Proportionale Funktionen - Eigenschaften

Proportionale Funktionen - Eigenschaften Übung

• Beschreibe die Eigenschaften proportionaler Funktionen.

  Tipps

  Folgende Funktionen sind proportionale Funktionen:

  • $y=3x$
  • $y=-x$
  • $y=0,5x$

  Dieser Funktionsgraph hat die Funktionsgleichung $y=-2x+2$ und ist keine proportionale Funktion.

  Lösung

  Eine proportionale Funktion ist eine Funktion, die folgende Form hat: $~y=mx$

  Demnach sind folgende Funktionen proportionale Funktionen:

  • $y=3x$
  • $y=-x$
  • $y=0,5x$

  Der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Nullpunkt $(0\vert 0)$ verläuft.

  Es gilt auch die Umkehrung dieser Eigenschaft. Demnach ist eine Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft, der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion.

  Die hier abgebildete Gerade gehört zu der proportionalen Funktion $y=2x$.

• Bestimme die Graphen der proportionalen Funktionen.

  Tipps

  Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft.

  Eine proportionale Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form $y=mx$. Für die Steigung $m$ gilt:

  • $m>0$: steigende Gerade
  • $m<0$: fallende Gerade

  Lösung

  Eine proportionale Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form $y=mx$. Für die Steigung $m$ gilt:

  • $m>0$: steigende Gerade
  • $m<0$: fallende Gerade

  Der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Nullpunkt $(0\vert 0)$ verläuft.

  Wir können den Funktionsgleichungen folgende Geraden zuordnen:

  Beispiel 1: $~y=2x$

  Es handelt sich hierbei um eine steigende Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft. Ein weiterer Punkt dieser Geraden ist zum Beispiel $(1\vert 2)$. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir $x=1$ in die Gleichung einsetzen: $~y=2\cdot 1=2$. Also ist der zugehörige Funktionsgraph die violette Gerade.

  Beispiel 2: $~y=-0,5x$

  Es handelt sich hierbei um eine fallende Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft. Ein weiterer Punkt dieser Geraden ist zum Beispiel $(1\vert -0,5)$. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir $x=1$ in die Gleichung einsetzen: $~y=-0,5\cdot 1=-0,5$. Also ist der zugehörige Funktionsgraph die rote Gerade.

  Beispiel 3: $~y=\frac 12 x$

  Es handelt sich hierbei um eine steigende Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft. Ein weiterer Punkt dieser Geraden ist zum Beispiel $(1\vert 0,5)$. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir $x=1$ in die Gleichung einsetzen: $~y=0,5\cdot 1=0,5$. Also ist der zugehörige Funktionsgraph die gelbe Gerade.

  Beispiel 4: $~y=-x$

  Es handelt sich hierbei um eine fallende Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft. Ein weiterer Punkt dieser Geraden ist zum Beispiel $(1\vert -1)$. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir $x=1$ in die Gleichung einsetzen: $~y=-1$. Also ist der zugehörige Funktionsgraph die dunkelblaue Gerade.

• Erschließe die Funktionsgleichungen der Graphen proportionaler Funktionen.

  Tipps

  Du kannst in die Funktionsgleichungen jeweils den Wert $x=1$ einsetzen und den zugehörigen Funktionswert berechnen. So hast du für jede Funktionsgleichung jeweils zwei Punkte, nämlich $(0\vert 0)$ und $(1\vert y)$ und kannst überprüfen, welche Gerade durch diese beiden Punkte verläuft.

  Je nach dem Vorzeichen von $m$ in der Gleichung $y=m\cdot x$ ist die Gerade steigend $m>0$ oder fallend $m<0$.

  Lösung

  Wir setzen in die Funktionsgleichungen jeweils den Wert $x=1$ ein und berechnen den zugehörigen Funktionswert. So haben wir für jede Funktionsgleichung jeweils zwei Punkte, nämlich $(0\vert 0)$ und $(1\vert y)$ und können überprüfen, welche Gerade durch diese beiden Punkte verläuft.

  Folgende Graphen sind abgebildet:

  Beispiel 1 $~y=-2x$

  • $y=-2\cdot 1=-2\quad\rightarrow\quad (1\vert -2)$

  Die zugehörige Gerade ist fallend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert -2)$.

  Beispiel 2 $~y=-\frac 12x$

  • $y=-\frac 12\cdot 1=-\frac 12\quad\rightarrow\quad (1\vert -\frac 12)$

  Die zugehörige Gerade ist fallend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert -\frac 12)$.

  Beispiel 3 $~y=3x$

  • $y=3\cdot 1=3\quad\rightarrow\quad (1\vert 3)$

  Die zugehörige Gerade ist steigend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert 3)$.

  Beispiel 4 $~y=\frac 13x$

  • $y=\frac 13\cdot 1=\frac 13\quad\rightarrow\quad (1\vert \frac 13)$

  Die zugehörige Gerade ist steigend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert \frac 13)$.

  Nicht zutreffende Beispiele

  Für die folgenden Funktionsgleichungen gibt es keine passenden Graphen:

  • $y=-3x$: Die zugehörige Gerade ist fallend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert -3)$.

  • $y=2x$: Die zugehörige Gerade ist steigend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert 2)$.

  • $y=-\frac 13 x$: Die zugehörige Gerade ist fallend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert -\frac 13)$.

  • $y=\frac 12 x$: Die zugehörige Gerade ist steigend und verläuft durch $(0\vert 0)$ und $(1\vert \frac 12)$.

• Ermittle, welche Gleichungen zu proportionalen Funktionen gehören.

  Tipps

  Vereinfache die Funktionsterme so weit wie möglich und überprüfe, ob die so erhaltenen Funktionsgleichungen die Form $y=mx$ haben.

  Fasse gleichartige Terme zusammen.

  Das Distributivgesetzt lautet wie folgt:

  • $a(b+c)=ab+ac$

  Lösung

  Wir vereinfachen die Funktionsterme so weit wie möglich und überprüfen, ob die so erhaltenen Funktionsgleichungen die Form $y=mx$ haben. Hierzu fassen wir gleichartige Terme zusammen und wenden Rechengesetze an, wie beispielsweise das Distributivgesetz an. So erhalten wir:

  $y=3(x+1)-3=3x+3-3=3x$

  • Es handelt sich um eine proportionale Funktion, denn $f(x)=3x$ beschreibt eine Gerade durch den Nullpunkt $(0|0)$ (siehe Bild).

  $y=3(x+2)-3=3x+6-3=3x+3$

  • Es handelt sich um keine proportionale Funktion, da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht. Es gilt nämlich $f(0)=3$.

  $y=2x-4+x+4^2=3x-4+16=3x+12$

  • Es handelt sich um keine proportionale Funktion, da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht. Es gilt nämlich $f(0)=12$.

  $y=2x-2^2+x+4=3x-4+4=3x$

  • Es handelt sich um eine proportionale Funktion.

  $y=\frac x2+\frac x2=x$

  • Es handelt sich um eine proportionale Funktion.

  $y=x+x+2x=4x$

  • Es handelt sich um eine proportionale Funktion.

• Gib die Graphen proportionaler Funktionen an.

  Tipps

  Eine proportionale Funktion hat die Form $y=mx$. Setze für $m$ unterschiedliche Werte ein und vergleiche die jeweiligen Graphen.

  Was haben alle diese Graphen gemeinsam?

  Dieser Graph ist zwar eine Gerade, aber kein Graph einer proportionalen Funktion, denn eine wichtige Eigenschaft proportionaler Funktionen ist nicht erfüllt.

  Lösung

  Eine proportionale Funktion ist eine Funktion, die folgende Form hat: $~y=mx$

  Setzen wir für $m$ unterschiedliche Werte ein und vergleichen die jeweiligen Graphen, erkennen wir die folgende Eigenschaft proportionaler Funktionen:

  • Der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion ist eine Gerade, die durch den Nullpunkt $(0\vert 0)$ verläuft.

  Es gilt auch die Umkehrung dieser Eigenschaft. Demnach ist eine Gerade, die durch den Nullpunkt verläuft, der Funktionsgraph einer proportionalen Funktion.

  Damit sind alle vier Geraden, die durch den Koordinatenursprung verlaufen, die Graphen proportionaler Funktionen.

  Folgende Graphen sind keine Graphen proportionaler Funktionen:

  • Die Parabel verläuft zwar durch den Nullpunkt, ist aber keine Gerade.
  • Die Gerade, die die $y$-Achse bei $y=1$ schneidet, ist zwar eine Gerade, verläuft aber nicht durch den Nullpunkt.

• Untersuche den Einfluss der Steigung $m$ auf den Funktionsgraphen einer proportionalen Funktion.

  Tipps

  Du siehst hier drei Geraden, von denen zwei (rot und grün) eine positive Steigung besitzen. Zudem ist die violette Gerade die steilste der drei Geraden. Sie hat nämlich die Steigung $-1,5$ und somit den größten Betrag. Die rote Gerade hat die Steigung $2$ und die blaue die Steigung $1$. Es handelt sich bei zweien nicht um Graphen proportionaler Funktionen, für die Betrachtung der Steigung ist die Lage des Schnittpunkts mit der $y$-Achse aber unbedeutend.

  Lösung

  Merke dir: es ist immer die Gerade steiler, die die betragsmäßig größere Steigung $m$ besitzt. Du siehst auf dem Bild vier Geraden, von denen drei (blau, gelb und grün) eine positive Steigung besitzen. Zudem ist die blaue Gerade die steilste der vier Geraden. Sie hat nämlich die Steigung $2,5$ und somit den größten Betrag. Die rote Gerade hat die Steigung $-1,5$ und die gelbe hat die Steigung $1$ und die grüne $\frac23$.

  Es handelt sich bei drei Geraden nicht um Graphen proportionaler Funktionen, für die Betrachtung der Steigung ist die Lage des Schnittpunkts mit der $y$-Achse aber unbedeutend.

  negative Steigung

  Sind $m_1$ und $m_2$ jeweils negative Steigungen proportionaler Funktionen und es gilt $m_1<m_2$, so ist die Gerade mit $m_1$ steiler als die mit $m_2$. Da beide Steigungen negativ sind und $m_1$ weiter links auf der Zahlengeraden liegt, hat $m_1$ den größeren Betrag von beiden.

  positive Steigung

  Sind $m_1$ und $m_2$ jeweils positive Steigungen proportionaler Funktionen und es gilt $m_1<m_2$, so ist die Gerade mit $m_2$ steiler als die mit $m_1$. Beide Steigungen sind positiv und somit ist $m_2$ auch betragsmäßig größer als $m_2$

  positive und negative Steigung

  Ist $m_1$ die positive und $m_2$ die negative Steigung proportionaler Funktionen und es gilt $|m_1|<|m_2|$, so ist die Gerade mit $m_2$ steiler als die mit $m_1$.