Sicheres und unmögliches Ereignis 05:06 min

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Transkript Sicheres und unmögliches Ereignis

Hallo. Es gibt Zufallsversuche. Die Zufallsversuche haben Ergebnismengen und aus denen kann man Ereignisse bilden. Ereignisse sind Teilmengen von Ergebnismengen. Unter diesen Ereignissen gibt es immer zwei ganz besondere Ereignisse, nämlich das sichere Ereignis und das unmögliche Ereignis. Und um das zu verstehen, können wir uns mal ein Beispiel angucken. Das ist ein Würfel. Den kann man werfen. Das Ganze ist dann ein Zufallsversuch und die Ergebnismenge soll aus den Zahlen von 1 bis 6 bestehen. Wir können nun ein ganz normales Ereignis definieren, zum Beispiel das Ereignis E23. Das soll aus den Ergebnissen 2 und 3 bestehen. Und das hier ist eine Teilmenge der Ergebnismenge, weil jedes Element in dieser Menge auch ein Element der Ergebnismenge ist. So und jetzt kommt's: Wir können ein Ereignis bilden, das die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 enthält. Das ist die gesamte Ergebnismenge. Und da denkst du dir jetzt vielleicht: Hä, eine Teilmenge müsste doch weniger Elemente enthalten als die gesamte Menge. Ja, ist ein berechtigter Einwand, aber man hat sich in der Mengenlehre darauf geeinigt, dass auch die gesamte Menge eine Teilmenge ist. Dieses Ereignis heißt sicheres Ereignis. Warum sicher? Wenn man einen Zufallsversuch durchführt, tritt immer mit Sicherheit ein Ergebnis ein. Wenn das Ereignis nun alle Ergebnisse enthält, tritt dieses Ereignis immer ein, das heißt mit Sicherheit. Also wir können das Ereignis Eg bilden, g für gesamt und das enthält die Elemente 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die Wahrscheinlichkeit P von Eg des Ereignisses Eg = 1. Ja, wie kann man das verstehen? Es gibt zwei Möglichkeiten. Wir haben gesagt, bei Laplace-Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E die Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. Wir haben im sicheren Ereignis sechs Ergebnisse. Wir haben sechs Ergebnisse in der Ergebnismenge und 6 / 6 = 1. Die andere Möglichkeit geht so. Wir hatten den Satz: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist ein 1/6. Und 6 * 1/6 = 1. So, haben wir das erledigt. Jetzt kommt das unmögliche Ereignis. Und dieses unmögliche Ereignis ist die leere Menge. Und da denkst du dir jetzt vielleicht wieder: Hä, eine leere Menge kann doch gar keine Teilmenge sein, da ist doch gar nichts drin. Ja, berechtigter Einwand. Man hat sich aber in der Mengenlehre darauf geeinigt, dass die leere Menge auch eine Teilmenge ist. Hätte man das nicht gemacht, hätte man anderweitig Probleme bekommen. Das bedeutet dann, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist. Dieses Ereignis heißt unmögliches Ereignis. Warum? Immer, wenn wir einen Zufallsversuch durchführen, tritt ja ein Ergebnis ein. Dass also kein Ergebnis eintritt, tritt niemals ein. Und da die leere Menge keine Ergebnisse enthält, tritt diese eben auch niemals ein. Das Ereignis E0 ist die leere Menge. Ja, so schreibt man das. Und die Wahrscheinlichkeit P von E0 des Ereignisses E0 = 0. So, wie kann man das verstehen? Angenommen wir haben einen Laplace-Versuch, dann rechnen wir Anzahl der zum Ereignis gehörenden Möglichkeiten geteilt durch Anzahl aller Möglichkeiten. Und wenn hier oben dann eine 0 steht und hier keine 0 steht, das ist ja normalerweise der Fall, weil die Ergebnismenge nicht leer ist, kommt bei dem ganzen Bruch 0 raus. Wenn wir keinen Laplace-Versuch haben, müssen wir um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse addieren, die zum Ereignis gehören. Und wenn das Ereignis keine Ergebnisse enthält, kann man nichts addieren. Und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ist dann gleich 0. Also dann, wir haben gesehen, dass zu jedem Zufallsversuch ein sicheres Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1 gehört und dass zu jedem Zufallsversuch ein unmögliches Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 gehört. Und wir haben auch gesehen, dass in der Mathematik nicht immer alles logisch sein muss. Ja, das meiste ist schon logisch, aber in den Fällen, die wir jetzt besprochen haben, muss man sich einfach auf irgendein Vorgehen einigen. Und das ist so wie mit dem Rechtsverkehr oder dem Linksverkehr auf Straßen. Logisch begründen kann man beide nicht, aber wenn sich alle dran halten, funktioniert's. Viel Spaß damit. Tschüss.

1 Kommentar
  1. Default

    nicht schlecht

    Von Nicowald, vor etwa einem Jahr

Sicheres und unmögliches Ereignis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sicheres und unmögliches Ereignis kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Begriffe „sicheres Ereignis“ und „unmögliches Ereignis“.

    Tipps

    Schaue dir das folgende Beispiel an: Du würfelst mit einem Würfel.

    • Es ist sicher, dass die Augenzahl kleiner oder gleich $7$ ist.
    • Es ist unmöglich, dass die Augenzahl negativ ist.

    Wenn A eine Menge ist, dann ist eine Menge B Teilmenge dieser Menge, wenn Folgendes gilt: Für jedes Element aus B gilt, dass es auch Element aus A ist.

    Das bedeutet insbesondere:

    • A $\subseteq$ A
    • $\{\} \subseteq$ A
    • Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs.
    • Ein Ereignis ist eine Menge, in welcher sich Ergebnisse befinden.
    Lösung

    Wenn du einen Würfel wirfst, können die Augenzahlen von $1$ bis $6$ oben liegen. Dies sind die möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs „Werfen eines Würfels“. Sie werden zusammengefasst zur Ergebnismenge:

    $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$

    Jede Teilmenge dieser Ergebnismenge wird als Ereignis bezeichnet.

    Es gibt zwei besondere Ereignisse:

    • das sichere Ereignis und
    • das unmögliche Ereignis.
    • Das sichere Ereignis ist die Ergebnismenge selbst. Da jedes Ergebnis in dieser Menge liegt, tritt das Ereignis sicher ein. Auf das Würfelbeispiel übertragen, bedeutet das so etwas wie: „Eine der Zahlen $1$ bis $6$ wird gewürfelt werden.“
    • Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge. Da in diesem Ereignis kein Ergebnis liegt, kann es auch sicher nicht eintreten. Auf das Würfelbeispiel übertragen bedeutet das so etwas wie: „Es kann nicht keine Zahl gewürfelt werden.“
  • Definiere ein Ereignis.

    Tipps

    Schaue dir diese beiden besonderen Ereignisse an:

    Das sichere Ereignis $E_g$ und das unmögliche Ereignis $E_0$.

    Schaue dann, welche Aussagen zutreffen.

    Wenn du dir als Zufallsversuch den Würfelwurf mit der Ergebnismenge $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ anschaust, dann gilt:

    • $2$ sowie $3$ sind Ergebnisse.
    • $\{2;3\}$ ist ein Ereignis.
    Lösung

    Unterscheide unbedingt die beiden Begriffe Ergebnis und Ereignis:

    • Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuchs.
    • Alle Ergebnisse werden zu einer Menge zusammengefasst. Diese Menge heißt Ergebnismenge.
    • Jede Zusammenfassung von Ergebnissen zu einer Menge wird als Ereignis bezeichnet.
    Ein Ereignis ist also...

    • eine Menge, welche aus Ergebnissen besteht.
    • eine Teilmenge der Ergebnismenge.
    Ein Ereignis kann auch leer sein. Dies ist das unmögliche Ereignis $E_0=\{\}$.

    Ein Ereignis kann auch die gesamte Ergebnismenge sein. Dies ist das sichere Ereignis $E_g=\Omega$.

    Wenn ein Ereignis nur ein Ergebnis enthält, wie zum Beispiel $\{1\}$, dann wird ein solches Ereignis als Elementarereignis bezeichnet.

  • Gib das jeweilige Ereignis oder die Wahrscheinlichkeit an.

    Tipps

    Beachte, dass ein Ereignis eine Menge ist.

    Schaue dir das Beispiel des Würfelwurfs an mit $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.

    Verwende die Definition der Definition von Wahrscheinlichkeiten nach Laplace:

    $P(E)=\frac{\text{Anzahl der zu E }\text{geh}\ddot{\text{o}}\text{renden Ergebnisse }}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$

    Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen $0$ und $1$.

    Lösung

    Wir betrachten als Beispiel den einfachen Würfelwurf.

    Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnismenge bezeichnet:

    $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$

    Jede Teilmenge dieser Ergebnismenge ist ein Ereignis.

    Dabei gibt es zwei besondere Ereignisse:

    • Das sichere Ereignis. Dies ist die Ergebnismenge selbst $E_g=\Omega$. Es ist $P(E_G)=1$.
    • Das unmögliche Ereignis. Dies ist die leere Menge $E_0=\{\}$. Es ist $P(E_0)=0$.
    Wie kommt man eigentlich zu diesen Wahrscheinlichkeiten? Am Beispiel eines Würfelwurfes kann man dies deutlich machen. Da jede Zahl gleich wahrscheinlich ist, handelt es sich um einen Laplace-Versuch und wir können die Formel von Laplace anwenden:

    $P(E)=\frac{\text{Anzahl der zu E }\text{geh}\ddot{\text{o}}\text{renden Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller m}\ddot{\text{o}}\text{glichen Ergebnisse}}$

    • Also gilt für das sichere Ereignis $P(E_g)=\frac66=1$.
    • Für das unmögliche Ereignis gilt $P(E_0)=\frac06=0$.
    Diese Wahrscheinlichkeiten erhältst du mit anderen Definitionen der Wahrscheinlichkeiten auch für den Fall, dass kein Laplace-Versuch vorliegt.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Im Schnitt zweier Mengen $M\cap N$ befinden sich alle Elemente, die sowohl in der einen als auch in der anderen Menge liegen.

    Verwende die Komplementärregel: Sei $C$ ein beliebiges Ereignis und $\overline{C}$ das zugehörige Gegenereignis, dann gilt $P(\overline{C})=1-P(C)$.

    Beachte, dass beispielsweise die Paare $(4;2)$ und $(2;4)$ unterschieden werden.

    Lösung

    Sei die Ergebnismenge gegeben durch:

    $\begin{array}{rcl}\Omega&=&\{(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);\\ &&(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);\\ &&(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);\\ &&(4;1);(4;2);(4;3);(4;4)\}\end{array}$

    Wir haben also geordnete Paare. Geordnet bedeutet dabei, dass beispielsweise die Paare $(4;2)$ und $(2;4)$ unterschieden werden.

    Jedes dieser $4^2=16$ Paare hat die gleiche Wahrscheinlichkeit:

    $\frac1{16}$

    Um die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu bestimmen, schreibst du diese auf und dividierst die Anzahl der darin enthaltenen Elemente durch $16$.

    A: Die Summe der Augenzahlen ist kleiner als $4$.

    • Dann ist $A=\{(1;1);(1;2);(2;1)\}$.
    • Es ist $P(A)=\frac3{16}$.
    • Unter Verwendung der Komplementärregel erhältst du $P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac3{16}=\frac{13}{16}$.
    Ebenso kannst du bei dem Ereignis B vorgehen:

    B: Das Produkt der Augenzahlen ist größer als $4$.

    • Dann ist $B=\{(2;3);(2;4);(3;2);(3;3);(3;4);(4;2);(4;3);(4;4)\}$.
    • Es ist $P(B)=\frac8{16}=\frac12$.
    • Somit ist auch $P(\overline{B})=1-\frac{8}{16}=\frac8{16}=\frac12$.
    Wenn du das Ereignis: „Es tritt sowohl A als auch B ein“ betrachtest, stellst du fest, dass kein Ergebnis gleichzeitig in beiden Ereignissen liegt.

    Dann ist $A\cap B=\{\}$ das unmögliche Ereignis, also $P(A\cap B)=0$.

  • Entscheide, ob ein sicheres oder ein unmögliches Ereignis vorliegt.

    Tipps
    • Der Schnitt zweier Mengen $M\cap N$ ist die Menge aller Elemente, welche sowohl in $M$ als auch in $N$ liegen.
    • Die Vereinigung zweier Mengen $M\cup N$ ist die Menge aller Elemente, welche entweder in $M$ oder in $N$ liegen.

    Schaue dir ein weiteres Beispiel für die Komplementärmenge an:

    • $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ sei die Ergebnismenge.
    • $E=\{3;4;5;6\}$
    • Dann ist $\bar E=\{1;2\}$, da $1$ sowie $2$ zwar in der Grundmenge, allerdings nicht in der Menge $E$ liegen.
    Die Komplementärmenge ist also so etwas wie die Gegenmenge.

    Lösung

    Das sichere und als das unmögliche Ereignis können auch auf verschiedene Arten beschrieben werden:

    Wenn eine Menge in zwei Teile geteilt wird, die sich gegenseitig ausschließen, wie zum Beispiel $A$ und $C$ (die geraden und die ungeraden Augenzahlen), dann ist...

    • $A\cup C=\Omega$ das sichere Ereignis.
    • $A\cap C=\{\}$ das unmögliche Ereignis.
    Die Komplementärmenge des sicheren Ereignisses ist das unmögliche Ereignis $\overline{E_g}=E_0=\{\}$ und umgekehrt.

    Das Ereignis $B$ ist die Menge aller Augenzahlen außer $5$:

    • Die Vereinigung $A\cup B=E_g=\Omega$ ist also das sichere Ereignis.
    • Der Schnitt $A\cap B=\{1;3\}$ ist weder sicher noch unmöglich.
    Auch die übrigen Ereignisse sind weder sicher noch unmöglich:

    • $B\cup C=\{1;2;3;4;6\}$
    • $B\cap C=\{2;4;6\}$
  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Das gesamte Rechteck sei die Ergebnismenge $\Omega$.

    Die blaue Fläche stellt das Ereignis $A$ dar.

    Die Wahrscheinlichkeit für $A$ lässt sich berechnen als

    $P(A)=\frac{\text{blaue Fl}\ddot{a}\text{che}}{\text{Gesamtfl}\ddot{a}\text{che}}$.

    Das Gegenereignis $\overline{A}$ wird durch die grüne Fläche dargestellt.

    Lösung

    Du kannst dir Wahrscheinlichkeiten auf viele verschiedene Arten deutlich machen. Hier siehst du ein Rechteck. Ein Teil davon ist blau und der verbleibende grün gefärbt.

    • Das gesamte Rechteck entspricht der Ergebnismenge $\Omega$.
    • Die blaue Fläche entspricht dem Ereignis $A$.
    • Die grüne Fläche entspricht dem Ereignis $\overline{A}$.
    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist damit der Anteil der entsprechenden Fläche an der Gesamtfläche.

    Das Gegenereignis $\overline{A}$ enthält alle Ergebnisse, welche zwar in $\Omega$ liegen, aber nicht in $A$.

    Damit gilt:

    • $A\cap \overline{A}=\{\}$, also das unmögliche Ereignis.
    • $A\cup \overline{A}=\Omega$, also das sichere Ereignis.
    Insbesondere gilt $1=P(\Omega)=P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$, da $P(A\cap \overline{A})=P(\{\})=0$ ist.

    Dies ist die sogenannte Komplementärregel. Oft findest du diese auch in dieser Form: $P(A)=1-P(\overline{A})$.