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Relative Häufigkeit

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Relative Häufigkeit
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Relative Häufigkeit

Wenn wir eine statistische Untersuchung durchführen, wählen wir zufällig Dinge (oder Individuen) aus, stellen eine Frage und notieren die Anzahlen gleicher Ergebnisse. Teilen wir eine solche Anzahl durch die Anzahl der ausgewählten Dinge (oder Individuen), erhalten wir die relative Häufigkeit. Mit den entsprechenden Fachbegriffen lässt sich das etwas glatter formulieren: Die relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung ist deren absolute Häufigkeit geteilt durch den Stichprobenumfang. Im Video kannst du die relative Häufigkeit am Beispiel von Bällen und anhand einer Umfrage sehen.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. vielen Dank hat mir sehr geholfen:)

    Von Afsmojgan, vor mehr als einem Jahr
  2. Sehr gutes Video, echt toll erklärt.

    Von Robertpretzer2008, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo A Volberg,
    der Stichprobenumfang ist die Größe der Stichprobe. Stell dir vor, du machst eine Umfrage darüber, was die Lieblingsfarbe der Einwohner Deutschlands ist. Dazu befragst du 2000 Menschen. Du führst also eine Stichprobe durch, denn natürlich kannst du nicht alle Menschen nach ihrer Lieblingsfarbe befragen. Der Stichprobenumfang (auch Stichprobengröße) beträgt hier 2000. Je größer der Stichprobenumfang ist, desto genauer ist natürlich das Ergebnis.
    In dem Video wurden bunte Bälle zufällig gezogen. Insgesamt allerdings nur 20 Stück. Es gibt jedoch viel mehr als diese 20 Bälle. 20 wäre dann hier der Stichprobenumfang.
    Ich hoffe, wir konnten dir weiterhelfen.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa 2 Jahren
  4. Was ist stichprobenunmfang?

    Von A Volberg, vor etwa 2 Jahren
  5. Dieses Video ist ziemlich gut geworden auf grund der mehreren Szenen wechseln :D

    Von Marcus Betz, vor mehr als 2 Jahren
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Relative Häufigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Relative Häufigkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschrifte den mathematischen Ausdruck.

    Tipps

    Wir teilen durch die Gesamtanzahl aller Bälle in unserer Stichprobe. Überlege, wie man das nennt.

    Die Anzahl der gelben Bälle in der Stichprobe steht im Zähler (über dem Bruchstrich).

    Die relative Häufigkeit beschreibt das Verhältnis des Auftretens eines bestimmten Merkmals zu der Gesamtzahl der betrachteten Objekte.

    Lösung

    Wir betrachten hier eine Stichprobe, das heißt, wir haben aus einem großen Bällebad eine zufällige Menge gezogen, die Bälle einzeln betracht und uns für jede Farbe aufgeschrieben, wie häufig sie auftaucht.

    Mit diesem Ausdruck berechnen wir nun die relative Häufigkeit für die gezogenen gelben Bälle $(g)$. In diesem Fall bezeichnen wir die relative Häufigkeit mit $h(g)$.

    Zur Berechnung wird die Anzahl der gelben Bälle (absolute Häufigkeit) durch die Gesamtzahl aller für die Stichprobe gezogen Bälle (Stichprobenumfang) geteilt.

    Hierbei gibt die absolute Häufigkeit an, wie oft eine Merkmalsausprägung aufgetreten ist. In diesem Beispiel haben wir die Farbe als Merkmal gewählt, man könnte sich zum Beispiel auch für die Größe, die Form oder das Gewicht entscheiden.

    Für den Stichprobenumfang summieren wir alle gezogenen Bälle auf.

    Wir gelangen daher zu folgender Formel:

    $\text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Stichprobenumfang}}$.

  • Bestimme die relative Häufigkeit.

    Tipps

    $\text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Stichprobenumfang}}$

    Der Stichprobenumfang ist die Anzahl aller Bälle in unserer Stichprobe.

    Lösung

    In der statistischen Erhebung gibt es $5$ gelbe Bälle. Dies ist also unsere absolute Häufigkeit.

    Für den Stichprobenumfang addieren wir die Anzahl aller gezogenen Bälle zusammen, also:

    $ 4 \text{ rote B}\ddot{\text{a}}\text{lle} + 5 \text{ gelbe B}\ddot{\text{a}}\text{lle} + 7 \text{ blaue B}\ddot{\text{a}}\text{lle} + 4 \text{ gr}\ddot{\text{u}}\text{ne B}\ddot{\text{a}}\text{lle} = 20 \text{ B}\ddot{\text{a}}\text{lle} $

    Mit dem mathematischen Zusammenhang:

    $\text{relative H}\ddot{\text{a}}\text{ufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Stichprobenumfang}}$

    ergibt sich nun $h(g)=\frac{5}{20}$.

    Außerdem sind folgende Aussagen richtig:

    • Die relative Häufigkeit von rot ist kleiner als die von gelb, da rot seltener aufgetreten ist.
    • Wenn wir die relativen Häufigkeiten für die einzelnen Farben in unserer Stichprobe berechnen, ist der Stichprobenumfang stets der gleiche.
    Die folgende Aussage ist falsch:

    • Die relative Häufigkeit von gelb ist größer als die von blau, da gelb häufiger aufgetreten ist als blau.
    Begründung: Wir haben $5$ gelbe Bälle gezählt, jedoch $7$ blaue Bälle, damit sind in der Stichprobe mehr blaue Bälle und die relative Häufigkeit von gelb ist damit kleiner.

  • Ermittle die relativen Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Du benötigst die folgende Formel:

    $\text{relative H} \ddot{\text{a}} \text{ufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Stichprobenumfang}}$

    Der Stichprobenumfang ist die Summe aller Bälle, also:

    $6\text{ rote B} \ddot{\text{a}} \text{lle} + 3\text{ gelbe B} \ddot{\text{a}} \text{lle} +1\text{ blauer Ball} +5\text{ gr} \ddot{\text{u}} \text{ne B} \ddot{\text{a}} \text{lle} +7\text{ lila B} \ddot{\text{a}} \text{lle}= 22 \text{ B} \ddot{\text{a}} \text{lle}$.

    Lösung

    Wir berechnen die relative Wahrscheinlichkeit für rot, die anderen Rechnungen verlaufen analog.

    Du benötigst die folgende Formel:

    $\text{relative H} \ddot{\text{a}} \text{ufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Stichprobenumfang}}$.

    In unserer Stichprobe befinden sich $6$ rote Bälle, dies ist also unsere absolute Häufigkeit.

    Der Stichprobenumfang ist die Summe aller Bälle, also:

    $6\text{ rote B} \ddot{\text{a}} \text{lle} + 3\text{ gelbe B} \ddot{\text{a}} \text{lle} +1\text{ blauer Ball} +5\text{ gr} \ddot{\text{u}} \text{ne B} \ddot{\text{a}} \text{lle} +7\text{ lilafarbene B} \ddot{\text{a}} \text{lle}= 22 \text{ B} \ddot{\text{a}} \text{lle}$.

    Daraus ergibt sich für rot $(r)$:

    $h(r)=\frac{6}{22}=\frac{3}{11}$

    Ebenso erhalten wir für gelb $(g)$, grün $(gr)$, blau $(b)$ und lila $(l)$ folgende Ergebnisse:

    $h(g)=\frac{3}{22}$

    $h(gr)=\frac{5}{22}$

    $h(b)=\frac{1}{22}$

    $h(l)=\frac{7}{22}$

  • Bestimme den Häufigkeitsbegriff.

    Tipps

    Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil der Schüler aus einem Land.

    Der Stichprobenumfang ist hier die Gesamtanzahl aller befragten Schüler, also

    $5+2+1+4+6+3+3=24$

    Lösung

    Es handelt sich hierbei um eine statistische Erhebung mit dem Stichprobenumfang: $24$, da er insgesamt $24$ der anwesenden Schüler befragt. Als Merkmal wurde hier die Nationalität gewählt, sodass wir die folgenden Merkmalsausprägungen unterscheiden: Engländer, Chinesen, Brasilianer, Japaner etc.

    Die Aussagen können wie folgt zugeordnet werden:

    Absolute Häufigkeit

    Hier wird nur die Anzahl der Schüler aus einer Nation notiert.

    • $2$ Brasilianer sind da.
    • Es gibt $4$ Japaner.
    • $6$ Australier
    Stichprobenumfang

    Die Summe aller Schüler.

    • $24$ Schüler
    Relative Häufigkeit

    Der Anteil der Schüler aus einem Land.

    • $\frac{1}{4}$ Australier
    • $\frac{5}{24}$ aus England
    • $\frac{1}{8}$ sind Chinesen
    Falsche Aussagen

    Diese Aussagen könnten zwar anderen Häufigkeitsbegriffen zugeordnet werden, sind jedoch im Bezug auf die Aufgabe falsch.

    • $\frac{1}{10}$ sind Deutsche.
    • $\frac{1}{3}$ aus Japan
    • Schülersumme: $25$
    • $\frac{2}{12}$ sind Engländer
  • Vervollständige die Aussagen zur relativen Häufigkeit.

    Tipps

    Betrachten wir eine zufällig ausgewählte Menge an bunten Bällen, könnte zum Beispiel gelb eine Merkmalsausprägung sein.

    Zur Berechnung des Stichprobenumfangs werden dann alle Bälle dieser zufällig ausgewählten Menge zusammengezählt.

    Lösung

    Überlegen wir uns zunächst ein Beispiel und versuchen die Aussagen über die relative Häufigkeit dann zu verallgemeinern. So können wir die Sätze folgendermaßen verbinden:

    $1)$ Lass uns eine statistische Erhebung durchführen. Dabei betrachten wir zum Beispiel die Farben von Bällen einer zufällig ausgewählten Menge und notieren, wie häufig jede einzelne auftaucht.

    • Bei einer statistischen Erhebung wird eine zufällige Menge von Objekten ausgewählt und ein Merkmal betrachtet. Dabei wird die Häufigkeit des Auftretens der Merkmalsausprägungen notiert.
    $2)$ Möchten wir nun die relative Häufigkeit der gelben Bälle herausfinden, können wir das kurz mit $h(g)$ ausdrücken. Die relative Häufigkeit von rot bezeichnen wir dann mit $h(r)$ und so weiter.

    • Die relative Häufigkeit bezeichnen wir mit $h(\text{Merkmalsauspr}\ddot{\text{a}}\text{gung})$.
    $3)$ Der Stichprobenumfang umfasst die Bälle jeder Farbe in unserer Stichprobe. Zur Berechnung addieren wir diese.

    • Der Stichprobenumfang ist die Summe aller zufällig ausgewählten Objekte bzw. Individuen.
    $4)$ Wir betrachten zum Beispiel das Merkmal Farbe und vor allem die Merkmalsausprägung gelb.

    • Eine Merkmalsausprägung kann zum Beispiel die Farbe, Größe oder Form eines Objektes oder auch das Alter eines Menschen sein.
  • Ordne die richtigen Ergebnisse zu.

    Tipps

    Bei der absoluten Häufigkeit ($H(\text{Merkmalsausprägung})$) berechnen wir die die kumulierte absolute Häufigkeit für ein Beispiel (Familien mit maximal $2$ Kindern) wie folgt:

    $ H(0 \text{ Kindern})+H(1 \text{ Kind})+H(2 \text{ Kindern})= 3 + 9 + 3 = 15$

    Betrachten wir die kumulierte relative Häufigkeit für Familien mit maximal $2$ Kindern.

    Dazu benötigen wir die relative Häufigkeit für $0$, $1$ und $2$ Kinder. Wir schreiben ab jetzt kurz: $h(0 \text{ Kindern})=h(0)$.

    Wir erhalten: $h(0)=\frac{3}{21}$, $h(1)=\frac{9}{21}$ und $h(2)=\frac{3}{21}$

    Die relative kumulierte Häufigkeit bezeichnen wir mit $h_k(\leq2)$ und es ergibt sich:

    $h_k(\leq2)=h(0)+h(1)+h(2)=\frac{3}{21}+\frac{9}{21}+\frac{3}{21}=\frac{15}{21}$

    Lösung

    Wir stellen zunächst fest, dass $21$ Familien insgesamt befragt wurden, dies ist also unser Stichprobenumfang.

    • Wie ist das Verhältnis der Familien mit maximal einem Kind zur Gesamtzahl der Familien?
    Dazu benötigen wir die relative Häufigkeit für $0$ Kinder und $1$ Kind. Wir schreiben ab jetzt kurz: $h(0 \text{ Kindern})=h(0)$.

    $h(0)=\frac{3}{21}$ und $h(1)=\frac{9}{21}$

    Die relative kumulierte Häufigkeit bezeichnen wir mit $h_k(\leq1)$ und es ergibt sich:

    $h_k(\leq1)=\frac{3}{21}+\frac{9}{21}=\frac{12}{21}$

    • Wie hoch ist die kumulierte relative Häufigkeit für $4$ oder weniger Kinder? Wir benötigen die relativen Häufigkeiten für $0$, $1$, $2$, $3$ und $4$ Kinder.
    $h(0)=\frac{3}{21}$, $h(1)=\frac{9}{21}$, $h(2)=\frac{3}{21}$, $h(3)=\frac{4}{21}$ und $h(4)=\frac{2}{21}$

    Für die kumulierte relative Häufigkeit summieren wir:

    $h_k(\leq4)=\frac{3}{21}+\frac{9}{21}+\frac{3}{21}+\frac{4}{21}+\frac{2}{21}=\frac{21}{21}=1$

    In diesem Fall summieren wir die relativen Häufigkeiten aller Merkmale, also aller befragten Familien auf, sodass logischerweise 1 rauskommt.

    • Wie ist das Verhältnis der Familien ohne Kinder zur Gesamtzahl der Familien?
    Hier benötigen wir nur die relative Häufigkeit:

    $h(0)=\frac{3}{21}$

    • Wie ist das Verhältnis der Familien, die keine $4$ Kinder haben, zur Gesamtzahl der Familien?
    Hier gibt es zwei unterschiedlich Ansätze:

    I. Wir berechnen zunächst wieder die einzelnen relativen Wahrscheinlichkeiten. Wir benötigen die relativen Häufigkeiten für $0$, $1$, $2$, $3$ Kinder.

    $h(0)=\frac{3}{21}$, $h(1)=\frac{9}{21}$, $h(2)=\frac{3}{21}$ und $h(3)=\frac{4}{21}$

    Für die kumulierte relative Häufigkeit summieren wir:

    $h_k(\leq3)=\frac{3}{21}+\frac{9}{21}+ \frac{3}{21}+\frac{4}{21}=\frac{19}{21}$

    II. Alternativ berechnen wir die relative Häufigkeit $h(4)$ und subtrahieren sie vom gesamten, also $1$.

    $h_k(\leq3)=1-h(4)=\frac{19}{21}$.

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