Rechnen mit negativen Zahlen

Rechnen mit negativen Zahlen Übung

• Vervollständige die Rechenregeln.

  Tipps

  Es gilt

  • $3\cdot2+1=6+1=7$ aber
  • $3\cdot(2+1)=3\cdot3=9$.

  Wie kann man von einer negativen Zahl abziehen?

  $-7-2=-(7+2)=-9$.

  Du kannst die jeweils positiven Zahlen addieren und das Vorzeichen vertauschen.

  Lösung

  Es gibt verschiedene Regeln, welche beim Ausrechnen von Termen wichtig sind.

  • Zum Beispiel existieren Vorfahrtregeln wie „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“ und „Klammer geht vor Punktrechnung“.

  $\rightarrow 2+3\cdot4=2+12=14$ aber

  $\rightarrow (2+3)\cdot4=5\cdot4=20$.

  • Steht eine Minuszeichen vor einer Klammer, so wird in der Klammer jedes Vorzeichen getauscht.

  $\rightarrow -(-4)=+4=4$

  • „Minus mal Minus ergibt Plus“. Dies kann man verallgemeinern zu „Minus - Punktrechnung - Minus ergibt Plus“. Ebenso gilt „Plus mal Minus ergibt Minus“ und umgekehrt.

  $\rightarrow -2\cdot(-3)=6$

  • Wenn man durch einen Bruch teilen soll, kann man mit dem Kehrwert multiplizieren.

  $\rightarrow 2: \frac23=2\cdot \frac32=3$

• Bestimme, welche Terme das Ergebnis $-1$ haben.

  Tipps

  Verwende die folgenden Rechenregeln:

  • „Minus mal Minus ergibt Plus“
  • „Minus mal Plus ergibt Minus“
  • „Punkt geht vor Strich“
  • „ein Minus vor einer Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um“
  • „durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert“

  Es gilt zum Beispiel $-(-4)=4$.

  Beachte, dass $3+4\cdot5=3+20=23$ gilt, aber $(3+4)\cdot5=7\cdot5=35$.

  Lösung

  Um die folgenden Terme richtig berechnen zu können, müssen verschiedene Rechenregeln angewendet werden.

  1. $-1\cdot(-1)=1$, da „Minus mal Minus Plus ergibt“.
  2. $-2-(-1)=-2+1=-1$: ein Minus vor der Klammer dreht in der Klammer das Vorzeichen um.
  3. $-2\cdot(-1)=2$, da auch hier „Minus mal Minus Plus ergibt“.
  4. $\frac2{-2}=-1$, da „Plus durch Minus Minus ergibt“.
  5. $-3:\frac13=-3\cdot\frac31=-9$: Durch einen Bruch wird geteilt, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird.
  6. $-(23-24)=-(-1)=1$: Hier wurde zunächst der Term in der Klammer ausgerechnet und danach verwendet, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer in der Klammer die Vorzeichen vertauscht.
  7. $5-2\cdot(-2)=5+4=9$, und noch einmal „Minus mal Minus ergibt Plus“ sowie „Punkt geht vor Strich“.

• Berechne die folgenden Terme.

  Tipps

  Verwende die folgenden Rechenregeln:

  • „Minus mal Minus ergibt Plus.“
  • „Minus mal Plus ergibt Minus.“
  • „Punkt geht vor Strich.“
  • „Ein Minus vor einer Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um.“
  • „Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.“

  Du erhältst als Ergebnisse die Zahlen von $1$ bid $5$.

  Lösung

  Bei allen Termen können die Rechenregeln

  • „Minus mal Minus ergibt Plus.“
  • „Minus mal Plus ergibt Minus.“
  • „Punkt geht vor Strich.“
  • „Ein Minus vor einer Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um.“
  • „Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.“

  verwendet werden.

  1. $2-(4-3)=2-1=1$
  2. $1-(3-4)=2-(-1)=2$
  3. $-3\cdot(1-2)=-3\cdot(-1)=3$
  4. $-1:\frac{-1}4=-1\cdot\frac{4}{-1}=-1\cdot(-4)=4$
  5. $-(12-17)=-(-5)=5$

• Entscheide, welcher der Terme den Wert $3$ hat.

  Tipps

  Verwende die folgenden Rechenregeln:

  • „Minus mal Minus ergibt Plus.“
  • „Minus mal Plus ergibt Minus.“
  • „Punkt geht vor Strich.“
  • „Eine Klammer geht vor Strichrechnung.“
  • „Ein Minus vor einer Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um.“

  Es gilt:

  • $(2-3)\cdot4=-1\cdot4=-4$ aber
  • $2-3\cdot4=2-12=-10$.

  Lösung

  Auch wenn alle unten zu sehenden Terme sehr ähnlich aussehen, so haben sie doch verschiedenen Ergebnisse. Es gibt Rechenregeln, welche dazu dienen, die Reihenfolge der Rechnung zu bestimmen.

  • $-2+3\cdot3=-2+9=7$. Hier wird zunächst die Punkt- und dann die Strichrechnung durchgeführt.
  • $(-2+3)\cdot3=1\cdot3=3$. Hier gilt: Zuerst wird der Term in der Klammer berechnet.
  • $-(2+3)\cdot3=-5\cdot3=-15$. Auch hier wird zunächst der Term in der Klammer berechnet.
  • $2-3\cdot3=2-9=-7$: Zuerst wird die Punkt- und dann die Strichrechnung durchgeführt.
  • $(2-3)\cdot3=-1\cdot3=-3$. Der Term in der Klammer wird zuerst ausgerechnet.
  • $-(2-3)\cdot3=1\cdot3=3$. Nachdem der Term in der Klammer berechnet ist, wird die Regel verwendet, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer in der Klammer die Vorzeichen umkehrt.

• Gib an, welche Rechenregel zur Berechnung des Terms verwendet wird.

  Tipps

  Die angewendete Regel löst die Klammer auf.

  Man könnte auch sagen, dass ein Minuszeichen vor einer Klammer in der Klammer die Vorzeichen vertauscht.

  Eine der Regeln ist frei erfunden.

  Lösung

  Vor dem Term $-1$ in Klammern steht ein Minuszeichen.

  • Ein Minuszeichen vor einer Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um.
  • Man kann aber auch sagen, dass „Minus mal Minus Plus ergibt“.

  Übrigens:

  • Die Dienstagsregel ist erfunden, die gibt es nicht.
  • Von rechts nach links wird im Allgemeinen nicht gerechnet, sondern von links nach rechts.

• Leite das Ergebnis des Terms her.

  Tipps

  Verwende die folgenden Rechenregeln:

  • „Minus mal Minus ergibt Plus.“
  • „Minus mal Plus ergibt Minus.“
  • „Punkt geht vor Strich.“
  • „Eine Klammer geht vor Strichrechnung.“
  • „Ein Minus vor einer Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um.“

  Einer der Summanden in der zweiten Rechnung ist negativ.

  Achte bei den Klammern auch auf das Vorzeichen.

  Wenn das Vorzeichen $+$ ist, musst du es nicht hinschreiben.

  Lösung

  Wenn man die Rechenregeln anwendet, kann man auch einen so komplizierten Term Schritt für Schritt umformen:

  $-2\cdot(3+2)+2\cdot(-3+5)-3\cdot(1-4)=...$.

  Zunächst werden jeweils die Terme in den Klammern ausgerechnet:

  $...=-2\cdot5+2\cdot2-3\cdot(-3)=...$.

  Wichtig ist zu beachten, dass beim Multiplizieren mit negativen Zahlen Klammern gesetzt werden müssen.

  Da sowohl Punkt- als auch Strichrechnungen vorkommen, werden die Punktrechnungen zuerst durchgeführt:

  $...=-10+4+9$.

  Hier wurde auch noch die Regel „Minus mal Minus ergibt Plus“ verwendet.

  Zuletzt wird das Ergebnis bestimmt, indem von links nach rechts gerechnet wird: $3$.