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Quadratische Funktionen – Übersicht 06:23 min

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Transkript Quadratische Funktionen – Übersicht

Hallo! Das ist ein Kurzfilm über Parabeln, über quadratische Funktionen, die Definitionen davon, Scheitelpunktform und die Verschiebung. Ich möchte das nicht weiter erklären, sondern nur kurz zusammenfassen.Wir haben eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form. Sieht folgendermaßen aus: f(x) = ax² + bx + c. Man kann für a, b und c irgendwelche Zahlen einsetzen, dann kriegt man hier den Term einer quadratischen Funktion. Dabei darf a aber nicht 0 sein. Der höchste Exponent muss 2 sein, ansonsten ist es keine quadratische Funktion. Wir können uns ein paar Beispiele dazu ansehen. Wir haben zum Beispiel: f(x) = -1/4x² + 5. Da hat man für a -1/4 eingesetzt. Für b hat man 0 eingesetzt, da wir hier keinen Term mit x sehen, keinen Summanden. Für c hat man 5 eingesetzt. Das ist eine quadratische Funktion. Es ist auch eine quadratische Funktion: f(x) = 1/4 * (x + 5)². Ja hier ist jetzt eine Klammer, die hier nicht ist. Aber man kann die Klammer auflösen und dann hat man auch eine Form, wie wir sie schon gesehen haben. Wir rechnen: 1/4 * x². Ja, wenn wir das hier, die Klammer, ausmultiplizieren, haben wir ja: x² + 10x + 25. Wenn wir das mit 1/4 multiplizieren, haben wir dann: 5/2x + 25/4. Und hier haben wir wieder diese Form. Wenn man hier für a 1/4 einsetzt, für b 5/2 und für c 25/4. Es gibt Beispiele, wie es nicht sein sollte. Ein Nicht-Beispiel schreibe ich mal hier hin. Es ist: f(x) = 1/4x + 5. Keine quadratische Funktion, weil der höchste Exponent hier nicht 2 ist, sondern 1. So kann man sich das vorstellen, es ist ja x1. Und dann ist es keine quadratische Funktion. Auch keine quadratische Funktion ist zum Beispiel: f(x) = 1/4 * x5 + 3. Der höchste Exponent ist hier eine 5. Und nicht 2 und deshalb ist es keine quadratische Funktion. Das jetzt hier übrigens 1/4 immer steht, dass ich für a immer 1/4 eingesetzt habe, das ist reine Willkür. Ich hätte auch andere Zahlen nehmen können, aber ich dachte dann ist es vielleicht ein bisschen schöner vergleichbar, man muss natürlich nicht immer 1/4 einsetzen. Die Definition der Parabel brauchen wir noch. Und die geht so: Eine Parabel ist der Graph einer quadratische Funktion. Dann gibt es noch die Scheitelpunktform beziehungsweise es gibt sogar zwei Scheitelpunktformen. Es gibt nämlich folgende Version: f(x) = a * (x + d)² + e. Dann ist der Scheitel bei S(-d; e). Also das sind die beiden Koordinaten des Scheitelpunktes. Es gibt aber auch folgende Scheitelpunktform. Nämlich: f(x) = a * (x - d)² + e. Dann ist der Scheitel bei S(d; e). Man kann beide Scheitelpunktformen verwenden, da kommt natürlich dann das Gleiche raus. Die funktionieren beide. Hier steht das Plus, da das Minus. Und da ist es umgekehrt. Wir können uns ein konkretes Beispiel ansehen für eine Funktion, die in Scheitelpunktform gegeben ist und dann können wir uns ansehen, wie man den Scheitel daran ablesen kann. Wir haben: f(x) = 2 * (x - 3)² - 4. Und der Scheitel ist dann bei S(3; -4). Minus 4 deshalb, weil hier minus 4 steht. 3 deshalb, wenn hier ein Minuszeichen steht, dann können wir diese Scheitelpunktform uns vorstellen. Dann ist hier das Minus, das d ist dann gleich 3. Und deshalb ist der Scheitel bei 3. Wir können uns noch die Lage der Parabel ansehen. Wir haben hier ein kleines Koordinatensystem. Hier könnte 3 sein und hier ungefähr ist -4. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten (3; -4), also liegt der hier. Dann können wir die Parabel einzeichnen. Ich mache das jetzt frei aus der Hand, man müsste natürlich, um eine Parabel richtig zu zeichnen auch eine Wertetabelle machen. Mache ich jetzt nicht. Nur hier kurz angedeutet. So ungefähr sieht sie aus. Weil hier eine 2 steht, ist diese Parabel hier schmaler als die Normalparabel. Ich hoffe das ist mir jetzt zeichnerisch auch gut gelungen. Und da habe ich noch den letzten Begriff gesagt, der hier noch definiert werden soll. Und zwar der Begriff Normalparabel. Wenn man für a 1 einsetzt, dann erhält man eine Normalparabel. Und manchmal wird es auch so definiert, dass man auch -1 einsetzen kann, dann ist die Parabel genauso geformt, sie ist aber dann nach unten geöffnet. Aber ich denke das brauchen wir hier nicht so genau klären, ob man da nur 1 einsetzen darf oder auch 1 und -1. Es geht letzten Endes um die Form dieser Parabel. So dann sind wir hiermit durch mit den Definitionen und Begriffen rund um die quadratische Funktionen, die Parabel, die Lage der Parabel, die Verschiebung und die Scheitelpunktform. Viel Spaß damit. Tschüss!

3 Kommentare
  1. cooles Video..Bester Tutor @Martin Wabnik

    Von Ec Mueller, vor mehr als einem Jahr
  2. Es ist mehr ein Beispiel-Video, als was es eine Übersicht ist...!!!

    Von Naomi Maya, vor etwa 2 Jahren
  3. Es sollte eventuell erwähnt werden, dass bei dem ersten Beispiel die Binomische Formel angewendet wurde. Ich weiss das sollte man eigentlich wissen, aber dafür bezahl ich ja Sofatutor....

    Von Gordana M., vor mehr als 3 Jahren

Quadratische Funktionen – Übersicht Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen – Übersicht kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was eine quadratische Funktion ist.

    Tipps

    Schau dir den Graphen oben an. Dieser gehört zu der Funktion $f(x)=x^2$.

    Es handelt sich hier um eine Normalparabel.

    Eine quadratische Funktion heißt „quadratisch“, weil der höchste Exponent 2 ist.

    Lösung

    Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form $f(x)=ax^2+bx+c$. $a, b$ und $c$ sind reelle Zahlen und es gilt $a≠0$.

    Ein Beispiel für eine quadratische Funktion ist $f(x)=\frac{1}{4}x^2+5$. Hier sind $a=\frac{1}{4},~b=0, ~c=5$. Wenn der höchste Exponent nicht 2 ist, haben wir keine quadratische Funktion. Zum Beispiel ist $f(x)=3x-4$ ist eine lineare Funktion und keine quadratische.

    Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Für $a=1$ oder $a=-1$ heißt der Graph der quadratischen Funktion „Normalparabel“.

  • Gib an, welche der Funktionen quadratische Funktionen sind.

    Tipps

    Eine quadratische Funktion heißt quadratische Funktion, da der höchste Exponent 2 ist.

    Du kannst bei einer Funktion eine binomische Formel anwenden.

    Lösung

    Eine quadratische Funktion hat die Form $f(x)=ax^2+bx+c$. Der höchste Exponent ist also 2. Das heißt: $a$ muss ungleich 0 sein, ansonsten handelt es sich nicht um eine quadratische Funktion, sondern um eine andere Funktion.

    Die folgenden Funktionen sind quadratisch:

    • $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+5$. Also ist $a=-\frac{1}{4}, ~b=0,~c=5$.
    • $f(x)=\frac{1}{4}(x+5)^2$. Durch Auflösen der Klammern mit der 2.binomischen Formel erhältst du $f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}$. Also ist $a=\frac{1}{4}, ~b=\frac{5}{2},~c=\frac{25}{4}$.
    Diese Funktionen sind nicht quadratisch
    • $f(x)=\frac{1}{4}x+5$. Hier ist der höchste Exponent 1.
    • $f(x)=\frac{1}{4}x^5+3$. Hier ist der höchste Exponent 5.

  • Forme die quadratischen Funktionen um.

    Tipps

    Den Faktor $a$ in der allgemeinen Form vor dem $x^2$ kannst du auch in der Scheitelpunktform direkt ablesen.

    Der Faktor $b$ vor dem $x$ ist immer das Produkt aus den beiden Faktoren „das Doppelte der x-Koordinate des Scheitelpunktes“ und „$a$“.

    Beachte dabei das Vorzeichen.

    Du kannst zur Kontrolle auch Funktionswerte zu einem fest gewählten x berechnen. Wenn die Funktionswerte übereinstimmen, dann gehören die Funktionsgleichungen zur gleichen quadratischen Funktion.

    Zum Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform benötigst du die 1. oder 2. binomische Formel.

    1. $(a+b)^2=a^2~+~2~a~b~+~b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2~-~2~a~b~+~b^2$
    Lösung

    Einen Term $(x±d)^2$ kannst du mit den binomischen Formeln ausmultiplizieren:

    1. $(a+b)^2=a^2~+~2~a~b~+~b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2~-~2~a~b~+~b^2$
    Wir wenden in den Aufgaben die binomischen Formeln an und berechnen die allgemeine Form der quadratischen Funktion:
    • $(x+2)^2~-3= x^2~+~4x~+~4-3=x^2~+~4x~+~1$.
    • $\frac{1}{2}~(x+1)^2-2=\frac{1}{2}~(x^2~+~2~x~+1)-2=\frac{1}{2}~x^2~+~x~+\frac{1}{2}-2=\frac{1}{2}~x^2~+~x~-\frac{3}{2}$
    • $\frac{1}{2}~(x-2)^2+1=\frac{1}{2}~(x^2~-~4x~+~4)+1=\frac{1}{2}~x^2~-~2x~+~3$
    • $(x-3)^2+1=x^2~-~6x~+~9~+~1~=x^2~-~6x~+~10$
    • $3~(x+2)^2-12=3~(x^2~+~4x~+4~)-12=3~x^2~+~12x$

  • Bestimme $a,~b$ und $c$ bei den gegebenen quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Es muss $a\neq0$ gelten, da $f$ sonst keine quadratische Funktion darstellen würde.

    Wenn kein Term mit $x$ in der Funktion vorkommt, ist $b=0$.

    Wenn kein Term ohne $x$ in der Funktion vorkommt, ist $c=0$.

    Da die allgemeine Form immer mit „$+$“ aufgeschrieben ist, gehört das Vorzeichen zu $a,~b$ oder $c$ dazu.

    In dem Beispiel oben sind $a=\frac{2}{3}$, $b=-3$ und $c=2$.

    Lösung

    Wir wollen jetzt im Einzelnen die drei Beispiele durchgehen.

    • Bei 1. $f(x)=-2~x^2+\frac{1}{2}~x$ ist $a=-2$, $b=\frac{1}{2}$ und $c=0$. Im hinteren Teil steht doch nichts. Stimmt, deshalb ist $c=0$.
    • Bei 2. $f(x)=x^2-5~x+4$ ist $a=1$, $b=-5$ und $c=4$.
    • Bei 3. $f(x)=\frac{2}{3}~x^2+7x+3$ ist $a=\frac{2}{3}$, $b=7$ und $c=3$.
    • Achte bitte immer auf die Vorzeichen.
  • Beschreibe die Scheitelpunktform und die Form der Parabel.

    Tipps

    Zur allgemeinen Darstellung in Scheitelpunktform, welche du oben sehen kannst, ist der Scheitelpunkt $S(d|e)$.

    An welchem der drei Faktoren $a, d$ oder $e$ lässt sich erkennen, ob eine Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und ob sie breiter oder schmaler als die Normalparabel ist?

    Lösung

    Die quadratische Funktion $f(x)=2(x-3)^2-4$ in Scheitelpunktform hat als Graphen eine Parabel, welche

    • ihren Scheitelpunkt in $S(3|-4)$ hat,
    • nach oben geöffnet ist, da $a=2>0$, und
    • schmaler als die Normalparabel ist, da $a=2>1$.
    Eine Normalparabel kann nach oben ($a=1$) oder unten ($a=-1$) geöffnet sein.

    Der Scheitelpunkt einer Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ ist gegeben durch $S(d|e)$. Achte bitte auf das Vorzeichen in der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

    Für $a<-1$ oder $a>1$ ist die Parabel schmaler als die Normalparabel und für $-1<a<0$ oder $0<a<1$ ist die Parabel breiter als die Normalparabel.

  • Entscheide, ob die Aussagen zur Scheitelpunktform und allgemeinen Form stimmen.

    Tipps

    Die Funktion kann in allgemeiner Form $f(x)=a~x^2~+~bx~+c$ oder Scheitelpunktform $f(x)=a~(x \pm d)^2~+~e$ gegeben sein. Der Faktor $a$ gibt bei beiden Formen an, ob eine Normalparabel $(a=\pm 1)$ oder eine Parabel vorliegt, die schmaler oder breiter als die Normalparabel vorliegt.

    Von der Scheitelpunktform kommst du zur allgemeinen Form, in dem die 1. oder 2. binomische Formel anwendest.

    Bei gegebenem Scheitelpunkt kannst du die Scheitelpunktform leicht angeben.

    Und durch Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform, erhältst du die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion.

    Wenn der Scheitelpunkt $S(-1~|~2)$ ist, dann lautet die Funktionsgleichung $f(x)=a(x+1)^2+2$ mit einem allgemeinen $a\neq 0$.

    Lösung

    Wie kannst du bei einer quadratischen Funktion in der allgemeinen Form $f(x)=a~x^2~+~bx~+c$ den Scheitelpunkt bestimmen? Das geht zum Beispiel mit der quadratischen Ergänzung. Diese ergibt sich aus den binomischen Formeln. Dadurch erhält man auch die allgemeine Formel für den Scheitelpunkt aus der Normalform: $S\left(-\frac{b}{2a} ~|~c-\frac{b^2}{4a} \right)$.

    1. Im ersten Beispiel multiplizieren wir die quadratischen Funktion in der Scheitelpunktform aus und überprüfen diese mit der angegeben Normalform.

    $ \begin{align} f(x)&=2(x-2)^2+1 \\ &=2(x^2-4x+4)+1 \\ &=2x^2-8x+8+1 \\ &=2x^2-8x+9 \neq f(x)=2x^2-4x+2 \end{align}$

    Also ist die erste Aussage nicht richtig.

    2. Beim zweiten Beispiel brauchen wir die quadratische Ergänzung noch nicht. Wir klammern aus und wenden die 2. binomische Formel an:

    $ \begin{align} f(x)&=2x^2-4x+2 \\ &=2(x^2-2x+1) \\ &=2(x-1)^2+0 \end{align}$

    Wir können jetzt den Scheitelpunkt ablesen: $S(1~|~0)$. Die Aussage ist also richtig.

    3. Die Funktion $f(x)=2x^2-4x~+2$ ist in der Normalform und $a=2$. Also ist $a\neq \pm1$. Also ist der Graph der Funktion bzw. die Parabel nicht die Normalparabel. Genauer gesagt, ist sie sogar schmaler als die Normalparabel, da $a=2>0$ gilt. Die Aussage ist also richtig.

    4. Bei dieser Funktion $f(x)=x^2+2bx+c$ müssen wir jetzt quadratisch ergänzen. Wir addieren eine $0$, in dem wir $b^2$ gleichzeitig addieren und subtrahieren. Wir erhalten:

    $ \begin{align} f(x)&=x^2+2bx+c \\ &=x^2+2bx+b^2-b^2+c \\ &=(x+b)^2-b^2+c \end{align}$

    Jetzt haben wir die Scheitelpunktform erhalten. Wir lesen die Koordinaten des Scheitelpunkts ab $S(-b^2~|~-b^2+c)$. Die Aussage ist also richtig.

    5. Bei dieser Funktion $f(x)=\frac{1}{3}x^2+x$ brauchen wir auch die quadratische Ergänzung. Er rechnen:

    $ \begin{align} f(x)&=\frac{1}{3} x^2+x \\ &=\frac{1}{3} (x^2+3x) \\ &=\frac{1}{3} \left( x^2+3x+1,5^2- 1,5^2 \right) \\ &=\frac{1}{3} \left[ \left( x+ 1,5 \right) ^2-1,5^2 \right] \\ &=\frac{1}{3} \left( x+1,5 \right) ^2 - 0,75 \end{align}$

    Wir können den Scheitelpunkt $S( -1,5~|~- 0,75)$ ablesen. Die Aussage war also nicht richtig.

    6. Aus dem Scheitelpunkt $S(1~|~1)$ kann man die folgende Scheitelpunktform mit allgemeinem $a\neq 0$ bilden:

    $ \begin{align} f(x)&=a(x-1)^2+1\\ &=a(x^2-2x+1)+1 \\ &=ax^2-2ax+a+1 \end{align}$

    Die Aussage ist also richtig.