Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel

Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel Übung

• Ergänze die Wertetabelle.

  Tipps

  Um zu einem gegebenen $x$ das $y$ zu erhalten, setzt du das $x$ in der Funktionsgleichung ein.

  Sei zum Beispiel $f(x)=x^2-4x$, dann ist

  • zu $x=1$: $y=1^2-4\cdot 1=1-4=-3$ und
  • zu $x=-1$: $y=(-1)^2-4\cdot (-1)=1+4=5$.

  Denke daran, beim Potenzieren von negativen Zahlen die Klammern zu setzen.

  Lösung

  Wenn man den Graphen einer Funktion zeichnen soll, ist es immer eine gute Idee, eine Wertetabelle zu erstellen.

  In der Wertetabelle befinden sich in der einen Zeile (Spalte) die Werte für $x$ und in der anderen die der zugehörigen $y$.

  Wie gelangt man zu dem entsprechenden $y$? Man setzt den Wert für $x$ in der Funktionsgleichung ein.

  Diese ist in diesem Beispiel $f(x)=x^2+x-2$:

  • $x=0$: $y=0^2+0-2=-2$
  • $x=1$: $y=1^2+1-2=0$
  • $x=-1$: $y=(-1)^2+(-1)-2=-2$
  • $x=2$: $y=2^2+2-2=4$
  • $x=-2$: $y=(-2)^2+(-2)-2=0$

  Wichtig ist, dass die negativen Werte für $x$ geklammert werden, da $-2^2\neq (-2)^2$ ist.

• Gib die Lösungen der quadratischen Gleichung an.

  Tipps

  Die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+x-2=0$ sind die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2+x-2$.

  Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

  Lösung

  In dem Bild sind alle Punkte markiert, welche man durch eine Wertetabelle für $f(x)=x^2+x-2$ mit $x=-2;~-1;~0;~1;~2$ erhält.

  Die Lösungen der Gleichung $x^2+x-2=0$ entsprechen den Nullstellen des Graphen der Funktion $f(x)=x^2+x-2$. Dies sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse: $x=-2$ und $x=1$.

• Entscheide, wie viele Lösungen die jeweilige Gleichung besitzt.

  Tipps

  Um eine quadratische Gleichung zu lösen, kann man sich den Graphen der zugehörigen Funktion anschauen.

  Die Lösungen der Gleichung entsprechen den Nullstellen der Parabel.

  Eine Parabel kann entweder keine oder eine oder zwei Nullstellen besitzen.

  Lösung

  Wenn man quadratische Gleichungen lösen muss, kann man sich jeweils die zugehörige Funktion und deren Graphen anschauen. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ein Parabel kann

  • keine oder
  • eine oder
  • zwei Nullstellen besitzen.

  Man kann also die Nullstellen der Parabel zählen:

  • Die obere hat eine,
  • die zweite von oben hat zwei,
  • die dritte von oben hat ebenfalls zwei und
  • die untere hat keine Nullstellen.

• Bestimme die Nullstellen der quadratischen Gleichung $x^2-4x+3=0$.

  Tipps

  Wenn du einen Funktionsgraphen zeichnen musst, kannst du immer eine Wertetabelle erstellen.

  Berechne zu jedem der $x=0;~1;~2;~3;~4$ den Funktionswert, indem du $x$ in der Funktionsgleichung einsetzt.

  Die Lösungen der Ausgangsgleichung entsprechen den Nullstellen des Funktionsgraphen.

  Lösung

  Man betrachtet die Funktion $f(x)=x^2-4x+3$ und stellt zu dieser Funktion eine Wertetabelle auf:

  $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&3&0&-1&0&3 \end{array}$

  Die entsprechenden $(x|y)$ Paare können in ein x-y-Koordiantensystem übertragen werden. Der Graph ist hier zu sehen.

  Sowohl aus der Wertetabelle als auch an Hand des Graphen können die beiden Lösungen der obigen Gleichung angegeben werden:

  • $x=1$ oder
  • $x=3$.

• Beschreibe, wie man graphisch Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen kann.

  Tipps

  Wenn du einen Graphen zeichnen möchtest, kannst du immer eine Wertetabelle erstellen.

  Gib dir zum Erstellen einer Wertetabelle einige Werte für $x$ vor und berechne die Funktionswerte durch Einsetzen dieses $x$ in der Funktionsgleichung.

  Die Wertepaare $(x|y)$ werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet.

  Lösung

  Wie kann eine quadratische Gleichung graphisch gelöst werden?

  Zum Beispiel $x^2+x-2=0$.

  Man betrachtet die Funktion $f(x)=x^2+x-2$.

  Um den Graphen dieser Funktion zu zeichnen, kann man eine Wertetabelle erstellen.

  Wenn man den Graphen gezeichnet hat, kann man die Lösungen ablesen: Das sind die Nullstellen.

• Ermittle zu der Gleichung $-2x^2+6x-4=0$ die Lösungen.

  Tipps

  Stelle zunächst die Scheitelpunktform der Gleichung auf.

  Mit Hilfe der Scheitelpunktform kann zum einen der Graph gezeichnet werden und zum anderen die Gleichung gelöst werden.

  Sei zum Beispiel $(x-2)^2-4=0$ zu lösen, kann zunächst $4$ addiert werden zu $(x-2)^2=4$.

  Nun kann die Wurzel gezogen werden und man erhält die beiden Lösungen:

  • $x=2+2=4$ sowie
  • $x=2-2=0$.

  Lösung

  Hier ist die Parabel zu der Funktion $f(x)=-2x^2+6x-4$ zu sehen.

  Man kann diese Parabel dadurch erhalten, dass man eine Wertetabelle erstellt. Man kann auch die Scheitelpunktform herleiten und dann mit Hilfe des Scheitelpunktes und des Streckfaktors den Graphen zeichnen.

  Mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung kann die Scheitelpunktform hergeleitet werden:

  $\begin{align*} -2x^2+6x-4&=-2(x^2-3x+2)\\ &=-2(x^2-3x+1,5^2-1,5^2+2)\\ &=-2((x-1,5)^2-0,25)\\ &=-2(x-1,5)^2+0,5. \end{align*}$

  Der Scheitelpunkt lautet $S(1,5|0,5)$.

  Der Streckfaktor ist $a=-2$, das bedeutet,

  • dass die Parabel nach unten geöffnet ist und
  • schmaler verläuft als die Normalparabel.

  Da die y-Koordinate größer ist als $0$ und die Parabel nach unten geöffnet ist, gibt es zwei Nullstellen. Diese können mit Hilfe der Scheitelpunktform berechnet werden:

  $\begin{align*} -2(x-1,5)^2+0,5&=0&|&-0,5\\ -2(x-1,5)^2&=-0,5&|&:(-2)\\ (x-1,5)^2&=0,25&|&\sqrt{~}\\ x-1,5&=\pm 0,5&|&+1,5\\ x&=1,5+0,5=2&|&\text{oder}\\ x&=1,5-0,5=1. \end{align*}$