen Bruchstrich, und dann müssen wir alle Bewertungen addieren. Das sind also 1844 mal 5 Sterne, dann 900 mal 4 Sterne, plus 1143 mal 3 Sterne, plus 1539 mal 2 Sterne und dann kommen noch die 1-Stern-Bewertungen, also 5774 mal 1 Stern . Wir müssen durch die Anzahl aller Werte teilen, das heißt, durch die Anzahl aller Bewertungen, und das ist bei uns 11200. Und dabei kommt ungefähr 2,24 heraus. x = (1844 * 5 + 900 * 4 + 1143 * 3 + 1539 * 2 + 5774) / 1120 ≈ 2,24 Und das kann man auch noch mal runden, wir können nämlich sagen, das sind dann also ungefähr 2 ¼ Sterne. Das bedeutet also, durchschnittlich wurde diese App von den Nutzern mit 2 ¼ Sternen bewertet. Das gleiche arithmetische Mittel bekämen wir aber auch, wenn die Statistik so aussehen würde. Das bedeutet umgekehrt, dass das arithmetische Mittel nicht ausreicht, um eine Statistik genau zu beschreiben. Und deshalb gibt es ja zum Beispiel auch den Modalwert. Der Modalwert xmod ist der am häufigsten vorkommende Wert. Ja und wenn du dir diese Statistik anschaust dazu ist klar, die Bewertung mit einem Stern ist die, die am häufigsten vorkommt. Also ist bei uns hier xmod = 1. Das bedeutet in diesem Sachzusammenhang, dass sich die meisten Nutzer, die diese App bewertet haben, für die schlechtestmögliche Note entschieden haben. Das ist nicht gut. Und es kommt noch schlimmer, wenn wir uns den Median angucken. Der Median xmed ist, allgemein gesagt, der mittlere Wert. Das zeige ich an zwei kleinen Beispielen. Um einen mittleren Wert zu haben, brauchen wir natürlich eine Liste von Werten, die der Größe nach geordnet sind. Hier haben wir 7 Werte und die 36 steht an der mittleren Position. Und deshalb ist hier xmed = 36. Wenn wir eine gerade Anzahl von Werten haben, die natürlich auch der Größe nach geordnet sind, dann bilden wir das arithmetische Mittel aus den beiden in der Mitte liegenden Werten. Und hier ist dann also xmed = 39,1. Denn das arithmetische Mittel aus 36 und 42,2 ist ja 39,1. Wenn man die beiden addiert und durch 2 teilt kommt das halt heraus. Was bedeutet das für unsere Statistik? Wir haben insgesamt 11200 Werte. Die beiden in der Mitte liegenden Werte sind also die mit den Nummern 5600 und 5601. Und wie du feststellen kannst haben beide die Bewertung 1, also ist hier in unserem Fall xmed = 1. Und das bedeutet in diesem Fall, dass sich sogar mehr als die Hälfte aller Nutzer, die diese App bewertet haben, für die schlechtestmögliche Bewertung entschieden haben. Wenigstens sieht es bei der Spannweite etwas besser aus. Die Spannweite xsp ist die Differenz zwischen größtem Wert und kleinstem Wert. Deshalb ist in unserem Fall die Spannweite xsp = 5, das ist die höchste Bewertung minus 1, das ist die niedrigste Bewertung, also gleich 4. xsp = 5 - 1 = 4. Naja, es hätte ja auch sein können, dass die höchste Bewertung gar nicht vorkommt, dann wäre die Differenz hier auch kleiner gewesen. Zusammenfassend können wir sagen, wenn nicht nur die am häufigsten vorkommende Bewertung die schlechtestmögliche ist, sondern sich auch noch mehr als die Hälfte aller bewertenden Nutzer für diese Bewertung entschieden hat, kommt das arithmetische Mittel von 2 ¼ Sternen nur dadurch zustande, dass die eingefleischten Fans dieses Netzwerks die höchstmögliche Bewertung vergeben haben. Damit hast du nun eine recht differenzierte Entscheidungsgrundlage, um die App herunterzuladen oder eben es zu lassen. Viel Spaß damit, so oder so.

4 Kommentare
  1. Ein bisschen viele Fachwörter

    Von Kian Veiser, vor 10 Monaten
  2. Hallo Philipp Kubicki,
    meines Erachtens nach liegt kein Fehler vor. Ich habe den Lösungsweg nun noch etwas näher beschrieben.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 12 Monaten
  3. das arithmetische Mittel wird anders berechnet als es bei Aufgabe nr. 2 bei der Lösungserklärung erklärt ist

    Von Philipp Kubicki, vor 12 Monaten
  4. super gute Beschreibung vielen dank

    Von C Jung, vor etwa 2 Jahren

Statistische Kennwerte – Social App Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Statistische Kennwerte – Social App kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie man die statistischen Kennwerte bestimmt.

    Tipps

    Das arithmetische Mittel wird auch Durchschnitt genannt. Du berechnest es häufig, wenn du den Notendurchschnitt des Zensurenspiegels einer Arbeit wissen möchtest.

    Den Modalwert ermittelt man am leichtesten, indem man eine Strichliste anfertigt.

    $x_{max}$ ist der größte Wert der Stichprobe und $x_{min}$ ist der kleinste Wert der Stichprobe.

    Lösung

    Wir befassen uns mit vier verschiedenen statistischen Kennwerten:

    1. Das arithmetische Mittel berechnet du, indem du die Summe aller Werte bildest und diese durch die Anzahl aller Werte teilst. Man nennt $\bar x$ auch den Durchschnitt. Bedenke aber, dass das arithmetische Mittel alleine nicht ausreicht, um eine Statistik genau zu beschreiben.
    2. Der Modalwert $x_{mod}$ ist der am häufigsten vorkommende Wert. Um den Modalwert zu ermitteln, eignet sich besonders eine Strichliste, dann siehst du auf einen Blick, welcher Wert die meisten Striche hat.
    3. Der Median wird auch Zentralwert genannt und ist der mittlere Wert einer der Größe nach geordneten Stichprobe. Sollte die Stichprobe eine gerade Anzahl an Werten haben, so ist der Median das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte liegenden Werte.
    4. Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten vorkommenden Wert und dem kleinsten vorkommenden Wert.
  • Ermittle den Median der Stichproben.

    Tipps

    Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Stichprobe.

    Wie bestimmt man den Median, wenn die Stichprobe eine gerade Anzahl an Werten hat?

    Lösung

    Der Median wird auch Zentralwert genannt und ist der mittlere Wert einer der Größe nach geordneten Stichprobe. Da die gegebenen Stichproben bereits geordnet sind, können wir bei einer ungeraden Anzahl an Werten, wie dies in Aufgabe 1 der Fall ist, den Median direkt ablesen. Demnach ist der Median an der vierten Stelle und beträgt 36.

    Sollte die Stichprobe eine gerade Anzahl an Werten haben, so ist der Median das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte liegenden Werte. In der zweiten Aufgabe liegen die Werte 36 und 42,2 in der Mitte. Das arithmetische Mittel dieser beiden Werte entspricht der Summe von 36 und 42,2 geteilt durch die Anzahl 2, also 39,1.

  • Berechne die statischen Kennwerte für die angegebene Nutzerbewertung.

    Tipps

    Das arithmetische Mittel berechnet du, indem du die Summe aller Werte bildest und diese durch die Anzahl aller Werte teilst.

    Der Modalwert $x_{mod}$ ist der am häufigsten vorkommende Wert.

    Der Median ist der mittlere Wert einer der Größe nach geordneten Stichprobe.

    Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten vorkommenden Wert und dem kleinsten vorkommenden Wert.

    Lösung

    Das arithmetische Mittel berechnen wir allgemein, indem wir die Summe aller Werte bilden und diese dann durch die Anzahl aller Werte teilen.

    In unserem Fall müssen wir die Summe aller vergebenen Sterne durch die Anzahl der Nutzer teilen. Für die Summe aller vergebenen Sterne addieren wir $5\cdot 1844$ Sterne aus den $5$-Sterne-Bewertungen, $4\cdot 900$ Sterne aus den $4$-Sterne-Bewertungen, $3\cdot 1143$ Sterne aus den $3$-Sterne-Bewertungen, $2\cdot 1539$ Sterne aus den $2$-Sterne-Bewertungen und schließlich $1\cdot 5774$ Sterne aus den $1$-Stern-Bewertungen.

    $\bar x = \frac{5\cdot 1844 + 4\cdot 900 + 3\cdot 1143 + 2\cdot 1539 + 1\cdot 5774}{11200} \approx 2,24$

    Den Modalwert können wir am Diagramm sofort erkennen, denn $1$ Stern wurde am häufigsten vergeben, somit ist

    $x_{mod}=1$.

    Es wäre zu mühselig und auch nicht notwendig, alle $11200$ Werte geordnet nebeneinander aufzuschreiben, um den mittleren Wert zu ermitteln. Wir teilen einfach $11200$ durch $2$ und erhalten so die Position $5600$. Das heißt, dass der Median das arithmetische Mittel der Werte $1$ und $1$ bei den Nummern $5600$ und $5601$ ist; also liegt der Median ebenfalls bei $1$.

    Die Spannweite ermitteln wir durch die Differenz von dem größten Wert $5$ und dem kleinsten Wert $1$. Die Spannweite in dieser Statistik beträgt also $4$.

  • Berechne die statistischen Kennwerte und gib den prozentualen Anteil des ermittelten Medianwertes an.

    Tipps

    Wie berechnet man das Durchschnittsalter der Chormitglieder?

    Die Spannweite der Alter ist die Differenz des ältesten und des jüngsten Chormitgliedes.

    Der prozentuale Anteil eines Wertes von der Gesamtheit lässt sich mit der Formel aus der Prozentrechnung berechnen:

    $\frac{G}{100}=\frac{W}{p}$.

    Vergiss nicht die Strichproben zu ordnen, bevor du den Median ermittelst.

    Lösung

    Das Durchschnittsalter der Chormitglieder wird mit Hilfe des arithmetischen Mittels berechnet. Wir summieren alle Alter zusammen und dividieren durch die Gesamtanzahl von $16$:

    $\bar x = \frac{8 + 14+15+ 16+ 16+ 15+ 15+ 17+ 18+ 16+ 16+ 17+18+ 16+ 15+ 16}{16} = 16,125 \approx 16$

    Den Median ermitteln wir am leichtesten an einer geordneten Stichprobe. Wir ordnen also die Werte der Größe nach und bestimmen den mittleren Wert:

    $14$; $15$; $15$; $15$; $15$; $16$; $16$; $16$; $16$; $16$; $16$; $17$; $17$; $18$; $18$; $18$

    Die mittleren Werte sind in diesem Fall $16$ und $16$, das arithmetische Mittel daraus ist ebenfalls 16, somit ist $x_{med}=16$.

    Wir bestimmen nun auch den prozentualen Anteil der $16$-jährigen im Chor. Du kannst dafür die dir bekannte Formel aus der Prozentrechnung verwenden:

    $p\%=\frac{W\cdot 100}{G}=\frac{6 \cdot 100}{16} = \frac{600}{16} = 37,5~\%$

    Alternativ kannst du auch einfach die Wahrscheinlichkeit bestimmen

    $P(X=16)=\frac{6}{16}=0,375$

    Wir kommen stets zu dem prozentualen Anteil von $37,5~\%$.

    Den Modalwert erhält man am leichtesten durch eine Strichliste. Das am häufigsten vorkommende Alter ist mit der Häufigkeit von sechsmal das Alter von $16$ Jahren.

    Die Spannweite der Alter ist die Differenz des ältesten und des jüngsten Chormitgliedes:

    $x_{sp}=18 -14 = 4$

  • Berechne jeweils den Durchschnitt des Zensurenspiegels.

    Tipps

    Der Durchschnitt ist eine andere Bezeichnung für das arithmetische Mittel.

    Das arithmetische Mittel berechnet du, indem du die Summe aller Werte bildest und diese durch die Anzahl aller Werte teilst.

    Um so kleiner der Notendurchschnitt ist, um so besser hat die Klasse durchschnittlich abgeschnitten.

    Lösung

    Der Durchschnitt ist eine eher umgangssprachliche Bezeichnung für das arithmetische Mittel. Dieses berechnen wir, indem wir die Summe aller Werte bilden und diese dann durch die Anzahl aller Werte teilen.

    In Klasse $9 a$ berechnen wir den Notendurchschnitt also folgendermaßen:

    $\bar{x}_{9 a} = \frac{1\cdot 3 + 2\cdot 6 + 3 \cdot 8 + 4\cdot 6 + 5 \cdot 1}{24} = \frac{68}{24}\approx 2,8$.

    In Klasse $9 b$ ermitteln wir den Notendurchschnitt der Mathearbeit gleichermaßen:

    $\bar{x}_{9 b} = \frac{1\cdot 5 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 6 + 4\cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{24} = \frac{65}{24}\approx 2,7$.

    Da ein kleinerer Notendurchschnitt besser ist als ein größerer, war die Klasse 9b mit einem Notendurchschnitt von $2,7$ in dieser Mathematik-Klassenarbeit trotz mehr Ausfällen etwas besser als die Klasse $9 a$ mit einem Notendurchschnitt von $2,8$.

  • Ermittle den Modalwert der gegebenen Statistiken.

    Tipps

    Wie bestimmt man den Modalwert?

    Wir suchen nicht den größten Wert.

    Notiere dir die einzelnen Werte z.B. des Balkendiagramms, um zu ermitteln, welcher am häufigsten vorkommt.

    Lösung

    Das Balkendiagramm zeigt uns fünf Werte, welche wir uns notieren:

    $1000$; $2000$; $2000$; $3000$; $2000$

    Der Wert, der am häufigsten vorkommt, ist unser gesuchter Modalwert, also $x_{mod}=2000$.

    In einem Zensurenspiegel sind die Noten jeweils mit ihrer Häufigkeit angegeben, daher können wir einfach schauen, welche Note am häufigsten aufgetreten ist: Die Note $2$ ist siebenmal aufgetreten, also ist $x_{mod}=2$.

    Eine Strichliste ist ähnlich wie ein Zensurenspiegel. Wir sehen an der Anzahl der Striche, wie häufig die verschiedenen Alter aufgetreten sind. Das Alter $18$ Jahre ist mit achtmal am häufigsten aufgetreten, daher ist $x_{mod}=18$.

    Im Kreisdiagramm siehst du anhand der Fläche (bzw. der Prozentzahl), welcher Wert am häufigsten vorkommt. In diesem Fall entspricht der Modalwert $100~€$.