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Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik

Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit

Alle proportionalen Funktionen haben einiges gemeinsam, z.B. auch die Quotientengleichheit. In diesem Video sehen wir, was das ist. Wie wir sehen werden, ist die Quotientengleichheit nicht einfach nur so da, sondern sie ist das, was wir z.B. beim Brötchenkauf als fair empfinden. Rein rechnerisch kriegen wir die Quotientengleichheit sehr schnell geliefert: Wir brauchen nur eine einzige Gleichungsumformung.

Transkript Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit

Hi. Proportionale Zuordnungen haben eine Eigenschaft, nämlich die Quotientengleichheit. Wir schauen uns zunächst an, was das ist, dann, was das Ganze mit dem Kauf von Brötchen zu tun hat, und dann sehen wir uns noch die proportionalen Funktionen an. Da bekommen wir dann die Quotientengleichheit mit nur einer einzigen Gleichungsumformung. Los geht's! Wir haben eine Zuordnung, z.B. können wir der Zahl fünf die Zahl 1,5 zuordnen, einfach so. Wir können auch der Zahl eins eine weitere Zahl zuordnen und wenn das hier jetzt eine proportionale Zuordnung werden soll, können wir folgendermaßen vorgehen: Wir überlegen uns, wie sind wir von der fünf auf die eins gekommen? Wir haben durch fünf geteilt. Dann, damit es eine proportionale Zuordnung wird, müssen wird das auf der anderen Seite auch machen, wir teilen auch durch fünf und landen bei 0,3. Wir haben hier also die Situation, je weniger hier ist, desto weniger ist auch auf der anderen Seite. Wir können nun diese Seite hier mit sieben multiplizieren und damit es eine proportionale Zuordnung ist, müssen wir das dann auch auf der anderen Seite machen, ja, hier haben wir jetzt je mehr desto mehr. Der sieben wird dann die Zahl 2,1 zugeordnet. Wir können diese fünf auch einfach verdoppeln, also mit zwei multiplizieren, dann erhalten wir zehn. Das können wir dann auf der Seite auch machen, mal zwei und wir erhalten drei. Wir können jetzt die Zahlen teilen. Wir können z.B. diese Zahlen immer durch diese teilen also 1,5/5=0,3; 0,3/1=0,3; 2,1/7=0,3; 3/10=0,3. So und du hast festgestellt, ja, dass hier jetzt überall das gleiche Ergebnis herauskommt, das ist bei proportionalen Zuordnungen immer so, und diese Tatsache, also das hier immer das gleiche Ergebnis herauskommt, diese Tatsache heißt Quotientengleichheit. Und jetzt kommen die Brötchen ins Spiel. Wenn wir ein Brötchen haben, dann kostet das Beispielsweise 30 Cent, wenn wir die dreifache Menge an Brötchen kaufen wollen, müssen wir den dreifachen Preis bezahlen und das sind dann 90 Cent. Wir können diese 90 Cent durch die Anzahl der Brötchen teilen und sind dann wieder bei dem Preis für ein Brötchen, nämlich  bei 30 Cent. Wir können das auch mit mehr Brötchen machen, zum Beispiel können wir das mit sechs Brötchen machen. Dann müssen wir sechsmal 30 Cent bezahlen, ja, das sind insgesamt 1,80 Euro und wenn wir diesen Preis jetzt durch die Anzahl der Brötchen teilen, sind wir wieder bei dem Preis für ein Brötchen und wieder bei 30 Cent. Diese Tatsache nennt man auch Quotientengleichheit. Wir können das auch mit noch mehr Brötchen machen, z.B. mit zehn Brötchen, ja, zehn Brötchen kosten dann das zehnache eines Brötchens. Das sind drei Euro. Wenn wir diese drei Euro wieder durch die Anzahl der Brötchen teilen, also durch zehn, sind wir bei dem Preis für ein Brötchen und das sind 30 Cent. Und jetzt wirds gemütlich. Eine proportionale Funktion hat die Funktionsgleichung y=m*x. Wir können hier auf beiden Seiten durch x teilen, falls x ungleich null ist. Dann erhalten wir y/x=m. Das bedeutet, egal welche Wertepaare wir hier einsetzen, außer natürlich x=0, es kommt immer m raus, also immer das gleiche Ergebnis, und diese Tatsache nennt sich Quotientengleichheit. Wir haben auf drei Ebenen gesehen, was Quotientengleichheit ist, ganz konkret Brötchenpreise, proportionale Zuordnung, proportionale Funktion. Wobei die letzte Ebene die entspannteste war. Und das ist ein Grund für Abstraktion in der Mathematik, dann wird vieles einfacher. Tschau.

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Das mit den Brötchen war ein gutes Beispiel :)

    Von Lianakatze, vor etwa einem Monat
  2. Gutes Video! Habe das Thema jetzt verstanden! 🤠

    Von Schmitt Hollenberg, vor 7 Monaten
  3. ④ter Platz

    Von Yiren Y., vor etwa einem Jahr
  4. ja, ich fand es auch sehr gut erklärt, und habe jz auch alles verstanden!

    Von Mia G., vor etwa einem Jahr
  5. Ich fande es gut doch bei den Brötchen hättest du langsamer reden sollen.

    Von Kristian L., vor mehr als einem Jahr
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Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die fehlenden Werte der proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Eine proportionale Zuordnung hat die Eigenschaft „je mehr, desto mehr“ beziehungsweise „je weniger, desto weniger“.

    Schau dir folgendes Beispiel einer proportionalen Zuordnung an:

    $ \begin{array}{cccc} & 3 & \rightarrow & 1 \\ & 6 & \rightarrow & 2 \\ & 1,5 & \rightarrow & 0,5 \end{array} $

    Um von $3$ auf $6$ zu kommen, multiplizierst du mit $2$. Also musst du auch die $1$ mit $2$ multiplizieren.

    Lösung

    Eine proportionale Zuordnung besitzt die Eigenschaft „je mehr, desto mehr“ beziehungsweise „je weniger, desto weniger“. Somit erhalten wir die weiteren Werte dieser Zuordnung, indem wir ein Wertepaar mit derselben Zahl multiplizieren beziehungsweise durch dieselbe Zahl teilen.

    Wir betrachten folgende proportionale Zuordnung:

    $5\rightarrow 1,5$.

    Um von der $5$ zu der $1$ zu gelangen, dividieren wir $5$ durch $5$. Also müssen wir auch $1,5$ durch $5$ dividieren. So erhalten wir die Einträge der nächsten Zeile:

    $ \begin{array}{cccc} 1 & \rightarrow & 0,3 \end{array} $

    Von der $1$ können wir nun sehr einfach weiterrechnen. Wir multiplizieren für die nächste Zeile $0,3$ mit $7$. Anschließend multiplizieren wir $0,3$ mit $10$ und erhalten den Eintrag der letzten Zeile:

    $ \begin{array}{cccc} 7 & \rightarrow & 2,1 \\ 10 & \rightarrow & 3 \end{array} $

    Nun bilden wir den folgenden Quotienten:

    $\frac{1,5}{5}=0,3$.

    Zudem können wir folgenden Zusammenhang feststellen:

    $\frac{1,5}{5}=\frac{0,3}{1}=\frac{2,1}{7}=\frac{3}{10}=0,3$.

    Diese Eigenschaft von proportionalen Zuordnungen nennt man Quotientengleichheit.

  • Gib die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion sowie deren Eigenschaft an.

    Tipps

    Eine Division durch null ist nicht möglich.

    Stellst du die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion nach $m$ um, so erhältst du folgende Gleichung:

    • $m=\frac yx$.
    Diese kannst du wieder nach $y$ umstellen, indem du beide Seiten der Gleichung mit $x$ multiplizierst. So erhältst du wieder die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion.

    Lösung

    Wir betrachten nun die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion. Diese lautet:

    $\begin{array}{ll} & y=mx \end{array}$

    Wir können nun beide Seiten der Gleichung unter der Bedingung $x\neq 0$ durch $x$ dividieren und erhalten:

    $\begin{array}{lllll} & y & = & mx & \vert :x \\ & \frac yx & = & m & \end{array}$

    Dieser Quotient ist für alle $x\neq 0$ konstant. Diese Eigenschaft proportionaler Funktionen nennt man Quotientengleichheit.

  • Ermittle die fehlenden Strecken ausgehend von einer proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Du gehst von folgendem Wertepaar aus:

    • $3$ Stunden $\rightarrow$ $240$ Kilometer
    Möchtest du die Strecke für $2$ Stunden berechnen, so ist es sinnvoll, zunächst die Strecke für eine Stunde zu bestimmen. Dazu teilst du beide Zahlen durch $3$. Es folgt dann:

    • $1$ Stunde $\rightarrow$ $80$ Kilometer.
    Nun kannst du dieses Wertepaar mit $2$ multiplizieren und erhältst so die Strecke für zwei Stunden.

    Die gegebene proportionale Zuordnung wird durch folgende Gleichung beschrieben:

    • $y=80\cdot x$.
    Dabei steht $x$ für die Zeit und $y$ für die Strecke.

    Lösung

    Im Folgenden betrachten wir eine proportionale Zuordnung. Dabei gehen wir von folgendem Wertepaar aus:

    • $3$ Stunden $\rightarrow$ $240$ Kilometer.
    Für die Berechnung der weiteren Strecken ist es sinnvoll, zunächst die Strecke für eine Stunde zu bestimmen. Dazu teilen wir beide Zahlen durch $3$. Es folgt dann:

    • $1$ Stunde $\rightarrow$ $80$ Kilometer.
    Nun kannst du dieses Wertepaar mit $2$ multiplizieren und erhältst so die Strecke für zwei Stunden. Genauso gehst du auch bei den anderen Zeiten vor. So erhältst du folgende Strecken:

    $\begin{array}{cc|c} & \text{Zeit in Stunden} & \text{Strecke in Kilometern} \\ \hline & 2 & 160 \\ & 4 & 320 \\ & 8 & 640 \\ & 0,25 & 20 \end{array}$

  • Prüfe, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

    Tipps

    Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor.

    Du kannst Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem du wie folgt die Quotienten der Wertepaare bildest:

    $ \begin{array}{ccc|c} x && y & \frac yx \\ \hline 0,1 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,1}=40 \\ 0,3 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,3}=40\\ 0,2 & \rightarrow & 8 & \frac 8{0,2}=40 \end{array} $

    Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt.

    Lösung

    Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor. Wir können Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem wir die Quotienten der Wertepaare bilden. So erhalten wir folgende Lösungen:

    Beispiel 1

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 3 & \rightarrow & 8 & \frac 83\approx 2,67 \\ 2 & \rightarrow & 7 & \frac 72=3,5\\ 1 & \rightarrow & 6 & \frac 61=6 \end{array} $

    Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

    Beispiel 2

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 0,2 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,2}=20 \\ 0,6 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,6}=20\\ 0,1 & \rightarrow & 2 & \frac 2{0,1}=20 \end{array} $

    Da hier Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung.

    Beispiel 3

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 12 & \rightarrow & 4 & \frac 4{12}=\frac 13 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \\ 6 & \rightarrow & 2 & \frac 26=\frac 13 \end{array} $

    Da hier Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung.

    Beispiel 4

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 1 & \rightarrow & 3 & \frac 31=3 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac 22=1 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \end{array} $

    Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

  • Bestimme die fehlenden Preise.

    Tipps

    Es handelt sich hierbei um eine proportionale Zuordnung. Diese hat die Eigenschaft „je mehr, desto mehr“ oder auch „je weniger, desto weniger“. Das bedeutet, dass du die Zahlen eines Wertepaars jeweils mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst.

    Um von einem Brötchen auf $3$ Brötchen zu kommen, multiplizierst du die $1$ mit $3$. Also musst du auch den Preis mit $3$ multiplizieren.

    Lösung

    Im Folgenden vervollständigen wir die gegebene Preistabelle. Dabei gehen wir von einer proportionalen Zuordnung aus. Wir erhalten:

    $\begin{array}{cccc} & 1 & \rightarrow & 0,30\ € \\ & 3 & \rightarrow & 0,90\ € \\ & 6 & \rightarrow & 1,80\ € \\ & 10 & \rightarrow & 3,00\ € \\ \end{array}$

    Um den Preis der zweiten Zeile zu erhalten, multiplizieren wir den Preis für ein Brötchen mit $3$. So erhalten wir $3\cdot 0,30\ €=0,90\ €$.

    Die dritte Zeile erhalten wir, indem wir entweder die erste Zeile mit $6$ oder die zweite Zeile mit $2$ multiplizieren. Es folgt: $6\cdot 0,30\ €=1,80\ €$ oder $2\cdot 0,90\ €=1,80\ €$.

    Um den Preis der vierten Zeile zu erhalten, multiplizieren wir den Preis für ein Brötchen mit $10$. So erhalten wir $10\cdot 0,30\ €=3,00\ €$.

  • Ordne den proportionalen Zuordnungen die zugehörige Funktionsgleichung zu.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet wie folgt:

    • $y=mx$.

    Um die Größe $m$ in der allgemeinen Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion zu bestimmen, rechnest du:

    • $m=\frac yx$.

    Wähle für jede Zuordnung je ein Wertepaar $x$ und $y$ und bestimme $m$.

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet wie folgt:

    • $y=mx$.
    Um die Größe $m$ in der allgemeinen Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion zu bestimmen, stellen wir die Gleichung nach dieser Größe um. Wir erhalten dann folgende Gleichung:

    • $m=\frac yx$.
    Nun wählen wir für jede Zuordnung je ein Wertepaar $x$ und $y$ und bestimmen $m$. Dann erhalten wir folgende Lösungen:

    Beispiel 1

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 0,2 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,2}=20 \\ 0,6 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,6}=20 \end{array} $

    Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=20x$ zuordnen.

    Beispiel 2

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 12 & \rightarrow & 4 & \frac 4{12}=\frac 13 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \end{array} $

    Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=\frac 13 x$ zuordnen.

    Beispiel 3

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 5 & \rightarrow & 10 & \frac {10}{5}=2 \\ 15 & \rightarrow & 30 & \frac {30}{15}=2 \end{array} $

    Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=2x$ zuordnen.

    Beispiel 4

    $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 0,4 & \rightarrow & 2 & \frac {2}{0,4}=5 \\ 0,2 & \rightarrow & 1 & \frac {1}{0,2}=5 \end{array} $

    Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=5x$ zuordnen.

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