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Punkte auf Parabeln und Geraden

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Ø 3.9 / 10 Bewertungen

Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Punkte auf Parabeln und Geraden
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Punkte auf Parabeln und Geraden

Die Situation: Es ist eine Funktion z.B. in Form einer Funktionsgleichung und ein Punkt gegeben. Die Frage ist: Liegt der gegebenen Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion? Um das herauszufinden, setzt du die x-Koordinate des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein. Die rechte Seite der Funktionsgleichung, die kein y enthält, kannst du nun ausrechnen. Wenn das Ergebnis gleich der y-Koordinate des gegebenen Punktes ist, liegt der Punkt auf dem Graphen. Sonst nicht. Dieses Verfahren nennt man auch "Punktprobe".

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. nicht verstanden

    Von Psilva, vor mehr als 2 Jahren
  2. Dio OMMA😂

    Von Roland S., vor mehr als 3 Jahren
  3. Das ist sehr gut erklärt ! Danke ;)

    Von Der Mü, vor mehr als 4 Jahren
  4. @Olivia A.: Wenn du einen x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt, dann bekommst du den dazugehörigen y-Wert.
    Ein Beispiel: Du hast die Funktionsgleichung y=-3*x+4 und willst den Funktionswert für x=-2 wissen. Dann rechnest du y=-3*(-2)+4=10. Damit liegt der Punkt (-2|10) auf dem Graphen der angegebenen linearen Funktion.
    Bei der Punktprobe setzt du den x- und y-Wert in die Funktionsgleichung ein. Der Punkt liegt dann nur auf dem Graphen, falls du eine wahre Aussage bekommst.
    Ein Beispiel: Wir testen, ob der Punkt (-2|5) auf dem Funktionsgraphen der Funktion y=-3*x+4 liegt. Wir erhalten 5=-3*(-2)+4=10, was offensichtlich eine falsche Aussage ist. Damit liegt der Punkt (-2|5) nicht auf dem Funktionsgraphen.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 5 Jahren
  5. Das mit der Punktprobe ist mir immer noch nicht so klar bei mir... :(

    Von Olivia A., vor mehr als 5 Jahren

Punkte auf Parabeln und Geraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkte auf Parabeln und Geraden kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie du überprüfen kannst, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

    Tipps

    Auch bei Funktionsgleichungen gilt es, die gängigen Rechenregeln zu befolgen.

    Lösung

    Ein gegebener Punkt hat eine $x$- und eine $y$-Koordinate.

    Du kannst die $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und erhältst zu diesem $x$ einen zugehörigen Funktionswert $y$.

    Nun kann dieses $y$

    • die $y$-Koordinate des Punktes sein. Dann liegt der Punkt auf dem Graphen der Funktion.
    • nicht die $y$-Koordinate des Punktes sein. Dann liegt der Punkt nicht auf dem Graphen der Funktion.

  • Gib an, ob der Punkt $(-2|5)$ auf dem Graphen der Funktion $y=-3 \cdot x + 4$ liegt.

    Tipps

    Achte darauf, einen x-Wert in die Funktionsgleichung einzusetzen.

    Das Ergebnis wird ein Funktionswert sein.

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob der Punkt $(-2|5)$ auf dem Graphen der Funktion $y=-3x+4$ liegt, setzt du $x=-2$ in der Funktionsgleichung ein und erhältst

    $y=-3 \cdot (-2)+4=6+4=10$.

    Da 10 allerdings nicht gleich der $y$-Koordinate des Punktes ist, liegt der Punkt nicht auf dem Graphen der Funktion.

    Der Punkt $(-2|10)$ liegt dagegen auf dem Graphen der Funktion.

  • Entscheide, ob der Punkt auf dem Graphen liegt.

    Tipps

    Setze jeweils die $x$-Koordinate in die Funktionsgleichung ein.

    Stimmt der Funktionswert mit der $y$-Koordinate überein?

    Lösung

    Wenn du überprüfen möchtest, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, setzt du die $x$-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Stimmt der Funktionswert mit der $y$-Koordinate überein, liegt der Punkt auf dem Graphen. Andernfalls liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.

    1. $y=\frac{1}{2} \cdot x-3$ und $(4|-1)$:

    $y=\frac{1}{2}\cdot 4 -3=2-3=-1$

    Dies ist gerade die $y$-Koordinate des Punktes P. Also liegt P auf dem Graphen.

    2. $y=3-2 \cdot x$ und $(0|0)$:

    $y=3-2 \cdot 0=3≠0$

    Der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

    3. $y=\frac{3}{4} \cdot x+\frac{1}{4} \cdot $ und $(2|1,75)$:

    $y=\frac{3}{4} \cdot 2 +\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=1,75$

    Dies ist gerade die $y$-Koordinate des Punktes, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

    4. $y=2,5 \cdot x+3$ und $(-\frac{6}{5}|0)$:

    $y=2,5 \cdot (-\frac{6}{5}) +3=-3+3=0$

    Dies ist gerade die $y$-Koordinate des Punktes, also liegt der Punkt auf dem Graphen.

  • Entscheide, ob Fritz den Ball fangen kann.

    Tipps

    Du erhältst zum vorgegebenem $x$ das $y$ durch Einsetzen in der Funktionsgleichung.

    Um die Höhe des Balles zu bestimmen, wenn der Ball bei Fritz ist, muss für $x$ der Wert $3$ eingesetzt werden.

    Fritz kann den Ball nur fangen, wenn der Ball eine Höhe von maximal $2,3$ m hat.

    Lösung

    $x$ ist die Entfernung zu Paul, also steht Paul bei $x=0$ und Fritz bei $x=2,5$, alle Angaben in m.

    • Die Abwurfhöhe ist $y=-\frac{1}{2} \cdot 0^2+2 \cdot 0+2=2$ m.
    • Bei Fritz ($x=3$) hat der Ball die Höhe $y=-\frac{1}{2} \cdot 3^2+2\cdot 3+2=3,5$ m erreicht. Das heißt, dass Fritz den Ball nicht fangen kann, ohne zu springen.
  • Ergänze die Rechnung, mit welcher du überprüfst, ob der Punkt $(2|1)$ auf dem Graphen der Funktion $y=x^2+2x+1$ liegt.

    Tipps

    Beachte, dass beim Berechnen des Funktionswertes zunächst die Potenzen, dann die Produkte und Quotienten, und am Ende die Summen und Differenzen berechnet werden.

    Du kannst die Parabel auch in ein Koordinatensystem zeichnen, um die Lage des Punktes $(2|1)$ zu überprüfen.

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, setzt du die $x$-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

    In diesem Beispiel ist der Punkt $(2|1)$ und die Funktionsgleichung $y=x^2+2x+1$.

    Also lautet der Term nun $y=2^2+2\cdot2+1=4+4+1=9$.

    Dies ist aber nicht die $y$-Koordinate des Punktes. Also liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.

    Dagegen liegt der Punkt $(2|9)$ auf dem Funktionsgraphen.

  • Bestimme die fehlenden Koordinaten und Parameter.

    Tipps

    Wenn die $y$-Koordinate fehlt, musst du die $x$-Koordinate einsetzen.

    Wenn die $x$-Koordinate fehlt, musst du eine Gleichung lösen, bei linearen Funktionen eine lineare, bei quadratischen eine quadratische.

    Wenn ein Parameter der Funktionsgleichung fehlt, ändert sich für dich nichts in der Herangehensweise. Auch hier muss eine lineare Gleichung gelöst werden.

    Lösung

    Wenn ein Punkt vorgegeben ist, und du überprüfen willst, ob er auf dem Graphen einer Funktion liegt, setzt du die $x$-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

    • Erhältst du als Funktionswert die $y$-Koordinate des Punktes, so liegt der Punkt auf dem Graphen.
    • Andernfalls liegt der Punkt nicht auf dem Graphen.
    In dieser Aufgabe gilt es, die fehlenden Koordinaten zu bestimmen. Das Vorgehen ist dabei ähnlich.

    • $y=x^2$ und der Punkt $(x|4)$. Was musst du für $x$ einsetzen, um den Funktionswert $y=4$ zu erhalten? Dafür setzt du $4=x^2$, da du ja den geforderten Funktionswert besitzt, und ziehst dann die Wurzel, welche ein positives und ein negatives Ergebnis zur Folge hat. Hier gäbe es also zwei Lösungen $x_1=2$ und $x_2=-2$ und daraus die Punkte $(-2|4)$ und $(2|4)$.
    • Um die Funktion $y=-x+3$ und den Punkt $P(3|y)$ zu überprüfen, stellen wir die Gleichung $y=-3+3=0$ auf. Der gesuchte Punkt ist also $(3|0)$.
    • $y=4x+n$ und hier fehlt der Rest unserer Funktionsgleichung. Wie muss dieser gewählt werden, damit der Punkt $(1|1)$ auf dem Graphen liegt? Dazu stellen wir die Gleichung $1=4 \cdot 1+n$ auf, welche wir nach n auflösen. Es ergeben sich $n=-3$ und die Gleichung $y=4x-3$.
    • $y=2x^2-4$ und der Punkt $(x|-2)$. Es ist eine quadratische Gleichung zu lösen. Dazu stellen wir $-2=2x^2-4$ soweit um, dass sich die Wurzel ziehen lässt. Die beiden Ergebnisse sind daher $x_{1,2}=\pm 1$. Die Punkte heißen dann $(-1|-2)$ und $(1|-2)$.
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