Seiten ähnlicher Dreiecke 11:13 min

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler! Herzlich willkommen zu diesem Video, Geometrie, Teil 46. Das Thema dieses Videos lautet: "Die Seiten ähnlicher Dreiecke". Im Video Geometrie, Teil 45 haben wir erklärt, was ähnliche Dreiecke sind. Ich möchte das noch einmal kurz darstellen. Wir haben hier 3 ähnliche Dreiecke: das große rote, das mittlere blaue und das kleine gelbe. Wir haben gezeigt, dass das große Dreieck und das kleine Dreieck in einem Zusammenhang stehen, nämlich, durch Vergrößerung entsteht aus dem kleinen gelben Dreieck das große rote. Und auch durch Vergrößerung kann man aus dem gelben das blaue Dreieck herstellen. Und auch aus dem blauen Dreieck kann man durch Vergrößerung das rote Dreieck herstellen. Ein roter Pfeil bedeutet hier jeweils Vergrößerung. Umgekehrt ergibt die Verkleinerung des großen roten Dreiecks das kleine gelbe Dreieck. Und auch das mittlere blaue Dreieck ergibt nach Verkleinerung das kleine gelbe Dreieck. Und schließlich erhält man nach entsprechender Verkleinerung des großen roten Dreiecks das mittlere blaue Dreieck. Der blaue Pfeil steht hier jeweils für die Verkleinerung. Das war unsere 1. wichtige Erkenntnis. Ähnliche Dreiecke gehen durch Vergrößerung oder Verkleinerung ineinander über. Die 2. Erkenntnis, die wir im Video Geometrie, Teil 45 erhalten haben, war diese: Entsprechende Winkel in ähnlichen Dreiecken stimmen überein, sie sind gleich groß. Also gilt: ?=?'=?'' und ?=?'=?'' und schließlich ?=?'=?''. In diesem Video nun wollen wir testen, ob es Übereinstimmungen zwischen den Seiten ähnlicher Dreiecke gibt. Dazu werden wir erst einmal die Seiten unserer 3 Dreiecke ausmessen. Im blauen Dreieck erhalte ich: 12cm, 10cm und 14cm, im gelben Dreieck erhalte ich: 7cm, 6cm und 5cm und im roten Dreieck messe ich aus: 24cm, 20cm und 28cm. Das ist ja ein schreckliches Ergebnis! Alle Seiten sind verschieden lang. Wir wollen den Mut aber nicht verlieren, vielleicht habt ihr eine Idee. Ich höre vielleicht schon jemanden: Ja, richtig! Wir müssen in unsere Seiten eine Ordnung hereinbringen. Wir müssen sie irgendwie so anordnen, dass wir vielleicht ein Gesetz daraus ableiten können. Das heißt also: Wir ordnen die Seiten! Zunächst ordne ich einmal unsere 3 ähnlichen Dreiecke der Größe nach an, beginnend mit dem kleinsten, in der Mitte haben wir das mittlere und rechts das große rote. Nun bezeichne ich die einzelnen Seiten, beim gelben Dreieck mit: a, b und c, natürlich mit kleinen Buchstaben, beim blauen Dreieck mit: a', b' und c', und die Seiten des großen Dreiecks bezeichne ich mit: a'', b'' und c''. Könnt ihr euch noch daran erinnern, welche Seitenlängen wir ausgemessen haben? Na, wenn ihr es vergessen habt, das macht nichts, ich habe sie mir noch gemerkt. Also, beim gelben Dreieck: a=5cm, b=6cm und c=7cm. Das blaue Dreieck hat folgende Seitenlängen: a'=10cm, b'=12cm und c'=14cm. Für das rote Dreieck hatte ich ausgemessen: a''=20cm, b''=24cm und c''=28cm. Versuchen wir nun einmal, die Verhältnisse der Seitenlängen der 3 Seiten innerhalb eines Dreiecks aufzuschreiben. Für das gelbe Dreieck schreiben wir: a:b:c=5cm:6cm:7cm, für das blaue Dreieck erhalten wir: a':b':c'=10cm:12cm:14cm und schließlich für das rote Dreieck: a'':b'':c''=20cm:24cm:28cm. Wir schauen nun einmal, ob wir Vereinfachungen in den Verhältnissen vornehmen können. Wir sehen, dass unsere Einheit überall cm ist. Wenn das so ist, so benötigen wir sie nicht, da wir immer in der gleichen Einheit rechnen. Ich kann also die Einheit cm mit gutem Gewissen herausstreichen. So, das ist aber noch nicht alles. Bevor ich jedoch weitermache, werde ich ganz einfach die cm, die durchgestrichen sind, einfach entfernen. Wir haben nun für unsere 3 Dreiecke die Verhältnisse der Seitenlängen der entsprechenden Seiten formuliert. Wir können diese Ausdrücke wie Brüche behandeln, das heißt, wir kürzen wie in Brüchen. Wir müssen nun in den einzelnen Zahlen nach gemeinsamen Faktoren suchen und können dann vereinfachen. Beginnen wir nun mit der 1. Verhältnisgleichung: a:b:c=5:6:7. 5, 6 und 7 haben keinen gemeinsamen Teiler, wir sind also fertig. Schauen wir uns nun die Verhältnisgleichung für das blaue Dreieck an: 10:12:14. Hier haben wir einen gemeinsamen Teiler, er ist 2. Wir teilen 14 durch 2 und erhalten 7, wir teilen 12 durch 2 und erhalten 6 und schließlich teilen wir 10 durch 2 und erhalten 5. Und schließlich die Verhältnisgleichung für das rote Dreieck: 20:24:28. Hier ist der gemeinsame Teiler 4, also: 20÷4=5, 24÷4=6 und 28÷4=7. Ich nehme nun einmal alles Überflüssige, die Nebenrechnungen und die Zwischenergebnisse, weg und lasse das stehen, was wir für unsere weiteren Überlegungen brauchen. Schaut euch die unteren Zeilen aufmerksam an. Ich werde sie jetzt weglöschen und noch einmal neu schreiben, wobei ich nur das Wesentliche stehen lasse. Also, noch einmal draufgeschaut und weiter geht's: Für das gelbe Dreieck hatten wir letztendlich erhalten: a:b:c=5:6:7, für das blaue Dreieck hatten wir folgendes Ergebnis: a':b':c'=5:6:7 und schließlich für das rote Dreieck: a'':b'':c''=5:6:7. Was folgern wir? Die Verhältnisse entsprechender Seiten sind gleich! So, jetzt nehme ich wieder die Überlegungen weg und wir können auch die Arbeitsanweisung oben, wir ordnen die Seiten, löschen. Könnt ihr das Ergebnis unserer Arbeit formulieren? Vielleicht so: In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen gleich: a:b:c=a':b':c'=a'':b'':c''. So, dass wär's schon wieder. Ich wünsche euch, lieben Schülerinnen und Schülern alles Gute. Na dann, auf Wiedersehen!