Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit

Proportionale Funktionen – Quotientengleichheit Übung

• Berechne die fehlenden Werte der proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Eine proportionale Zuordnung hat die Eigenschaft „je mehr, desto mehr“ beziehungsweise „je weniger, desto weniger“.

  Schau dir folgendes Beispiel einer proportionalen Zuordnung an:

  $ \begin{array}{cccc} & 3 & \rightarrow & 1 \\ & 6 & \rightarrow & 2 \\ & 1,5 & \rightarrow & 0,5 \end{array} $

  Um von $3$ auf $6$ zu kommen, multiplizierst du mit $2$. Also musst du auch die $1$ mit $2$ multiplizieren.

  Lösung

  Eine proportionale Zuordnung besitzt die Eigenschaft „je mehr, desto mehr“ beziehungsweise „je weniger, desto weniger“. Somit erhalten wir die weiteren Werte dieser Zuordnung, indem wir ein Wertepaar mit derselben Zahl multiplizieren beziehungsweise durch dieselbe Zahl teilen.

  Wir betrachten folgende proportionale Zuordnung:

  $5\rightarrow 1,5$.

  Um von der $5$ zu der $1$ zu gelangen, dividieren wir $5$ durch $5$. Also müssen wir auch $1,5$ durch $5$ dividieren. So erhalten wir die Einträge der nächsten Zeile:

  $ \begin{array}{cccc} 1 & \rightarrow & 0,3 \end{array} $

  Von der $1$ können wir nun sehr einfach weiterrechnen. Wir multiplizieren für die nächste Zeile $0,3$ mit $7$. Anschließend multiplizieren wir $0,3$ mit $10$ und erhalten den Eintrag der letzten Zeile:

  $ \begin{array}{cccc} 7 & \rightarrow & 2,1 \\ 10 & \rightarrow & 3 \end{array} $

  Nun bilden wir den folgenden Quotienten:

  $\frac{1,5}{5}=0,3$.

  Zudem können wir folgenden Zusammenhang feststellen:

  $\frac{1,5}{5}=\frac{0,3}{1}=\frac{2,1}{7}=\frac{3}{10}=0,3$.

  Diese Eigenschaft von proportionalen Zuordnungen nennt man Quotientengleichheit.

• Gib die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion sowie deren Eigenschaft an.

  Tipps

  Eine Division durch null ist nicht möglich.

  Stellst du die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion nach $m$ um, so erhältst du folgende Gleichung:

  • $m=\frac yx$.

  Diese kannst du wieder nach $y$ umstellen, indem du beide Seiten der Gleichung mit $x$ multiplizierst. So erhältst du wieder die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion.

  Lösung

  Wir betrachten nun die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion. Diese lautet:

  $\begin{array}{ll} & y=mx \end{array}$

  Wir können nun beide Seiten der Gleichung unter der Bedingung $x\neq 0$ durch $x$ dividieren und erhalten:

  $\begin{array}{lllll} & y & = & mx & \vert :x \\ & \frac yx & = & m & \end{array}$

  Dieser Quotient ist für alle $x\neq 0$ konstant. Diese Eigenschaft proportionaler Funktionen nennt man Quotientengleichheit.

• Ermittle die fehlenden Strecken ausgehend von einer proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Du gehst von folgendem Wertepaar aus:

  • $3$ Stunden $\rightarrow$ $240$ Kilometer

  Möchtest du die Strecke für $2$ Stunden berechnen, so ist es sinnvoll, zunächst die Strecke für eine Stunde zu bestimmen. Dazu teilst du beide Zahlen durch $3$. Es folgt dann:

  • $1$ Stunde $\rightarrow$ $80$ Kilometer.

  Nun kannst du dieses Wertepaar mit $2$ multiplizieren und erhältst so die Strecke für zwei Stunden.

  Die gegebene proportionale Zuordnung wird durch folgende Gleichung beschrieben:

  • $y=80\cdot x$.

  Dabei steht $x$ für die Zeit und $y$ für die Strecke.

  Lösung

  Im Folgenden betrachten wir eine proportionale Zuordnung. Dabei gehen wir von folgendem Wertepaar aus:

  • $3$ Stunden $\rightarrow$ $240$ Kilometer.

  Für die Berechnung der weiteren Strecken ist es sinnvoll, zunächst die Strecke für eine Stunde zu bestimmen. Dazu teilen wir beide Zahlen durch $3$. Es folgt dann:

  • $1$ Stunde $\rightarrow$ $80$ Kilometer.

  Nun kannst du dieses Wertepaar mit $2$ multiplizieren und erhältst so die Strecke für zwei Stunden. Genauso gehst du auch bei den anderen Zeiten vor. So erhältst du folgende Strecken:

  $\begin{array}{cc|c} & \text{Zeit in Stunden} & \text{Strecke in Kilometern} \\ \hline & 2 & 160 \\ & 4 & 320 \\ & 8 & 640 \\ & 0,25 & 20 \end{array}$

• Prüfe, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

  Tipps

  Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor.

  Du kannst Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem du wie folgt die Quotienten der Wertepaare bildest:

  $ \begin{array}{ccc|c} x && y & \frac yx \\ \hline 0,1 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,1}=40 \\ 0,3 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,3}=40\\ 0,2 & \rightarrow & 8 & \frac 8{0,2}=40 \end{array} $

  Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt.

  Lösung

  Ist eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor. Wir können Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem wir die Quotienten der Wertepaare bilden. So erhalten wir folgende Lösungen:

  Beispiel 1

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 3 & \rightarrow & 8 & \frac 83\approx 2,67 \\ 2 & \rightarrow & 7 & \frac 72=3,5\\ 1 & \rightarrow & 6 & \frac 61=6 \end{array} $

  Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

  Beispiel 2

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 0,2 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,2}=20 \\ 0,6 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,6}=20\\ 0,1 & \rightarrow & 2 & \frac 2{0,1}=20 \end{array} $

  Da hier Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung.

  Beispiel 3

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 12 & \rightarrow & 4 & \frac 4{12}=\frac 13 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \\ 6 & \rightarrow & 2 & \frac 26=\frac 13 \end{array} $

  Da hier Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung.

  Beispiel 4

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 1 & \rightarrow & 3 & \frac 31=3 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac 22=1 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \end{array} $

  Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.

• Bestimme die fehlenden Preise.

  Tipps

  Es handelt sich hierbei um eine proportionale Zuordnung. Diese hat die Eigenschaft „je mehr, desto mehr“ oder auch „je weniger, desto weniger“. Das bedeutet, dass du die Zahlen eines Wertepaars jeweils mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst.

  Um von einem Brötchen auf $3$ Brötchen zu kommen, multiplizierst du die $1$ mit $3$. Also musst du auch den Preis mit $3$ multiplizieren.

  Lösung

  Im Folgenden vervollständigen wir die gegebene Preistabelle. Dabei gehen wir von einer proportionalen Zuordnung aus. Wir erhalten:

  $\begin{array}{cccc} & 1 & \rightarrow & 0,30\ € \\ & 3 & \rightarrow & 0,90\ € \\ & 6 & \rightarrow & 1,80\ € \\ & 10 & \rightarrow & 3,00\ € \\ \end{array}$

  Um den Preis der zweiten Zeile zu erhalten, multiplizieren wir den Preis für ein Brötchen mit $3$. So erhalten wir $3\cdot 0,30\ €=0,90\ €$.

  Die dritte Zeile erhalten wir, indem wir entweder die erste Zeile mit $6$ oder die zweite Zeile mit $2$ multiplizieren. Es folgt: $6\cdot 0,30\ €=1,80\ €$ oder $2\cdot 0,90\ €=1,80\ €$.

  Um den Preis der vierten Zeile zu erhalten, multiplizieren wir den Preis für ein Brötchen mit $10$. So erhalten wir $10\cdot 0,30\ €=3,00\ €$.

• Ordne den proportionalen Zuordnungen die zugehörige Funktionsgleichung zu.

  Tipps

  Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet wie folgt:

  • $y=mx$.

  Um die Größe $m$ in der allgemeinen Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion zu bestimmen, rechnest du:

  • $m=\frac yx$.

  Wähle für jede Zuordnung je ein Wertepaar $x$ und $y$ und bestimme $m$.

  Lösung

  Die allgemeine Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion lautet wie folgt:

  • $y=mx$.

  Um die Größe $m$ in der allgemeinen Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion zu bestimmen, stellen wir die Gleichung nach dieser Größe um. Wir erhalten dann folgende Gleichung:

  • $m=\frac yx$.

  Nun wählen wir für jede Zuordnung je ein Wertepaar $x$ und $y$ und bestimmen $m$. Dann erhalten wir folgende Lösungen:

  Beispiel 1

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 0,2 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,2}=20 \\ 0,6 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,6}=20 \end{array} $

  Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=20x$ zuordnen.

  Beispiel 2

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 12 & \rightarrow & 4 & \frac 4{12}=\frac 13 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \end{array} $

  Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=\frac 13 x$ zuordnen.

  Beispiel 3

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 5 & \rightarrow & 10 & \frac {10}{5}=2 \\ 15 & \rightarrow & 30 & \frac {30}{15}=2 \end{array} $

  Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=2x$ zuordnen.

  Beispiel 4

  $ \begin{array}{lll|l} x && y & m=\frac yx \\ \hline 0,4 & \rightarrow & 2 & \frac {2}{0,4}=5 \\ 0,2 & \rightarrow & 1 & \frac {1}{0,2}=5 \end{array} $

  Somit können wir dieser proportionalen Zuordnung die Funktionsgleichung $y=5x$ zuordnen.