30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Quadratische Funktionen: f(x)=x²-3

Bewertung

Ø 4.2 / 25 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
André Otto
Quadratische Funktionen: f(x)=x²-3
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Quadratische Funktionen: f(x)=x²-3

Herzlich Willkommen. Wir werden uns heute mit der quadratischen Funktion beschäftigen. Hierfür wäre es von Vorteil, wenn du die Definition einer Funktion kennst. Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung von Elementen x aus dem Definitionsbereich zu Elementen f(x) des Wertebereichs. Eine solche Abbildung wird durch einen Pfeil symbolisiert. Im folgenden Video werden wir uns mit verschiedenen Darstellungsweisen einer quadratischen Funktion beschäftigen. An einem einfachen Beispiel wird demonstriert, wie quadratische Funktionen durch Funktionsgleichung, Wertetabelle und graphisch dargestellt werden können.

Transkript Quadratische Funktionen: f(x)=x²-3

Hallo und herzlich willkommen, in diesem Video werden wir uns mit verschiedenen Darstellungsweisen einer quadratischen Funktion beschäftigen. Das Achsenkreuz links dient der Vorbereitung und schon geht es los. Wie ihr bereits schon wisst, werden bei einer Funktion, die Elemente X aus dem Definitionsbereich, den Elementen f(x) aus dem Wertebereich zugeordnet. Diese Zuordnung wird durch einen Pfeil von X nach F von X symbolisiert. Für die quadratische Beispielfunktion F soll gelten: f(x)=x²-3. Diese Darstellung der Funktion F, nennt man Funktionsgleichung. Wir werden nun für einige Werte X, die entsprechenden Werte f(x) ausrechnen. Wir beginnen mit 0. Wenn wir für X=0 einsetzen, erhalten wir 0²-3=-3. Wir wählen nun für X=1 und berechnen, f(x)= 1²-3=-2. Wir setzen nun für X=2 ein und erhalten 2²-3=1. f(x)=1. Wählen wir nun für X=-1. Oh so geht das nicht. Wir müssen schreiben, (-1)² in Klammern zum Quadrat. Wir rechnen (-1)² zum Quadrat. -3. Also 1-3 ist = -2. Wir wählen nun für X=-2 und haben hier das gleiche Problem. Wir müssen nämlich schreiben (-2)² zum Quadrat -3. Wir erhalten somit für f(x)=1. Wir wählen noch X=3 und rechnen.f(x)=3² -3, 9-3 also 6. Und zuletzt X=-3. -3 muss in Klammern stehen und wird dann quadriert. Also f(x)=(-3)² - 3 also 9-3=6. Wir haben nun die Funktionsgleichung durch Berechnung einiger Wertepaare in eine andere Form überführt. Wisst ihr wie diese Form der Darstellung heißt? Richtig, es ist eine Wertetabelle. Wir wollen nun ausgehend von der Wertetabelle die Funktion grafisch darstellen. Dafür wird das Achsenkreuz zu einem vollständigen Koordinatensystem erweitert. Wir tragen nun die Wertepaare X, F von X in das Koordinatensystem als Punkte ein. Wir beginnen mit dem Punkt 0, -3, der Punkt liegt auf der y-Achse, für Y=-3, der Punkt 1, -2 liegt etwas weiter rechts und etwas weiter höher. Der Punkt 2, 1 liegt noch weiter rechts und noch höher, habt ihr den Punkt -1, -2 gefunden? Richtig der liegt ziemlich weit unten. Links von den anderen Punkten. Wo liegt der Punkt -2, 1? Richtig er liegt weiter links und etwas höher. Der Punkt 3, 6 liegt ziemlich weit rechts und recht weit oben, habt ihr ihn entdeckt? Es bleibt noch der Punkt -3, 6, er liegt ziemlich weit links und rechts weit oben. Wir haben nun 7 Punkte in das Koordinatensystem eingezeichnet. Diese 7 Punkte kann man durch eine Kurve verbinden. Diese Kurve bezeichnet man als Graph der Funktion F. Das Symbol groß G, Index F. Fassen wir zusammen: Wir sind gestartet mit einer quadratischen Funktion F, die eine Funktionsgleichung f(x)=X²-3 hat. Aus dieser Funktionsgleichung haben wir eine Wertetabelle errechnet. Ausgehend von der Wertetabelle haben wir einige Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet und somit einen Graph der Funktion erhalten. Das war es auch schon. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit. Alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Hallo Nzilian,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  2. Durch diese erklärweise hab ichs leider nicht verstanden

    Von Nzilian, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo Detlef Romig,
    danke für diese gute Ergänzung zum Video.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  4. Wenn man für x Werte einsetzt (z.B. 0), muss es statt f(x) auch f(0) heißen.

    Von Detlef R., vor mehr als 2 Jahren
  5. Sehr gut erklärt!!! Danke, Lg Kevin

    Von Peter D., vor mehr als 7 Jahren
Mehr Kommentare

Quadratische Funktionen: f(x)=x²-3 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Funktionen: f(x)=x²-3 kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Wertetabelle für die Funktion mit der Gleichung $f(x) = x^2 -3.$

    Tipps

    Auf den Wert für $x=0$ kommst du, indem du $x$ in der Funktionsgleichung durch den Wert $0$ ersetzt:

    $f(0) = 0^2 -3 = -3$

    Es macht einen Unterschied, ob du eine negative Zahl in Klammern schreibst, bevor du sie quadrierst. Es gilt:

    • $(-2)^{2}=(-2)\cdot (-2)=4$
    • $-2^{2}=-2\cdot 2=-4$
    Beim Einsetzen in eine Funktion musst du immer die Klammer setzen.

    Schau dir ein Beispiel zur Berechnung des Funktionswertes an für $x=-4$:

    $f(-4)=(-4)^{2}-3=16-3=13$

    Lösung

    Eine Funktion ordnet jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zu. Die sich ergebenden Wertepaare kannst du dann in einem Koordinatensystem als Punkt darstellen. Die Funktionsgleichung zu der Funktion $f$ aus dieser Aufgabe lautet:

    $y=f(x)=x^{2}-3$

    Das bedeutet: Du kannst zu verschiedenen Werten für $x$ durch Einsetzen in die Funktionsgleichung $f(x)=x^{2}-3$ den zugehörigen Funktionswert berechnen.

    Das siehst du nun hier:

    • $x=-3~\rightarrow ~y=f(-3)=({-3})^{2}-3=9-3=6$
    • $x=-2~\rightarrow ~y=f(-2)=({-2})^{2}-3=4-3=1$
    • $x=-1~\rightarrow ~y=f(-1)=({-1})^{2}-3=1-3=-2$
    • $x=1~\rightarrow ~y=f(1)=1^{2}-3=1-3=-2$
    • $x=2~\rightarrow ~y=f(2)=2^{2}-3=4-3=1$
    • $x=3~\rightarrow ~y=f(3)=3^{2}-3=9-3=6$
    Diese $(x|y)$-Paare kannst du in eine Wertetabelle eintragen. Diese siehst du auf dem Bild.

  • Erstelle den Funktionsgraphen zur Funktionsgleichung $f(x) = x^2 - 3$.

    Tipps

    Weißt du noch, wie du einen Punkt in ein Koordinatensystem einträgst?

    Um den Punkt $H(-5|4)$ einzutragen, gehst du erst $5$ Einheiten nach links für $x=-5$. Dann gehst du $4$ Einheiten nach oben für $y=4$.

    Die $y$-Koordinate eines Punktes ist gegeben durch $y=f(x)$, wobei $x$ die $x$-Koordinate ist.

    Schau dir ein Beispiel an: Zu $x=4$ gehört $y=f(4)=4^2-3=16-3=13$.

    Du erhältst so den Punkt $(4|13)$ auf dem Funktionsgraphen.

    Lösung

    Du kannst die Paare $(x|y)$ aus der Wertetabelle als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Dabei ist es egal, in welcher Reihenfolge du dies tust. Es ist wichtig, dass du genügend viele Punkte einträgst. So kannst du schließlich den Funktionsgraphen genauer zeichnen.

    • In dieser Aufgabe beginnst du mit dem Punkt auf der $y$-Achse. Dieser hat die Koordinaten $(0|{-3})$.
    • Rechts von der $y$-Achse trägst du die beiden Punkte $(1|{-2})$ sowie $(2|1)$ ein.
    • Links von der $y$-Achse kannst du die beiden Punkte $(-1|{-2})$ sowie $(-2|1)$ eintragen.
    Du kannst erkennen, dass die Punkte symmetrisch zur $y$-Achse liegen. Man spricht von Achsensymmetrie.

    Abschließend kannst du die Punkte zu dem Funktionsgraphen verbinden. In diesem Beispiel ist dies eine Parabel.

  • Ermittle die Funktionswerte der Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{2}-4x$.

    Tipps

    Ersetze jeweils in der Funktionsgleichung $x$ durch den Wert, der in der Klammer steht.

    Bei negativen Werten macht es einen Unterschied, ob du eine Klammer setzt. Es gilt:

    • $(-2)^{2}=4$
    • $-2^{2}=-4$
    Beim Einsetzen in eine Funktion musst du immer eine Klammer setzen.

    Schau dir ein Beispiel an:

    $f(-3)=(-3)^{2}-4\cdot (-3)=9+12=21$

    Lösung

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}-4x$.

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

    Wenn du zu einigen Werten für $x$ die zugehörigen Funktionswerte berechnest, erhältst du Punkte $(x|y)$ bzw. $(x|f(x))$, welche du in ein Koordinatensystem eintragen kannst. Schließlich zeichnest du eine Parabel, die durch diese Punkte verläuft.

    Um die Funktionswerte zu berechnen, setzt du immer einen Wert für $x$ ein:

    • $x=-1$ führt zu $f(-1)=(-1)^{2}-4\cdot (-1)=1+4=5$.
    • $x=0$ führt zu $f(0)=0^{2}-4\cdot 0=0$.
    • $x=1$ führt zu $f(1)=1^{2}-4\cdot 1=1-4=-3$.
    • $x=2$ führt zu $f(2)=2^{2}-4\cdot 2=4-8=-4$.
    Übrigens: Der Punkt $(2|{-4})$ ist der tiefste Punkt der nach oben geöffneten Parabel. Dieser Punkt wird auch als Scheitelpunkt bezeichnet.

  • Entscheide, welche Funktionsterme zu dem abgebildeten Funktionsgraphen gehören.

    Tipps

    Prüfe, ob die zu erkennenden Punkte $(0|0)$, $(1|{-1})$ sowie $(2|0)$ auf dem Funktionsgraphen zu dem gegebenen Funktionsterm liegen können.

    Du erhältst die Funktionsgleichung, indem du vor den Term ein $f(x)=$ schreibst. Dann gilt:

    Ein Punkt $(x|y)$ liegt auf dem Funktionsgraphen der Funktion $f$, wenn gilt $y=f(x)$.

    Mit $f(x) = (x+1)^2 - 1$ gilt beispielsweise:

    • $f(0) = (0+1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
    • $f(1) = (1+1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
    Auf dem Graph dieser Funktion liegen also unter anderem die Punkte $(0|0)$ und $(1|3)$. Deshalb gehört diese Funktionsgleichung nicht zu dem abgebildeten Graphen.

    Lösung

    An dem hier abgebildeten Funktionsgraphen kannst du die beiden Punkte auf der $x$-Achse erkennen. Diese sind $(0|0)$ und $(2|0)$. Gegeben ist auch noch der Scheitelpunkt $S(1|{-1})$.

    Aus jedem der gegebenen Funktionsterme kannst du durch das Hinzufügen von $f(x)=$ eine Funktionsgleichung machen. Wenn du nun wissen willst, welche der gegebenen Funktionsterme zu diesem Funktionsgraphen gehören, setzt du die jeweilige $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung ein. Du musst dann prüfen, ob der Funktionswert der $y$-Koordinate entspricht, die in dem Punkt gegeben ist.

    Die zugehörigen Funktionsgleichungen

    Prüfe, ob $f(x)=(x-1)^{2}-1$ die zugehörige Funktionsgleichung sein kann:

    • Für $x=0$ erhältst du $y=f(0)=(0-1)^{2}-1=1-1=0$. ✓
    • Für $x=1$ erhältst du $y=f(1)=(1-1)^{2}-1=0-1=-1$. ✓
    • Für $x=2$ erhältst du $y=f(2)=(2-1)^{2}-1=1-1=0$. ✓
    Diese Funktionsgleichung gehört zu dem abgebildeten Funktionsgraphen. Du kannst nun mit der 2. binomischen Formel den Funktionsterm auf der rechten Seite umformen und erhältst damit $f(x)=x^{2}-2x+1-1=x^{2}-2x$. Also stimmt auch diese Funktionsgleichung.

    Alle übrigen Funktionsgleichungen gehören nicht zu diesem Funktionsgraphen

    • Bei $f(x)=(x+1)^{2}-1$ erhältst du für $x=2$ den Funktionswert $f(2)=(2+1)^{2}-1=9-1=8\neq 0$. Also liegt der Punkt $(2|0)$ nicht auf dem Funktionsgraphen.
    • Schaue dir nun $f(x)=x^{2}-1$ an. Zum Beispiel ist $f(0)=0^{2}-1=-1\neq 0$. Damit liegt der Punkt $(0|0)$ nicht auf dem Funktionsgraphen.
    • Ebenso kannst du zeigen, dass der Punkt $(2|0)$ nicht auf dem Funktionsgraphen zu $f(x)=x^2-x$ liegt.
    • Ebenso kannst du zeigen, dass der Punkt $(0|0)$ nicht auf dem Funktionsgraphen zu $f(x)=(x-2)^{2}$ liegt.
  • Benenne die verschiedenen Darstellungen der Funktion mit der Gleichung $f(x) = x^2 - 3.$

    Tipps

    Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, aus welcher Menge die $x$-Werte sind, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

    Hier siehst du den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^{4}$.

    Eine Funktion kann durch eine Gleichung dargestellt werden. Diese nennt man Funktiongsgleichung.

    Lösung

    Wenn du mit Funktionen zu tun hast, wirst du verschiedene Darstellungsformen kennenlernen. Eine Funktion ist eine Zuordnung. Jedem $x$ wird ein $y=f(x)$ zugeordnet.

    Zum Beispiel ist eine quadratische Funktion $f$ durch diese Gleichung gegeben:

    $f(x)=x^{2}-3$

    Dies kannst du mit Hilfe einer Zuordnung auch so ausdrücken:

    $x~\mapsto x^{2}-3$

    Diese Gleichung ist die Funktionsgleichung. Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht ein quadratischer Term. Dies ist der Funktionsterm.

    Mit Hilfe der Funktionsgleichung kannst du zu verschiedenen Werten für $x$ aus dem Definitionsbereich die zugehörigen Funktionswerte durch Einsetzen berechnen. So erhältst du $(x|y)$-Paare, die du in einer Wertetabelle darstellen kannst.

    Jedes dieser $(x|y)$-Paare stellt einen Punkt im $x$-$y$-Koordinatensystem dar. Trage nun alle Paare (Punkte) aus der Wertetabelle in ein solches Koordinatensystem ein. Nun verbindest du die Punkte miteinander und erhältst den Funktionsgraphen der Funktion. Dieser wird mit $G_{f}$ bezeichnet.

    Übrigens: Der Funktionsgraph von quadratischen Funktionen wird Parabel genannt.

  • Leite die Funktionsgleichung her.

    Tipps

    Nullstellen sind die $x$-Werte, bei denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet.

    Hier siehst du an dem Beispiel des Punktes $(-1|{-1})$ des Funktionsgraphen, wie du eine Gleichung mit $b$ und $c$ aufstellen kannst:

    • Es muss gelten: $f(-1)=-1$.
    • Das bedeutet: $(-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=-1$.
    • Du kannst die Gleichung noch vereinfachen zu $1-b+c=-1$, also $-b+c=-2$.

    Die von dir gefundenen Werte müssen die Gleichung $-b+c=-2$ erfüllen.

    Übrigens: $c$ ist der $y$-Achsenabschnitt, also die Stelle, in welcher der Funktionsgraph die $y$-Achse schneidet.

    Lösung

    Sicher wirst du in der Schule sogenannte Steckbriefaufgaben lösen müssen. Gesucht ist dabei eine Funktionsgleichung zu einem gegebenen Funktionsgraphen oder aber zu gegebenen Punkten.

    Dabei ist üblicherweise der Grad der Funktion vorgegeben.

    In diesem Beispiel weißt du bereits, dass die Funktionsgleichung diese Form hat:

    $f(x)=x^{2}+bx+c$.

    Gesucht sind also die Parameter $b$ und $c$.

    Wenn du, so wie hier, einen Funktionsgraphen gegeben hast, solltest du nur Punkte (oder Stellen) verwenden, welche du gut erkennen kannst. In diesem Beispiel sind dies die beiden Nullstellen bei $-2$ sowie $0$. Somit erhältst du die folgenden beiden Gleichungen:

    • $f(0)=0$
    • $f(-2)=0$
    Die erste Gleichung führt zu $0=0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Vereinfacht schreibst du $c=0$.

    Die zweite Gleichung führt zu $(-2)^{2}+b\cdot (-2)=4-2b=0$. Dies formst du zu $b = 2$ um.

    Schließlich lautet die Funktionsgleichung $f(x)=x^{2}+2x$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.843

Lernvideos

44.348

Übungen

38.969

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden