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Potenzregel und höhere Ableitungen 08:12 min

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Transkript Potenzregel und höhere Ableitungen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre Dir heute, wie man Funktionen höheren Grades ableitet. Diese Ableitungen nennt man „Höhere Ableitungen“. Dazu wollen wir kurz wiederholen wie solche Funktionen höheren Grades aussehen, dann wollen wir diese höheren Ableitungen anhand eines Beispiels berechnen und zum Schluss wollen wir überlegen, wie so eine höhere Ableitung mit dem Grad der Funktion zusammenhängt. Denn Du kennst bereits lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Funktionen dritten Grades und Funktionen vierten Grades. Es gibt jetzt aber auch ganz-rationale Funktionen, die noch einen höheren Grad haben und deren Graph ein wenig komplexer aussieht. Wir haben einmal hier eine Funktion fünften Grades und einmal eine Funktion sechsten Grades. Wir wollen jetzt überlegen wie man die Ableitung von dieser Funktion sechsten Grades berechnet. Dazu brauchen wir dieses Bild nicht mehr, weil wir jetzt ein bisschen mehr Platz brauchen. Also unsere Funktion: f(x) = x6 - 2x4 + x². Und zum Ableiten braucht man jetzt die Potenzregel, die wollen wir nochmal kurz wiederholen. Also unsere Funktion hat den Aufbau: xn, und diese Potenz „n“, das kann irgendeine reelle Zahl sein. Die Ableitung von f(x) ist dann: n * xn-1. Das heißt man multipliziert mit dem Exponenten und der Exponent wird um 1 reduziert. Für unser Beispiel bedeutet das jetzt, dass die erste Ableitung 6x5 - 8x3 + 2x ist. Wir wollen jetzt so lange diese Ableitung bilden, bis eine Ableitung 0 wird. Also machen wir jetzt einfach weiter. Die zweite Ableitung ist dann: 30x4 - 24x² + 2. Dritte Ableitung ist: 120x3 - 48x, 2 fällt weg. Aber der vierten Ableitung schreibt man jetzt die Ableitung in Klammern oben als Index, also jetzt hier in Klammern vierte Ableitung von x. Dann haben wir: 360x² - 48. Die fünfte Ableitung ist: 720x, die sechste Ableitung ist 720 und die siebte Ableitung ist dann 0. Wir wollen gleich noch überlegen wie man von einer Ableitung auf den Grad der Funktion schließen kann. Wir suchen jetzt eine Funktion „k(x)“, für die gilt, dass die vierte Ableitung null wird. Man könnte jetzt einfach raten und einfach eine Funktion hinschreiben und die ableiten, aber da wir hier schon ein Beispiel gerechnet haben, können wir da auch erst mal gucken, wann diese Funktion null geworden ist. Da sieht man, dass die siebte Ableitung von f null ist. Womit hängt jetzt diese siebte Ableitung zusammen? Natürlich mit dem Grad der Funktion. Denn aufgrund der Potenzregel verlieren wir ja bei jeder Ableitung einen Grad, also aus „n“ wird „n-1“. Das bedeutet bei uns in unserem Beispiel haben wir eine Funktion sechsten Grades, und die wird in der siebten Ableitung null. Das bedeutet jetzt für unser Beispiel, dass wir als Lösung eine Funktion brauchen mit drittem Grad. Also ist k(x) könnte zum Beispiel sein x3. Man kann jetzt noch so einen Vorfaktor „a“ davor schreiben, das verändert nichts, da quasi alles wieder bei null endet. Und genauso hat man noch solche Terme mit x², x und eine Zahl kann man auch drin haben. Also: ax³ + bx² + cx + d. Und a, b, c und d sind einfach reelle Zahlen. Wir wollen jetzt nochmal kurz diese Funktion ableiten, um wirklich zu gucken, ob die vierte Ableitung null ist. Also berechnen erste Ableitung. Dieses a behandelt man jetzt einfach wie so einen Vorfaktor, also ist die Ableitung jetzt: 3ax² + 2bx + c. Das d fällt weg. Die zweite Ableitung ist dann: 6ax+2b. Die dritte Ableitung ist: 6a. Und die vierte Ableitung ist dann: 0, weil 6a einfach irgend so eine reelle Zahl ist. Funktion zweiten Grades und ersten Grades sind natürlich auch Lösungen. Die sind hier schon enthalten, da man ja für zweiten Grad das a null setzt und für ersten Grad das a und b null setzt. Ja zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: wir haben höhere Ableitungen berechnet, also von Funktionen höheren Grades die Ableitungen. Dafür haben wir die Potenzregel verwendet und da haben wir festgestellt, dass wir mit jeder Ableitung einen Grad verlieren. Ab der vierten Ableitung schreibt man die Zahl der Ableitung immer so in Klammern oben hin. Und zum Schluss haben wir noch überlegt wie man von einer Ableitung auf die Funktion selbst schließen kann. Ich hoffe Du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne!

1 Kommentar
  1. Geil. Perfekt erklärt und dargestellt

    Von Wsd Mayer, vor etwa 5 Jahren

Potenzregel und höhere Ableitungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzregel und höhere Ableitungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Potenzregel zur Ableitung von Potenzfunktionen an.

    Tipps

    Du kannst dir die Potenzregel wie folgt merken:

    Beim Ableiten einer Potenz wird der Exponent als Faktor vorgezogen und als Exponent um eins reduziert.

    Zum Beispiel ist die Ableitung von $f(x)=x^3$

    $f'(x)=3x^2$.

    Die Potenzregel kann auch für negative Exponenten verwendet werden $f(x)=x^{-2}$:

    $f'(x)=-2x^{-3}$.

    Lösung

    Die Potenzregel zur Ableitung von Potenzfunktionen lautet

    $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1};~~n\in \mathbb{R}$.

    Beispiele:

    1. $\left(x^4\right)'=4\cdot x^3$.
    2. $\left(x^0,5\right)'=0,5\cdot x^{-0,5}$.
    3. $\left(x^{-4}\right)'=-4x^{-5}$.

  • Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion.

    Tipps

    Verwende zum Ableiten von Potenzen die Potenzregel:

    $\left(x^n\right)'=nx^{n-1};~n\in\mathbb{R}$.

    Verwende die Faktorregel:

    $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$.

    Beim Ableiten wird der Exponent immer um eins kleiner.

    Lösung

    Zur Ableitung von ganzrationalen Funktionen kann man

    • die Potenzregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$ sowie
    • die Faktorregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$
    verwenden:

    $\begin{align*} f(x)&=x^6-2x^4+x^2\\ f'(x)&=6x^5-8x^3+2x\\ f''(x)&=30x^4-24x^2+2\\ f'''(x)&=120x^3-48x\\ f^{(4)}(x)&=360x^2-48\\ f^{(5)}(x)&=720x\\ f^{(6)}(x)&=720\\ f^{(7)}(x)&=0. \end{align*}$

    Alle folgenden Ableitungen sind ebenfalls $0$.

    Anstatt alle Ableitungen bis zur siebten zu berechnen, kann man sich auch klarmachen, dass beim Ableiten von Potenzen der Exponent immer um $1$ kleiner wird.

    Der Grad der dritten Ableitung ist drei, dann ist der der vierten zwei, der fünften eins, die sechste ist konstant und siebte Ableitung ist dann Null.

  • Bestimme den Grad der ganzrationalen Funktion, deren vierte Ableitung Null ist.

    Tipps

    Bei der Ableitung von ganzrationalen Funktionen kann man

    • die Potenzregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$ sowie
    • die Faktorregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$
    anwenden.

    Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ sieht wie folgt aus:

    $f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0$.

    Die Koeffizienten bei ganzrationalen Funktionen werden bei der Anwendung der Faktorregel wie Zahlen behandelt.

    Lösung

    Der höchste Grad einer ganzrationalen Funktion, deren vierte Ableitung Null ist, ist drei:

    $k(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

    Dies kann man erkennen, wenn man die ersten vier Ableitungen berechnet. Dabei werden die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ wie Zahlen behandelt.

    $\begin{align*} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)&=6ax+2b\\ f'''(x)&=6a\\ f^{(4)}(x)&=0. \end{align*}$

    Sobald der Grad um eins höher ist, also eine quadratische Funktion ergibt, ist die vierte Ableitung konstant, allerdings ungleich Null.

    Für alle ganzrationalen Funktionen mit kleinerem Grad als drei ist die vierte Ableitung ebenfalls Null.

  • Untersuche die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Mach dir die Aussagen

    • an kubischen Funktionen $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ oder
    • an quadratischen Funktionen $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
    klar.

    Zum Beispiel gilt für $f(x)=3x^2+2x-2$:

    • $f'(x)=6x+2$,
    • $f''(x)=6$ und
    • $f'''(x)=0$.

    Lösung

    Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ sieht wie folgt aus:

    $f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0$.

    Dann hat

    • die erste Ableitung den Grad $n-1$,
    • die zweite den Grad $n-2$,
    • ...
    • die $k$-te den Grad $n-k$,
    • ...
    • ... die $n-1$-te den Grad eins, ist also eine lineare Funktion,
    • die $n$-te den Grad Null, ist also eine konstante Funktion, und
    • die $n+1$-te Ableitung und alle darauffolgenden sind Null.

  • Arbeite heraus, die wievielte Ableitung der Funktion Null ist.

    Tipps

    Beim Ableiten wird der Exponent immer um eins kleiner.

    Die zweite Ableitung dieser Funktion lautet:

    $f''(x)=20x^3-6x+4$.

    Der Grad der vierten Ableitung ist eins.

    Die dritte Ableitung einer quadratischen Funktion ist Null.

    Lösung

    Die Ableitungen werden mit der Potenz- und Faktorregel berechnet:

    $\begin{align*} f(x)&=x^5-x^3+2x^2\\ f'(x)&=5x^4-3x^2+4x\\ f''(x)&=20x^3-6x+4\\ f'''(x)&=60x^2-6\\ f^{(4)}(x)&=120x\\ f^{(5)}(x)&=120\\ f^{(6)}(x)&=0 \end{align*}$

    Das heißt, dass die sechste Ableitung Null ist und damit natürlich auch alle folgenden.

    Da der Exponent bei jeder Ableitung immer um eins kleiner wird, kann man auch wie folgt argumentieren:

    • die erste Ableitung hat den Grad vier,
    • die zweite den Grad drei,
    • die dritte den Grad zwei,
    • die vierte den Grad eins,
    • die fünfte Ableitung ist eine Konstante und
    • die sechste Ableitung ist Null.

  • Leite die Funktion siebenmal ab.

    Tipps

    Verwende

    • die Potenzregel: $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
    • die Faktorregel: $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x)$.

    Was ist die Ableitung einer Konstanten?

    Null ist eine Konstante.

    Lösung

    Die ersten Ableitungen können mit der Potenzregel und der Faktorregel berechnet werden:

    $\begin{align*} f(x)&=3x^4-2x^2+3x+1\\ f'(x)&=12x^3-4x+3\\ f''(x)&=36x^2-4\\ f'''(x)&=72x\\ f^{(4)}(x)&=72\\ f^{(5)}(x)&=0 \end{align*}$

    Wenn eine Ableitung bereits Null ist, so gilt dies auch für alle folgenden Ableitungen.