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Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen

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Martin Wabnik
Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen

Herzlich Willkommen zum Video „ Graphische Lösung einer quadratischen Gleichung “! Du solltest bereits wissen, was man unter einer Lösung einer Gleichung versteht und was eine quadratische Gleichung ist. Was erwartet dich in diesem Video? Wir werden dir in diesem Lehrfilm zeigen, wie du mit dem graphischen Verfahren gut die exakte Lösung abschätzen kannst. Wie sieht nun die graphische Lösung einer quadratischen Gleichung aus? Nutze die Gelegenheit und nehm dir die Zeit, um den Erklärungen im Video zu folgen. Viel Spaß beim Schauen!

Transkript Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen

Hallo. Wie kannst du eine quadratische Gleichung grafisch lösen? Das ist das Thema und da überlegen wir uns mal Folgendes: Ich investiere hier eine Gleichung in Normalform. Warum nicht? Eine quadratische Gleichung x2+x-12=0. Eine ganz normale quadratische Gleichung. Jetzt ist die Frage: Wie kann man diese quadratische Gleichung grafisch lösen? Man macht Folgendes: Aus dieser Gleichung mit Lösungsmenge macht man eine Funktionsgleichung. Das ist jetzt eine andere Art der Gleichung. Eine Funktionsgleichung, die beschreibt eine Funktion, und zwar die Funktion mit dem Funktionsterm x2+x-12. Wenn man jetzt eine Wertetabelle macht und den Graphen zeichnet, dann kann man sehen, wo dieser Graph durch die x-Achse geht und was sind dann die Nullstellen dieser Funktion. Das sind auch die Lösungen dieser quadratischen Gleichung. Das ist natürlich, kann man auch so sehen, ein bisschen Banane. Um hier höchstens 2 Zahlen zu finden, die man für x einsetzen kann, sodass diese Gleichung richtig wird, rechnet man einfach stumpf alle möglichen Zahlen aus. Man setzt alle möglichen Zahlen hier ein, rechnet alle möglichen Ergebnisse aus und guckt dann, wie das so verteilt ist. Dann liest man die richtigen Ergebnisse ab. Das ist so ähnlich, wie wenn ein junger Mann in die Welt hinaus geht und sucht die Frau fürs Leben und müht sich dann redlich mit jeder möglichen Frau, um hinterher dann festzustellen, ich nehme die oder stelle der zumindest einen Antrag, bei der das Ergebnis 0 war. Das ist natürlich Blödsinn, so die Frau fürs Leben zu finden. Aber, dieses Verfahren würde dazu führen, dass man einen ganz guten Überblick bekommt. Das ist auch der Grund für grafische Lösungen in der Mathematik. Hier speziell grafischer Lösungen quadratischer Gleichungen.  Und zwar, wenn man jetzt den Graphen sieht, dann hat man auch einen ganz guten Überblick. Obwohl man die Lösungen in der Regel nicht ganz exakt ablesen kann ...  Das ist also der Graph dieser Funktion, ziemlich genau. Ich hab meinen Handfeger nicht dabei, schade eigentlich, sonst hätte ich jetzt fegen können. So ungefähr wird das also aussehen hier, nein so. Ich habe das eigentlich vorbereitet. Ich weiß, dass die Nullstellen dieser Funktion bei 3 und -4 liegen. Deshalb kann ich jetzt auch direkt den Graphen zeichnen. In der Regel kannst du die Nullstellen nicht exakt ablesen. Du kannst zwar das auch nachprüfen, exakt nachrechnen. Hier geht es, weil die Nullstellen ganze Zahlen sind. Aber es führt eben dazu, dass man hier einen ganz guten Überblick über alle möglichen Funktionswerte bekommt und ganz gut einschätzen kann, wo ungefähr die Nullstellen dieser Funktion, respektive also die Lösungen dieser Gleichung, liegen können. Das ist oft sehr nützlich. Viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.                                            

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Ich hab eine Frage, was macht man, wenn die Gleichung x'quadrat' = x-2 gegeben ist und man die gleichung näherungsweise durch zeichnen geeigneter funktionsgraphen lösen soll? Die normalparabel habe ich schon gezeichnet, aber ich komme mit 'x-2' nicht weiter...
    Man sollte Lösungen für Schnittpunkte einer Normalparabel und einer Gerade finden.

    Von Aliicebock, vor mehr als 8 Jahren
  2. ich lern hier echt fürs Leben :)

    Von Marcel S., vor fast 10 Jahren
  3. Auch gut (;

    Von Robin Ms, vor mehr als 11 Jahren

Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen zeichnerisch lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim graphischen Bestimmen von Lösungen quadratischer Gleichungen wie $x^2+x-12=0$.

    Tipps

    Du kannst den Verlauf einer Funktion zeichnen, indem du einige Funktionswerte berechnest.

    Diese Funktionswerte kannst du in ein x-y-Koordinatensystem eintragen.

    Der zur Funktion gehörende Verlauf kann die y-Achse einmal und die x-Achse mehrmals schneiden.

    Die Stelle, an welcher der Funktionsgraph die y-Achse schneidet, erhältst du durch Einsetzen von $x=0$ in der Funktionsgleichung.

    Lösung

    Man stellt zu der Gleichung

    $x^2+x-12=0$

    die zugehörige Funktionsgleichung

    $f(x)=x^2+x-12$

    auf. In diese kann man Werte für $x$ einsetzen und erhält somit eine Wertetabelle, wie hier zu sehen. Mithilfe dieser Wertetabelle kann man den Graphen der Funktion, eine Parabel, zeichnen. Die Schnittstellen dieser Parabel mit der x-Achse sind die Nullstellen; dies sind die gesuchten Lösungen der Gleichung $x^2+x-12=0$.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2+x-12=0$.

    Tipps

    Dies ist der Funktionsgraph zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2+x-12$. Die Lösungen der Gleichung entsprechen den Nullstellen.

    Wenn du einen Graphen gezeichnet hast, kannst du die Nullstellen ablesen.

    Lösung

    Wenn man den Graphen einer quadratischen Funktionsgleichung gezeichnet hat, kann man die Lösungen der entsprechenden Gleichung ablesen. Die Lösungen sind die Nullstellen des Funktionsgraphen.

    Der Graph zu der Funktionsgleichung $f(x)=x^2+x-12$ ist hier zu sehen.

    Die Nullstellen des Graphen sind in diesem Beispiel $x_1=-4$ und $x_2=3$.

    Somit haben wir natürlich auch die Lösungen der Gleichung $x^2+x-12=0$. Diese sind $x_1=-4$ und $x_2=3$.

  • Bestimme die Funktionsgleichung zu der gegebenen Gleichung.

    Tipps

    Der erste Schritt ist, zu einer gegebenen Gleichung der Form

    $ax^2+bx+c=0$

    die zugehörige Funktionsgleichung

    $f(x)=ax^2+bx+c$

    aufzustellen.

    Wenn die Gleichung nicht $=0$ gesetzt ist, muss diese zunächst umgeformt werden.

    Hier kannst du anhand eines Beispiels eine solche Umformung nachvollziehen.

    Die zugehörige Funktionsgleichung lautet dann

    $f(x)=x^2+4x-5$.

    Lösung

    Wenn man eine quadratische Gleichung graphisch lösen möchte, geht man wie folgt vor:

    1. Man stellt die zugehörige Funktionsgleichung auf. Dabei ist zu beachten, dass die Gleichung in der Form $=0$ vorliegen muss. Gegebenenfalls muss man die Gleichung zunächst umformen.
    2. Man erstellt eine Wertetabelle und
    3. zeichnet mit deren Hilfe den Graphen der Funktion.
    4. Die gesuchten Lösungen sind die Nullstellen des Graphen, also die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse.
    In dieser Aufgabe geht es um den ersten Punkt.
    • Zu $x^2+2x+1=0$ gehört die Funktionsgleichung $f(x)=x^2+2x+1$.
    • Zu $x^2+2x+1=4$ gehört die Funktionsgleichung $f(x)=x^2+2x-3$.
    • Zu $x^2+4x+3=0$ gehört die Funktionsgleichung $f(x)=x^2+4x+3$.
    • Zu $x^2+4x+1=6$ gehört die Funktionsgleichung $f(x)=x^2+4x-5$.

  • Erstelle eine Wertetabelle zu der Funktionsgleichung $f(x) = x^2+4x-5$.

    Tipps

    Setze das jeweilige $x$ in der Funktionsgleichung ein.

    Achte auf die Klammern beim Potenzieren von negativen Zahlen, denn

    • $(-4)^2=16$ aber
    • $-4^2=-16$.

    Hier siehst du beispielhaft die Berechnung von $f(3)$.

    Lösung

    Wenn man eine quadratische Gleichung graphisch lösen möchte, geht man wie folgt vor:

    1. Man stellt die zugehörige Funktionsgleichung auf. Dabei ist zu beachten, dass die Gleichung in der Form $=0$ vorliegen muss. Gegebenenfalls muss man die Gleichung zunächst umformen.
    2. Man erstellt eine Wertetabelle und
    3. zeichnet mit deren Hilfe den Graphen der Funktion.
    4. Die gesuchten Lösungen sind die Nullstellen des Graphen, also die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse.
    Hier geht es nun um den zweiten Punkt. Die vollständige Wertetabelle ist hier zu sehen.

    Wie erstellt man diese? Man berechnet zu jedem $x$ in der oberen Zeile durch Einsetzen in die Funktionsgleichung den zugehörigen y-Wert. Dies sei hier an einigen Beispielen vorgeführt. Wichtig ist dabei zu beachten, dass beim Potenzieren von negativen Zahlen Klammern gesetzt werden müssen.

    • $f(-5)=(-5)^2+4\cdot (-5)-5=25-20-5=0$
    • $f(-4)=(-4)^2+4\cdot (-4)-5=16-16-5=-5$
    • $f(-1)=(-1)^2+4\cdot (-1)-5=1-4-5=-8$
    • $f(0)=0^2+4\cdot 0-5=-5$
    • $f(1)=1^2+4\cdot 1-5=1+4-5=0$
    • $f(2)=2^2+4\cdot 2-5=4+8-5=7$
    Anhand der Wertetabelle kann man auch bereits die beiden Lösungen der Gleichung $x^2+4x-5=0$ ablesen. Diese sind $x_1=-5$ und $x_2=1$, da die zugehörigen Funktionswerte jeweils $0$ sind.

  • Zeige den Unterschied zwischen einer Funktionsgleichung und einer Gleichung auf.

    Tipps

    In einer Gleichung muss auf jedem Fall ein $=$-Zeichen vorhanden sein.

    Eine Gleichung kann Lösungen besitzen, eine Funktionsgleichung nicht.

    Du kannst in einer Funktionsgleichung Werte für $x$ einsetzen und erhältst Funktionswerte.

    Dies

    $\begin{array}{c|c|c|c|c} x&-1&0&1&1\\ \hline f(x)&-12&-12&-10&-6 \end{array}$

    ist eine Wertetabelle.

    Lösung

    Gesucht werden die Lösungen der Gleichung

    $x^2+x-12=0$.

    Dies ist schon einmal ein gravierender Unterschied zwischen Gleichung und Funktionsgleichung

    $f(x)=x^2+x-12$.

    Diese hat keine Lösungen. Man kann in einer Funktionsgleichung Werte für $x$ einsetzen. Dann erhält man die zu dem entsprechenden $x$ gehörenden Funktionswerte.

    Wenn man mehrere Werte für $x$ betrachtet, kann man eine Wertetabelle erstellen, mittels derer man den Graphen der Funktion, eine Parabel, zeichnen kann. Die Schnittstellen dieser Parabel mit der x-Achse sind die Nullstellen. Diese wiederum sind die Lösungen der Gleichung $x^2+x-12=0$.

  • Ermittle jeweils die Lösung der zugehörigen Gleichung.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung kann entweder keine, eine oder zwei Lösungen besitzen.

    Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese kann

    • zwei Nullstellen haben oder
    • eine, das bedeutet, dass die Parabel die x-Achse berührt, oder
    • keine.

    Du kannst jeweils die Lösungen ablesen. Diese sind die Nullstellen der Graphen.

    Lösung

    Wenn man eine quadratische Gleichung graphisch lösen möchte, geht man wie folgt vor:

    1. Man stellt die zugehörige Funktionsgleichung auf. Dabei ist zu beachten, dass die Gleichung in der Form $=0$ vorliegen muss. Gegebenenfalls muss man die Gleichung zunächst umformen.
    2. Man erstellt eine Wertetabelle und
    3. zeichnet mit deren Hilfe den Graphen der Funktion.
    4. Die gesuchten Lösungen sind die Nullstellen des Graphen, also die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse.
    In dieser Aufgabe geht es um den vierten Punkt. Wenn man bereits den Graphen der Funktion gezeichnet hat (ggf. mithilfe einer Wertetabelle), kann man die Nullstellen dieses Graphen ablesen. Dies sind die Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse. Dies geht natürlich nur dann, wenn die Nullstellen ganzzahlig sind. Bei rationalen Nullstellen wird das Ablesen sehr ungenau.

    Diese Nullstellen wiederum sind die Lösungen der zugehörigen Gleichung.

    • Die obere Parabel ist der Graph der Funktion $f(x)=x^2-4x+3$ und somit der zugehörigen Gleichung $x^2-4x+3=0$, welche die Lösungen $x_1=1$ und $x_2=3$ hat. Diese Lösungen könnten zum Beispiel auch durch Einsetzen in die Funktionsgleichung überprüft werden.
    • Die mittlere Parabel berührt die x-Achse. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet $f(x)=x^2-4x+4$, die entsprechende Gleichung ist gegeben durch $x^2-4x+4=0$. Diese besitzt nur eine Lösung, nämlich $x=2$.
    • Die untere Parabel ist der Graph der Funktion mit der Gleichung $f(x)=-x^2-2x+3$. Die zugehörige Gleichung lautet $-x^2-2x+3=0$. Die Lösungen sind $x_1=-3$ und $x_2=1$.
    Ach, übrigens: Es gibt auch Gleichungen, welche keine Lösungen haben. Der Graph der zugehörigen Funktionsgleichung schneidet die x-Achse nicht. Dies ist in der Abbildung zu erkennen. Die zugehörige Gleichung lautet: $x^2-2x+2=0$.

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