Potenzregel und höhere Ableitungen

Potenzregel und höhere Ableitungen Übung

• Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion.

  Tipps

  Verwende zum Ableiten von Potenzen die Potenzregel:

  $\left(x^n\right)'=nx^{n-1};~n\in\mathbb{R}$.

  Verwende die Faktorregel:

  $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$.

  Beim Ableiten wird der Exponent immer um eins kleiner.

  Lösung

  Zur Ableitung von ganzrationalen Funktionen kann man

  • die Potenzregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$ sowie
  • die Faktorregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$

  verwenden:

  $\begin{align*} f(x)&=x^6-2x^4+x^2\\ f'(x)&=6x^5-8x^3+2x\\ f''(x)&=30x^4-24x^2+2\\ f'''(x)&=120x^3-48x\\ f^{(4)}(x)&=360x^2-48\\ f^{(5)}(x)&=720x\\ f^{(6)}(x)&=720\\ f^{(7)}(x)&=0. \end{align*}$

  Alle folgenden Ableitungen sind ebenfalls $0$.

  Anstatt alle Ableitungen bis zur siebten zu berechnen, kann man sich auch klarmachen, dass beim Ableiten von Potenzen der Exponent immer um $1$ kleiner wird.

  Der Grad der dritten Ableitung ist drei, dann ist der der vierten zwei, der fünften eins, die sechste ist konstant und siebte Ableitung ist dann Null.

• Bestimme den Grad der ganzrationalen Funktion, deren vierte Ableitung Null ist.

  Tipps

  Bei der Ableitung von ganzrationalen Funktionen kann man

  • die Potenzregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$ sowie
  • die Faktorregel $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x); ~r\in\mathbb{R}$

  anwenden.

  Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ sieht wie folgt aus:

  $f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0$.

  Die Koeffizienten bei ganzrationalen Funktionen werden bei der Anwendung der Faktorregel wie Zahlen behandelt.

  Lösung

  Der höchste Grad einer ganzrationalen Funktion, deren vierte Ableitung Null ist, ist drei:

  $k(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

  Dies kann man erkennen, wenn man die ersten vier Ableitungen berechnet. Dabei werden die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ wie Zahlen behandelt.

  $\begin{align*} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)&=6ax+2b\\ f'''(x)&=6a\\ f^{(4)}(x)&=0. \end{align*}$

  Sobald der Grad um eins höher ist, also eine quadratische Funktion ergibt, ist die vierte Ableitung konstant, allerdings ungleich Null.

  Für alle ganzrationalen Funktionen mit kleinerem Grad als drei ist die vierte Ableitung ebenfalls Null.

• Arbeite heraus, die wievielte Ableitung der Funktion Null ist.

  Tipps

  Beim Ableiten wird der Exponent immer um eins kleiner.

  Die zweite Ableitung dieser Funktion lautet:

  $f''(x)=20x^3-6x+4$.

  Der Grad der vierten Ableitung ist eins.

  Die dritte Ableitung einer quadratischen Funktion ist Null.

  Lösung

  Die Ableitungen werden mit der Potenz- und Faktorregel berechnet:

  $\begin{align*} f(x)&=x^5-x^3+2x^2\\ f'(x)&=5x^4-3x^2+4x\\ f''(x)&=20x^3-6x+4\\ f'''(x)&=60x^2-6\\ f^{(4)}(x)&=120x\\ f^{(5)}(x)&=120\\ f^{(6)}(x)&=0 \end{align*}$

  Das heißt, dass die sechste Ableitung Null ist und damit natürlich auch alle folgenden.

  Da der Exponent bei jeder Ableitung immer um eins kleiner wird, kann man auch wie folgt argumentieren:

  • die erste Ableitung hat den Grad vier,
  • die zweite den Grad drei,
  • die dritte den Grad zwei,
  • die vierte den Grad eins,
  • die fünfte Ableitung ist eine Konstante und
  • die sechste Ableitung ist Null.

• Leite die Funktion siebenmal ab.

  Tipps

  Verwende

  • die Potenzregel: $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}$ sowie
  • die Faktorregel: $(r\cdot f(x))'=r\cdot f'(x)$.

  Was ist die Ableitung einer Konstanten?

  Null ist eine Konstante.

  Lösung

  Die ersten Ableitungen können mit der Potenzregel und der Faktorregel berechnet werden:

  $\begin{align*} f(x)&=3x^4-2x^2+3x+1\\ f'(x)&=12x^3-4x+3\\ f''(x)&=36x^2-4\\ f'''(x)&=72x\\ f^{(4)}(x)&=72\\ f^{(5)}(x)&=0 \end{align*}$

  Wenn eine Ableitung bereits Null ist, so gilt dies auch für alle folgenden Ableitungen.

• Gib die Potenzregel zur Ableitung von Potenzfunktionen an.

  Tipps

  Du kannst dir die Potenzregel wie folgt merken:

  Beim Ableiten einer Potenz wird der Exponent als Faktor vorgezogen und als Exponent um eins reduziert.

  Zum Beispiel ist die Ableitung von $f(x)=x^3$

  $f'(x)=3x^2$.

  Die Potenzregel kann auch für negative Exponenten verwendet werden $f(x)=x^{-2}$:

  $f'(x)=-2x^{-3}$.

  Lösung

  Die Potenzregel zur Ableitung von Potenzfunktionen lautet

  $\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1};~~n\in \mathbb{R}$.

  Beispiele:

  1. $\left(x^4\right)'=4\cdot x^3$.
  2. $\left(x^0,5\right)'=0,5\cdot x^{-0,5}$.
  3. $\left(x^{-4}\right)'=-4x^{-5}$.

• Untersuche die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Mach dir die Aussagen

  • an kubischen Funktionen $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ oder
  • an quadratischen Funktionen $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

  klar.

  Zum Beispiel gilt für $f(x)=3x^2+2x-2$:

  • $f'(x)=6x+2$,
  • $f''(x)=6$ und
  • $f'''(x)=0$.

  Lösung

  Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ sieht wie folgt aus:

  $f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_1\cdot x+a_0$.

  Dann hat

  • die erste Ableitung den Grad $n-1$,
  • die zweite den Grad $n-2$,
  • ...
  • die $k$-te den Grad $n-k$,
  • ...
  • ... die $n-1$-te den Grad eins, ist also eine lineare Funktion,
  • die $n$-te den Grad Null, ist also eine konstante Funktion, und
  • die $n+1$-te Ableitung und alle darauffolgenden sind Null.