Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Überblick

Quadratische Gleichungen grafisch lösen – Überblick Übung

• Beschreibe das Vorgehen beim graphischen Lösen einer quadratischen Gleichung.

  Tipps

  Um eine Wertetabelle zu erstellen, setzt man zum Beispiel die $x$-Werte $-1,0,1$ und $2$ in die Funktionsgleichung der jeweiligen Funktion ein.

  Schneidet der Graph einer quadratischen Funktion die $x$-Achse nicht, so besitzt die Funktion keine Nullstellen.

  Lösung

  Um eine quadratische Gleichung graphisch zu lösen, stellt man die Gleichung so um, dass auf einer Seite null steht. Die entstandene Gleichung kennt man von der Nullstellenbestimmung einer quadratischen Funktion.

  Für die Gleichung $2x^2+x=3x+1,5$ bedeutet das zum Beispiel $2x^2 +x-3x-1 =0$ bzw. vereinfacht $2x^2-2x-1,5 =0$.

  Der Term $2x^2-2x-1,5$ kann nun als quadratische Funktion der Form $f(x)=2x^2-2x-1,5$ aufgefasst werden.

  Um den Graph dieser Funktion zu zeichnen, erstellt man als Nächstes eine Wertetabelle. Dafür können wir zum Beispiel die $x$-Werte $-1,0,1$ und $2$ in die Funktionsgleichung einsetzen.

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} x & -1& 0& 1 & 2 \\ \hline f(x) & 2,5 & -1,5 & -1,5 & 2,5\\ \end{array}$

  Nun können wir die Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und den Graphen der Funktion, also in diesem Fall $f(x)=2x^2-2x-1,5$, zeichnen. Die Nullstellen lassen sich als Schnittpunkte mit der $x$-Achse ablesen. Hier sind das die Nullstellen $-0,5$ und $1,5$.

• Bestimme graphisch die Lösung der quadratischen Gleichung.

  Tipps

  In der Gleichung $2x^2+2x=4$ kann man $x^2$ isolieren, indem man zunächst $2x$ auf beiden Seiten abzieht und $2x^2=4-2x$ erhält.
  Teilt man dann noch durch $2$, so erhält man $x^2=2-x$.

  Eine lineare Gleichung der Form $y=x+0,75$ hat den $y$-Achsenabschnitt bei $0,75$.

  Lösung

  Wir wollen die quadratische Gleichung $2x^2+x=3x+1,5$ graphisch lösen.

  Dafür wollen wir die Gleichung so umstellen, dass $2x^2$ auf einer Seite isoliert steht. Dazu subtrahieren wir zunächst $x$ auf beiden Seiten und erhalten $2x^2=2x+1,5$.

  Um auf der linken Seite $x^2$ zu erhalten, teilen wir beide Seiten durch $2$ und erhalten $x^2=x+0,75$.

  Nun können wir die linke Seite der Gleichung als quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2$, also als Gleichung der Normalparabel, auffassen. Die rechte Seite der Gleichung kann als lineare Funktion der Form $g(x)=x+0,75$ aufgefasst werden.

  Die Graph zu $f$ ist die Normalparabel und damit der schwarze Graph. Der Graph der linearen Funktion $g$ hat den $y$-Achsenabschnitt $0,75$. Daher kann es sich hierbei nur um den roten Graphen handeln.

  Im obigen Bild können wir nun die Schnittpunkte der Normalparabel und der roten Geraden ablesen. Diese Schnittpunkte sind die Lösung der quadratischen Gleichung und sind gegeben durch $x_1 =-0,5$ und $x_2=1,5$.

• Ermittle die Lösungen der gegebenen quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Forme die Gleichung zunächst so um, dass $0$ auf einer Seite der Gleichung steht. Die andere Seite der Gleichung kann dann als quadratische Funktion identifiziert werden.

  Ausgehend von der quadratischen Funktion, kannst du eine Wertetabelle erstellen, anschließend den Graphen zeichnen und die Nullstellen ablesen.

  Lösung

  Um die quadratischen Gleichungen graphisch zu lösen, gehen wir nach folgendem Schema vor:

  • Umstellen der Gleichung, sodass $0$ auf einer Seite der Gleichung steht
  • Auffassen der anderen Seite der Gleichung als quadratische Funktion

  Erstellung einer Wertetabelle für die Werte $-2,-1,0,1,2$ für die quadratische Funktion

  • Zeichnen des Graphen der Funktion anhand der Wertetabelle
  • Ablesen der Nullstellen des Graphen, da diese die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bilden

  Zur Gleichung $x^2+3x=1+3x$

  Wir subtrahieren $3x$ und $1$ auf beiden Seiten und erhalten die Gleichung $x^2-1=0$.
  Die linke Seite lässt sich als quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2-1$ auffassen.
  Wir erstellen eine Wertetabelle:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & -2& -1& 0& 1 & 2 \\ \hline f(x) & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \end{array}$

  Wenn wir den Graphen zu der Wertetabelle zeichnen, stellen wir fest, dass die Nullstellen der Funktion und damit die Lösungen der anfänglichen Gleichung gegeben sind durch $-1$ und $1$.

  Zur Gleichung $2x+1=-x^2+1$

  Wir subtrahieren $1$ auf beiden Seiten, addieren $x^2$ und erhalten die Gleichung $x^2+2x=0$.
  Die linke Seite lässt sich als quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2+2x$ auffassen.
  Wir erstellen eine Wertetabelle:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & -2& -1& 0& 1 & 2 \\ \hline f(x) & 0 & -1 & 0 & 3 & 8 \end{array}$

  Wenn wir den Graphen zu der Wertetabelle zeichnen, stellen wir fest, dass die Nullstellen der Funktion und damit die Lösungen der anfänglichen Gleichung gegeben sind durch $-2$ und $0$.

  Zur Gleichung $2x^2-2x+1=x^2+0,5x$

  Wir subtrahieren $x^2$ und $0,5x$ auf beiden Seiten und erhalten die Gleichung $x^2-2,5x+1=0$.
  Die linke Seite lässt sich als quadratische Funktion der Form $f(x)= x^2-2,5x+1$ auffassen.
  Wir erstellen eine Wertetabelle:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & -2& -1& 0& 1 & 2 \\ \hline f(x) & 10 & 4,5 & 1 & -0,5 & 0 \end{array}$

  Wenn wir den Graphen zu der Wertetabelle zeichnen, stellen wir fest, dass die Nullstellen der Funktion und damit die Lösungen der anfänglichen Gleichung gegeben sind durch $0,5$ und $2$.

  Zur Gleichung $-x+2x^2=-2x+3$

  Wir subtrahieren $3$ auf beiden Seiten, addieren $2x$ und erhalten die Gleichung $2x^2+x-3=0$.
  Die linke Seite lässt sich als quadratische Funktion der Form $f(x)= 2x^2+x-3$ auffassen.
  Wir erstellen eine Wertetabelle:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x & -2& -1& 0& 1 & 2 \\ \hline f(x) & 3 & -2 & -3 & 0 & 7 \end{array}$

  Wenn wir den Graphen zu der Wertetabelle zeichnen, stellen wir fest, dass die Nullstellen der Funktion und damit die Lösungen der anfänglichen Gleichung gegeben sind durch $-1,5$ und $1$.

• Bestimme die graphische Lösung der gegebenen quadratischen Gleichungen.

  Tipps

  Löse die quadratischen Gleichungen, indem du $x^2$ auf einer Seite der Gleichung isolierst. Dann kannst du beide Seiten der Gleichungen als Funktionen auffassen, deren Graphen zum einen eine Normalparabel und zum anderen eine Gerade sind.

  Eine Gerade der Form $y=4x+2$ hat den $y$-Achsenabschnitt $2$ und die positive Steigung $4$.

  Lösung

  Zur Gleichung $x^2+x=3x+1$

  Um die Gleichung $x^2+x=3x+1$ nach $x^2$ umzustellen, subtrahieren wir $x$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $x^2=2x+1$.

  Wir können die Seiten als die quadratische Funktion $f(x)=x^2$ und $g(x)=2x+1$ auffassen.
  Dabei ist der Graph von $f$ die Normalparabel und der Graph von $g$ ist gegeben durch eine Gerade mit $y$-Achsenabschnitt $1$ und Steigung $2$. Daher kommen nur die grünen Graphen infrage.

  Zur Gleichung $0,5x^2=-1,5x+2-0,5x^2$

  Um die Gleichung $0,5x^2=-1,5x+2-0,5x^2$ nach $x^2$ umzustellen, addieren wir $0,5x^2$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $x^2=-1,5x+2$.

  Wir können die Seiten als die quadratische Funktion $f(x)=x^2$ und $g(x)=-1,5x+2$ auffassen.
  Dabei ist der Graph von $f$ die Normalparabel und der Graph von $g$ ist gegeben durch eine Gerade mit $y$-Achsenabschnitt $2$ und Steigung $-1,5$. Daher kommen nur die orangen Graphen infrage.

  Zur Gleichung $x^2-4+3x=-4-4x$

  Um die Gleichung $x^2-4+3x=-4-4x$ umzustellen, addieren wir $4$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $x^2+3x=-4x$. Zusätzlich subtrahieren wir $3x$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $x^2=-7x$.

  Wir können die Seiten als die quadratische Funktion $f(x)=x^2$ und $g(x)=-7x$ auffassen.
  Dabei ist der Graph von $f$ die Normalparabel und der Graph von $g$ ist gegeben durch eine Gerade mit $y$-Achsenabschnitt $0$ und Steigung $-7$. Sie verläuft also durch den Ursprung und ist sehr steil. Daher kommen nur die blauen Graphen infrage.

  Zur Gleichung $3x^2+2-x=0,5x-1$

  Um die Gleichung $3x^2+2-x=0,5x-1$ umzustellen, addieren wir $x$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $3x^2+2=1,5x-1$. Als Nächstes subtrahieren wir $2$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $3x^2=1,5x-3$. Nun müssen wir nur noch durch $3$ teilen, um $x^2$ zu isolieren: $x^2=0,5x-1$.

  Wir können die Seiten als die quadratische Funktion $f(x)=x^2$ und $g(x)=0,5x-1$ auffassen.
  Dabei ist der Graph von $f$ die Normalparabel und der Graph von $g$ ist gegeben durch eine Gerade mit $y$-Achsenabschnitt $-1$ und Steigung $0,5$. Daher kommen nur die gelben Graphen infrage.

• Gib die Nullstellen der abgebildeten quadratischen Funktionen an.

  Tipps

  Eine Nullstelle ist der $x$-Wert des Schnittpunktes eines Graphen mit der $x$-Achse.

  Der grüne Graph besitzt nur eine Nullstelle.

  Lösung

  Die Nullstellen sind gegeben durch die $x$-Werte der Schnittpunkte der Graphen mit der $x$-Achse:

  Der blaue Graph schneidet die $x$-Achse in den Punkten $(-2,5|0)$ und $(-0,5|0)$. Daher sind die Nullstellen gegeben durch $-2,5$ und $-0,5$.

  Der gelbe Graph schneidet die $x$-Achse in den Punkten $(-1|0)$ und $(2|0)$. Daher sind die Nullstellen gegeben durch $-1$ und $2$.

  Der grüne Graph schneidet die $x$-Achse ausschließlich im Punkt $(1|0)$. Daher ist die einzige Nullstellen gegeben durch $1$.

• Ermittle die Lösung der gegebenen quadratischen Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter $a$.

  Tipps

  Wenn du die Normalparabel und die Gerade gezeichnet hast, bedeuten zwei Schnittpunkte, dass es zwei Lösungen gibt, und ein Schnittpunkt bedeutet, dass es eine Lösung gibt. Schneidet die Gerade die Normalparabel nicht, so gibt es keine Lösung für die quadratische Gleichung.

  Lösung

  Wir gehen nach folgendem Schema vor:

  1. Ersetzen des Parameters $a$ durch $0,4$ oder $8$
  2. Isolierung von $x^2$ auf einer Seite der Gleichung
  3. Identifizierung der Funktionen $f(x)=x^2$ und einer linearen Funktion $g(x)$
  4. Zeichnen der beiden Funktionen in einem Koordinatensystem
  5. Ablesen der Anzahl der Lösungen

  Zu $a=0$

  Die quadratische Gleichung wird zu $2x^2-x=x^2+3x$. Subtrahieren wir $x^2$ auf beiden Seiten und addieren $x$, so erhalten wir $x^2=4x$.

  Wir können die linke Seite als quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2$ und die rechte Seite als lineare Funktion der Form $g(x)=4x$ identifizieren.

  Der Graph der Funktion $f$ ist die Normalparabel. Der Graph der Funktion $g$ ist eine Gerade mit $y$-Achsenabschnitt $0$ und Steigung $4$. Sie schneidet die Parabel $2$-mal. Daher hat die ursprüngliche quadratische Gleichung für $a=0$ zwei Lösungen.

  Zu $a=4$

  Die quadratische Gleichung wird zu $2x^2-x+8=x^2+3x+4$. Subtrahieren wir $x^2$ und $8$ auf beiden Seiten und addieren $x$, so erhalten wir $x^2=4x-4$.

  Wir können die linke Seite als quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2$ und die rechte Seite als lineare Funktion der Form $g(x)=4x-4$ identifizieren.

  Der Graph der Funktion $f$ ist die Normalparabel. Der Graph der Funktion $g$ ist eine Gerade mit $y$-Achsenabschnitt $-4$ und Steigung $4$. Sie schneidet die Parabel genau $1$-mal. Daher hat die ursprüngliche quadratische Gleichung für $a=4$ genau eine Lösung.

  Zu $a=8$

  Die quadratische Gleichung wird zu $2x^2-x+16=x^2+3x+8$. Subtrahieren wir $x^2$ und $16$ auf beiden Seiten und addieren $x$, so erhalten wir $x^2=4x-8$.

  Wir können die linke Seite als quadratische Funktion der Form $f(x)=x^2$ und die rechte Seite als lineare Funktion der Form $g(x)=4x-8$ identifizieren.

  Der Graph der Funktion $f$ ist die Normalparabel. Der Graph der Funktion $g$ ist eine Gerade mit $y$-Achsenabschnitt $-8$ und Steigung $4$. Sie schneidet die Parabel nicht. Daher hat die ursprüngliche quadratische Gleichung für $a=8$ keine Lösung.