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Rechenregeln für Integrale – Übung 10:02 min

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Transkript Rechenregeln für Integrale – Übung

Hallo. In diesem Video kommen die wichtigsten Integrationsregeln vor, inklusive einiger Beispiele dazu. Gedacht ist das Video zum Wiederholen dieser Regeln oder um sich einen Überblick zu verschaffen. Um die Regeln von Grund auf zu lernen, ist dieses Video allerdings viel zu kurz. Fangen wir an mit der Potenzregel. Wir haben das Integral von xn dx und das ist gleich 1/(n+1)×xn+1. Manchmal steht in den Formelsammlungen hier auch noch ein c. Also eine Konstante plus c. Die schreibe ich jetzt hier nicht hin. Für n braucht man übrigens nicht natürliche Zahlen einzusetzen. Man kann alle möglichen reellen Zahlen einsetzen. Außer halt -1. Ja kommen wir zu den Beispielen. Zunächst mal ein ganz harmloses. Wir haben das Integral von x3 dx, dann ist unser n = 3 und wir können integrieren und erhalten 1/(3+1)×x3+1 und das ist natürlich 1/4x4. Dann kann man auch integrieren, das x. Also Integral von x dx. Dann wird man sich fragen, wo ist die Potenz. Naja x ist ja einfach x1 und deshalb können wir hier mit der Potenzregel integrieren und erhalten dann 1/(1+1)×x1+1 und das ist 1/2x2. Ja es geht noch ein bisschen „doller“. Wir können nämlich auch die eins mit der Potenzregel integrieren. Die Frage ist wo ist hier die Potenz. Eins ist nichts anderes als x0. Also ist unser n hier die null und wir haben 1/(0+1)×x0+1 und das ist einfach x. Dann gibt es auch noch die Wurzel aus x. Ja, und da sagen manche an dieser Stelle: Mensch, das haben wir gar nicht gemacht. Mit Wurzel haben wir gar nicht gerechnet. Doch glaub es mir. Es ist prüfungsrelevant in jeder Klausur über Integrale kann eine Wurzel auch vorkommen. Die Wurzel aus x ist einfach x1/2 und deshalb können wir mit der Potenzregel integrieren und erhalten 1/(1/2 +1)×x1/2+1. Und das ist, hier stehen ja 3/2, also haben wir hier 2/3×x3/2. Ja und noch einen, ein Beispiel möchte ich hier zeigen. Nämlich 1/x2 dx. Ja und da wird mancher vielleicht sich eine Quotientenregel wünschen. Die gibt es aber so beim Integrieren nicht, die gibt es nur beim Ableiten. 1/x2=x-2. Also können wir x-2 mit der Potenzregel integrieren und erhalten 1/(-2+1)×x-2+1. Naja das ist zusammen -1 hier. x-1=1/x. Das ist einfach minus eins und deshalb steht hier -1/x. Als nächstes haben wir die Faktorregel. Die lautet Integral von k×f(x) dx ist gleich k mal Integral von f(x) dx. k kann irgendeine konstante Zahl sein. Völlig egal. f(x) steht für irgendeine Funktion. Es ist auch völlig egal was man da nimmt. Zwei Beispiele dazu. Da darf ich mich kurzfassen. Wir haben 7×x5 das soll integriert werden. Naja dann kann man die 7 vor das Integral schreiben. Und x5 wie gewohnt integrieren. Da kann nichts weiter passieren. 7 muss natürlich keine natürliche Zahl sein. Es geht auch zum Beispiel -1/√2×e. Auch das ist dann einfach eine Zahl, die man vor das Integral schreiben kann also -1/2 mal das Integral von ex dx. Und ansonsten gibt es da nicht viel dazu zu sagen. Es gibt keine Ausnahmen. Das waren die Beispiele dazu. Die nächste Regel ist die Summenregel. Sie besagt, dass wenn ein Funktionsterm aus zwei oder mehr Summanden besteht, dann kann man diese Summanden einzeln integrieren. Ein Beispiel dazu ist eine ganzrationale Funktion. 2x3-5x2dx. Ja, immer wenn man ein Polynom mit mehreren Summanden integriert, braucht man die Summenregel. Also in der Regel bei ganzrationalen Funktionen braucht man die Summenregel. Wir können jetzt 2x3 integrieren und auch -5x3. Und zwar getrennt voneinander. Ein anderes Beispiel ist x2+ex, das schreibe ich deshalb auf, weil oft die Summenregel nur mit ganzrationalen Funktionen in Verbindung gebracht wird. Das muss aber nicht sein. Da können irgendwelche Funktionen addiert oder subtrahiert werden. Also hier kann man auch getrennt integrieren und zwar x2 kann man integrieren. Und ex, dann separat integrieren. Ja es gibt keine weiteren Ausnahmen dazu. Deshalb hier nur zwei Beispiele. Die letzte Regel ist die lineare Substitution. Wir haben das Integral von f(ax+b) dx ist gleich 1/a×F(ax+b). Gemeint ist das so, dass wir hier eine verkettete Funktion haben, die innere Funktion ist eine lineare Funktion und die äußere Funktion F ist hier völlig egal. Und wie man sieht braucht man also nur die äußere Funktion zu integrieren. Und noch 1/a davor zu schreiben. Aber das ist ja kein Problem. Ein Beispiel dazu ist Integral von √(x+1) dx. Unser linearer Term, die innere Funktion, ist x+1 oder wenn man so will 1×x+1. Das a ist dann gleich 1. Und die äußere Funktion f ist die Wurzelfunktion. Also 1/a hinschreiben, das heißt hier 1/1. Die Wurzel integriert man, indem man ja weiß, dass die Wurzel gleich hoch 1/2 ist. Und das kann man mit der Potenzregel integrieren, also haben wir dann 1/(1/2+1)×(x+1)1/2+1. Nächstes Beispiel ist eine ganzrationale Funktion. (-2x-5)78. Das könnte man natürlich ausmultiplizieren. Dauert aber zu lange, man kann es auch als verkettete Funktion auffassen. Nämlich -2x-5 ist die innere Funktion, der lineare Term. Und hoch 78 ist die äußere Funktion. Dann ist unser a hier minus zwei. Also 1/-2 kann man nach vorne schreiben. Dann brauchen wir eine Stammfunktion von etwas hoch 78. Das macht man wieder mit der Potenzregel. Wir haben dann 1/(78+1)×(-2x-5)78+1. Und das letzte Beispiel dazu ist e2x-1 das kommt auch sehr häufig vor. Innere Funktion ist 2x-1. Die äußere Funktion ist einfach die e-Funktion. Also e hoch Exponent. Unser a ist zwei. Also 1/2 davor schreiben. Ja und dann müssen wir noch eine Stammfunktion der e-Funktion finden, also e hoch Exponent bleibt beim Integrieren gleich. Deshalb können wir einfach jetzt hier hinschreiben mal e hoch dieser Exponent, nämlich e2x-1. Ja das waren die grundlegenden Integrationsregeln, also die Regeln die du immer beherrschen musst, wenn du Integralrechnung machst. Es gibt darüber hinaus noch Integrationsmethoden, wie zum Beispiel Integration durch Substitution oder Integration durch Partialbruchzerlegung und auch die partielle Integration. Soll hier nicht das Thema sein, weil das nicht in allen Prüfungen über Integralrechnungen vorkommt. Das ist dann das Thema für andere Filme. Viel Spaß damit. Tschüss.

5 Kommentare
  1. Hallo Clara S.,
    dies ist ein Thema, was dir mit einigen Wiederholungen immer leichter fallen wird. Anfangs wirkt es kompliziert, aber mit der Zeit wird es - verglichen mit anderen Aufgaben - immer einfacher werden.
    Ich wünsche dir viel Erfolg! :)
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 11 Monaten
  2. warum ist das so kompliziert?! >.

    Von Clara S., vor 11 Monaten
  3. sehr informativ

    Von Nico Loew, vor fast 5 Jahren
  4. gut erkl

    Von Constanze Budde, vor mehr als 5 Jahren
  5. genial!

    Von First Tomato, vor fast 6 Jahren

Rechenregeln für Integrale – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rechenregeln für Integrale – Übung kannst du es wiederholen und üben.

  • Wende die Potenzregel an.

    Tipps

    Wie lautet die Potenzregel?

    Wende die Potenzregel auf die Integrale an und vergleiche deine Ergebnisse mit den gegebenen Lösungen.

    Die Potenzregel besagt:

    $\int x^n ~dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}$.

    Lösung

    Wir wenden auf die gegebenen Integrale die Potenzregel $\int x^n ~dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1}$ an und erhalten:

    $\begin{align*} \int x^3 dx &= \frac{1}{3+1} x^{3+1}=\frac{1}{4}x^4 \\ \int x dx &= \frac{1}{1+1} x^{1+1}=\frac{1}{2}x^2 \\ \int 1 dx &= \int x^0 dx = \frac{1}{0+1} x^{0+1}=\frac{1}{1}x^1 = x \\ \int \sqrt x dx &= \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{\frac{1}{2}+1} x^{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} \\ \int \frac{1}{x^2} dx &= \int x^{-2} dx = \frac{1}{-2+1} x^{-2+1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x} \end{align*}$

  • Bestimme, welche Regel angewendet werden kann.

    Tipps

    Forme die Integrale um. Welche Regel wendest du dabei an?

    Die Potenzregel besagt:

    $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$.

    Die Summenregel besagt:

    $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) dx + \int g(x)dx $.

    Die Faktorregel besagt:

    $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$.

    Die lineare Substitutionsregel besagt:

    $\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a} \cdot F(ax+b) ~~~(a\neq 0)$.

    Lösung

    Wir kennen vier Rechenregeln für Integrale:

    1. Potenzregel: $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$.
    2. Faktorregel: $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$.
    3. Summenregel: $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) dx + \int g(x)dx $.
    4. Lineare Substitutionsregel: $\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a} \cdot F(ax+b) ~~~(a,b \in \mathbb R, a\neq 0)$

    Die Aufgabe $\int -\frac{1}{\sqrt 2} \cdot e^x dx$

    enthält einen konstanten Faktor $-\frac{1}{\sqrt 2}$, welcher beim Integrieren stets erhalten bleibt.

    Man kann $\int \sqrt x~dx$ umformen zu $\int x^{\frac{1}{2}}~dx$, somit können wir auf dieses Integral die Potenzregel anwenden.

    Die Aufgabe $\int (-2x-5)^{78} dx$

    enthält eine lineare Funktion, welche mit $78$ potenziert wird. Daher können wir die lineare Substitutionsregel anwenden, um diesen Term zu integrieren.

    Das Integral $\int (x^2 +e^x) dx$

    enthält eine Summe, somit können wir die Summe gliedweise integrieren.

  • Gib die Rechenregeln für Integrale an.

    Tipps

    Die Namen der Regeln sagen etwas über die entsprechende Regel aus. Versuche, mit Hilfe des Namens die jeweilige Regel herzuleiten.

    In der Summenregel für Integrale wird die Summe zweier Funktionen umgeschrieben.

    Anhand des Vergleiches der verwendeten Parameter und der Funktionsnamen kannst du auch die passende Umformung finden.

    Lösung

    Wir kennen bereits einige Regeln aus der Differentialrechnung, welche wir durch sinngemäße Umkehrungen in Regeln für die Integration überführen können.

    Beispielsweise besagt die Potenzregel der Differentialrechnung:

    $(x^n)'=n \cdot x^{n-1} ~~~(n \in \mathbb R, n \neq 0)$.

    Entsprechend besagt die Potenzregel der Integralrechnung:

    $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$

    Die Summenregel der Differentialrechnung besagt, dass man eine Summe gliedweise differenzieren kann. Dem gegenübergestellt besagt die Summenregel der Integralrechnung, dass man eine Summe auch gliedweise integrieren kann.

    Die Faktorregel lautet somit, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren bzw. auch beim Integrieren erhalten bleibt.

    Der Kettenregel der Differentialrechnung

    $(f(ax+b))'=a\cdot f'(ax+b)$

    mit einer linearen inneren Funktion entspricht die lineare Substitutionsregel der Integralrechnung

    $\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a} \cdot F(ax+b) ~~~(a\neq 0)$.

  • Bilde mit Hilfe der Rechengesetze der Integralrechnung die Stammfunktionen.

    Tipps

    Achte auf die jeweilige Integrationsvariable.

    Die Potenzregel besagt: $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$

    Die Summenregel besagt: $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) dx + \int g(x)dx $

    und die Faktorregel besagt: $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$.

    Lösung

    Um das Integral $\int (10t^4 + 2t) dt$ zu bestimmen, verwenden wir die Summen- und Potenzregel: $\int (10t^4 + 2t) dt= \int 10t^4 + \int 2t = \frac{10}{5} t^5 + \frac 2 2 t^2 = 2t^5 + t^2$ .

    Der Unterschied zwischen dem Integral $\int (3x-t)dt$ und dem Integral $\int (3x-t)dx$ ist lediglich die Integrationsvariable, somit ist jeweils die andere Variable als eine Konstante anzusehen:

    $\int (3x-t)dt= \int 3x~dt - \int t~dt= 3xt - \frac{1}{2} t^2$

    $\int (3x-t)dx= \int 3x~dx - \int t~dx= \frac{3}{2}x^2 - tx$

    Auch beim nächsten Integral $\int x(3t^2+1) dt$ müssen wir auf die Integrationsvariable $t$ achten, denn $x$ ist somit nur eine Konstante, auf die wir die Faktorregel anwenden können:

    $\int x(3t^2+1) dt = x \cdot \int (3t^2+1) dt =x \cdot (t^3 + t) = xt^3 +xt$.

  • Bestimme jeweils den Fehler in der Rechnung.

    Tipps

    Berechne eigenständig die Integrale und vergleiche anschließend deine Rechnung mit der gegebenen.

    In den Rechnungen werden die Potenz-, Summen-, Faktor- und die lineare Substitutionsregel angewendet. Wie lauten diese Regeln?

    Die Potenzregel besagt:

    $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$.

    Summenregel: $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) dx + \int g(x)dx $

    Faktorregel: $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$

    Die lineare Substitutionsregel besagt:

    $\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a} \cdot F(ax+b) ~~~(a,b \in \mathbb R , a\neq 0)$.

    Lösung

    Die erste Aufgabe lösen wir mit Hilfe der Potenzregel

    $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$

    und der Faktorregel

    $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$:

    $\int \frac{2}{x^3} dx= \int 2 \cdot x^{-3}dx=2 \cdot \int x^{-3} dx = 2 \cdot \frac{1}{-3 + 1} x^{-3 +1} = 2 \cdot \frac{1}{-2} x^{-2} = -1 x^{-2}$.

    Die zweite Aufgabe lösen wir durch das Anwenden der Summenregel

    $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) dx + \int g(x)dx $

    und der Potenzregel:

    $\int (12 x^3 + 7a) dx = \int 12 x^3 + \int 7a = 3 x^4 + 7ax $.

    Die letzte Aufgabe wird mit Hilfe der Faktorregel und der linearen Subistitutionsregel

    $\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a} \cdot F(ax+b) ~~~(a,b \in \mathbb R , a\neq 0)$

    gelöst:

    $\int 6 \cdot (4x+5)^2 dx =6 \cdot \int (4x+5)^2 dx = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} (4x+5)^3= \frac{1}{2} \cdot (4x+5)^3 $.

  • Gib die Stammfunktion der Funktionen an.

    Tipps

    Wende auf die Funktionen die Potenz-, Summen-, Faktor- und lineare Substitutionsregel an, um die Stammfunktionen zu bestimmen.

    Die Potenzregel besagt:

    $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$.

    Summenregel: $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) dx + \int g(x)dx $

    Faktorregel: $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$

    Die lineare Substitutionsregel besagt:

    $\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a} \cdot F(ax+b) ~~~(a,b \in \mathbb R , a\neq 0)$.

    Lösung

    Wir bilden die Stammfunktion der einzelnen Funktionen mit Hilfe der vier Rechengesetze der Integralrechnung:

    1. Potenzregel: $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ~~~(n \in \mathbb R\setminus\left\{-1\right\})$.
    2. Faktorregel: $\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx$.
    3. Summenregel: $\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) dx + \int g(x)dx $.
    4. Lineare Substitutionsregel: $\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a} \cdot F(ax+b) ~~~(a,b \in \mathbb R, a\neq 0)$
    Für die Berechnung der Stammfunktion der Funktion $3x^2-4x$ wenden wir die Summen- und die Potenzregel an:

    $\int (3x^2-4x) dx =\int 3x^2 dx - \int 4x dx = \frac{3}{2+1}x^3 - \frac{4}{2} x^2 = x^3 -2x^2$.

    Die Funktion $(4x+6)^3$ lässt sich mit Hilfe der linearen Substitutionsregel integrieren:

    $\int (4x+6)^3 dx = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4} \cdot (4x+3)^4 = \frac{1}{16}~(4x+3)^4$.

    Bevor wir $\frac{x^2 - 4}{x-2}$ integrieren, können wir mit Hilfe der binomischen Formel kürzen:

    $\frac{x^2 - 4}{x-2}= \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}= x+2$.

    Somit wenden wir die Summen- und Potenzregel an, um $x+2$ zu integrieren:

    $\int (x+2)dx =\frac{1}{2}x^2 +2x$.

    Um $2\cdot (4+6x)^3 $ zu integrieren, wenden wir die Faktorregel und die lineare Substitutionsregel an:

    $\int 2\cdot (4+6x)^3 = 2 \cdot \int (4+6x)^3 = 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4}\cdot (4+6x)^4$.