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Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel

Herzlich Willkommen zu einem Beispielvideo zum Thema „ Graphische Lösung einer quadratischen Gleichung “. Mit dem graphischen Verfahren kannst du die exakte Lösung gut abschätzen. Du solltest bereits wissen, worin der Unterschied zwischen einer quadratischen Funktionsgleichung und einer quadratischen Gleichung liegt. Außerdem wäre es von Vorteil, wenn du im Umgang mit Wertetabellen fit bist. Wir werden dir an der quadratischen Gleichung x² + x - 2 = 0 zeigen, wie du mit dem graphischen Verfahren gut die exakte Lösung abschätzen kannst. Nutze die Möglichkeit und halte das Video zwischendurch an, falls du dir das Beispiel in dein Heft übernehmen möchtest. Viel Spaß!

Transkript Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel

Hallo! Quadratische Gleichungen graphisch lösen, hier kommt ein Beispiel. Wir haben - ich fange mal hier an, den Platz brauche ich noch - x2+x-2=0. Das ist eine quadratische Gleichung, die liegt in Normalform vor hier. Und wenn wir die graphisch lösen möchten, dann müssen wir daraus eine quadratische Funktion machen. Das heißt, =0 wische ich einfach weg und ich schreibe hier f(x) hin =x2+x-2. Hätte das f(x) auch hierhin schreiben können, das ist egal. Meistens schreibt man das f(x) an den Anfang. So, wenn ich das also graphisch lösen möchte, dann brauche ich einen Graphen. Einen Graphen bekomme ich, indem ich eine Wertetabelle mache und mir mal so ungefähr einen Überblick darüber verschaffe, wo diese Funktion hier entlangläuft. Und das mache ich alles völlig ohne Denken. Ich fange einfach bei 0 an, ich habe keine Ahnung, wo der Graph liegt. Ich mache einfach mal und gucke mal, was passiert. Also, wir haben 0, möchte ich hier einsetzen, da kommt -2 raus. Also das ist schon mal klar. Dann setze ich 1 ein. Wenn ich hier 1 einsetze, dann steht da 12, das ist 1+1, das ist 2. Na, guck mal, da ist doch schon mal eine Nullstelle! Also 2-2 ist 0, muss ich nicht extra erklären. Dann haben wir -1, kann ich auch einsetzen. Das ist hier -12, ist +1-1, ist 0, -2 kommt raus. Na, da schau her! Bei 0 und -1 ist die ganze Sache hier gleich -2. Stimmt das überhaupt? Ja, komisch, lustig, egal! Auf jeden Fall, ich mache jetzt weiter, 2 setze ich ein. Und dann kommt hier raus. 22, das ist 4, +2, das ist 6, -2, ist wieder 4. Und ich kann auch -2 einsetzen. Dann kommt da raus: Für x2 steht dann +4 da. Und wenn ich hier für x -2 einsetze, dann habe ich also 4-2, das ist 2, und noch mal -2, das ist 0. Und dann mache ich mir jetzt die Sache einfach. Ich setze schon mal hier den Graphen ein. Ich mache keine Skizze, wie ich das sonst schon mal gemacht habe. Ich sehe ja jetzt schon, wo der Graph so langlaufen muss. Ich weiß, es wird auch eine Parabel sein. Und wenn ich hier schon mal die Nullstellen sehen kann, das war ja das Eigentliche, was ich haben wollte. Sind bei 1 und -2. Dann mache ich das so. Also hier geht der Graph durch 1 und -2. Also so wird das ungefähr aussehen. Und dann kann ich ja auch den Rest bestätigen. -2 ist der Graph hier, also bei 0 und bei -1. Wie du an meiner Reaktion gemerkt hast, hatte ich was anderes erwartet, aber ich kann ja auch mal überrascht werden. Ja, das ist der Graph dazu. Ich kann hier natürlich jetzt schnell überprüfen, dass die Nullstellen tatsächlich exakt bei 1 und -2 liegen. In der Regel geht das nicht, aber hier zum Testen zum Beispiel ist das ganz gut. Ich hoffe, du hattest das genauso. Viel Spaß! Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Wie sieht dann das graphische Lösen aus bei der quadratischen Gleichung: x² = 1,5x + 1 ??
    Vielen Dank im Voraus

    Von Wellisus, vor mehr als 7 Jahren

Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen – Beispiel kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Wertetabelle.

    Tipps

    Um zu einem gegebenen $x$ das $y$ zu erhalten, setzt du das $x$ in der Funktionsgleichung ein.

    Sei zum Beispiel $f(x)=x^2-4x$, dann ist

    • zu $x=1$: $y=1^2-4\cdot 1=1-4=-3$ und
    • zu $x=-1$: $y=(-1)^2-4\cdot (-1)=1+4=5$.

    Denke daran, beim Potenzieren von negativen Zahlen die Klammern zu setzen.

    Lösung

    Wenn man den Graphen einer Funktion zeichnen soll, ist es immer eine gute Idee, eine Wertetabelle zu erstellen.

    In der Wertetabelle befinden sich in der einen Zeile (Spalte) die Werte für $x$ und in der anderen die der zugehörigen $y$.

    Wie gelangt man zu dem entsprechenden $y$? Man setzt den Wert für $x$ in der Funktionsgleichung ein.

    Diese ist in diesem Beispiel $f(x)=x^2+x-2$:

    • $x=0$: $y=0^2+0-2=-2$
    • $x=1$: $y=1^2+1-2=0$
    • $x=-1$: $y=(-1)^2+(-1)-2=-2$
    • $x=2$: $y=2^2+2-2=4$
    • $x=-2$: $y=(-2)^2+(-2)-2=0$
    Wichtig ist, dass die negativen Werte für $x$ geklammert werden, da $-2^2\neq (-2)^2$ ist.

  • Gib die Lösungen der quadratischen Gleichung an.

    Tipps

    Die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+x-2=0$ sind die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2+x-2$.

    Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

    Lösung

    In dem Bild sind alle Punkte markiert, welche man durch eine Wertetabelle für $f(x)=x^2+x-2$ mit $x=-2;~-1;~0;~1;~2$ erhält.

    Die Lösungen der Gleichung $x^2+x-2=0$ entsprechen den Nullstellen des Graphen der Funktion $f(x)=x^2+x-2$. Dies sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse: $x=-2$ und $x=1$.

  • Entscheide, wie viele Lösungen die jeweilige Gleichung besitzt.

    Tipps

    Um eine quadratische Gleichung zu lösen, kann man sich den Graphen der zugehörigen Funktion anschauen.

    Die Lösungen der Gleichung entsprechen den Nullstellen der Parabel.

    Eine Parabel kann entweder keine oder eine oder zwei Nullstellen besitzen.

    Lösung

    Wenn man quadratische Gleichungen lösen muss, kann man sich jeweils die zugehörige Funktion und deren Graphen anschauen. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ein Parabel kann

    • keine oder
    • eine oder
    • zwei Nullstellen besitzen.
    Man kann also die Nullstellen der Parabel zählen:
    • Die obere hat eine,
    • die zweite von oben hat zwei,
    • die dritte von oben hat ebenfalls zwei und
    • die untere hat keine Nullstellen.

  • Bestimme die Nullstellen der quadratischen Gleichung $x^2-4x+3=0$.

    Tipps

    Wenn du einen Funktionsgraphen zeichnen musst, kannst du immer eine Wertetabelle erstellen.

    Berechne zu jedem der $x=0;~1;~2;~3;~4$ den Funktionswert, indem du $x$ in der Funktionsgleichung einsetzt.

    Die Lösungen der Ausgangsgleichung entsprechen den Nullstellen des Funktionsgraphen.

    Lösung

    Man betrachtet die Funktion $f(x)=x^2-4x+3$ und stellt zu dieser Funktion eine Wertetabelle auf:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&3&0&-1&0&3 \end{array}$

    Die entsprechenden $(x|y)$ Paare können in ein x-y-Koordiantensystem übertragen werden. Der Graph ist hier zu sehen.

    Sowohl aus der Wertetabelle als auch an Hand des Graphen können die beiden Lösungen der obigen Gleichung angegeben werden:

    • $x=1$ oder
    • $x=3$.

  • Beschreibe, wie man graphisch Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen kann.

    Tipps

    Wenn du einen Graphen zeichnen möchtest, kannst du immer eine Wertetabelle erstellen.

    Gib dir zum Erstellen einer Wertetabelle einige Werte für $x$ vor und berechne die Funktionswerte durch Einsetzen dieses $x$ in der Funktionsgleichung.

    Die Wertepaare $(x|y)$ werden in ein Koordinatensystem eingezeichnet.

    Lösung

    Wie kann eine quadratische Gleichung graphisch gelöst werden?

    Zum Beispiel $x^2+x-2=0$.

    Man betrachtet die Funktion $f(x)=x^2+x-2$.

    Um den Graphen dieser Funktion zu zeichnen, kann man eine Wertetabelle erstellen.

    Wenn man den Graphen gezeichnet hat, kann man die Lösungen ablesen: Das sind die Nullstellen.

  • Ermittle zu der Gleichung $-2x^2+6x-4=0$ die Lösungen.

    Tipps

    Stelle zunächst die Scheitelpunktform der Gleichung auf.

    Mit Hilfe der Scheitelpunktform kann zum einen der Graph gezeichnet werden und zum anderen die Gleichung gelöst werden.

    Sei zum Beispiel $(x-2)^2-4=0$ zu lösen, kann zunächst $4$ addiert werden zu $(x-2)^2=4$.

    Nun kann die Wurzel gezogen werden und man erhält die beiden Lösungen:

    • $x=2+2=4$ sowie
    • $x=2-2=0$.

    Lösung

    Hier ist die Parabel zu der Funktion $f(x)=-2x^2+6x-4$ zu sehen.

    Man kann diese Parabel dadurch erhalten, dass man eine Wertetabelle erstellt. Man kann auch die Scheitelpunktform herleiten und dann mit Hilfe des Scheitelpunktes und des Streckfaktors den Graphen zeichnen.

    Mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung kann die Scheitelpunktform hergeleitet werden:

    $\begin{align*} -2x^2+6x-4&=-2(x^2-3x+2)\\ &=-2(x^2-3x+1,5^2-1,5^2+2)\\ &=-2((x-1,5)^2-0,25)\\ &=-2(x-1,5)^2+0,5. \end{align*}$

    Der Scheitelpunkt lautet $S(1,5|0,5)$.

    Der Streckfaktor ist $a=-2$, das bedeutet,

    • dass die Parabel nach unten geöffnet ist und
    • schmaler verläuft als die Normalparabel.
    Da die y-Koordinate größer ist als $0$ und die Parabel nach unten geöffnet ist, gibt es zwei Nullstellen. Diese können mit Hilfe der Scheitelpunktform berechnet werden:

    $\begin{align*} -2(x-1,5)^2+0,5&=0&|&-0,5\\ -2(x-1,5)^2&=-0,5&|&:(-2)\\ (x-1,5)^2&=0,25&|&\sqrt{~}\\ x-1,5&=\pm 0,5&|&+1,5\\ x&=1,5+0,5=2&|&\text{oder}\\ x&=1,5-0,5=1. \end{align*}$

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